人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章-点、直线、平面之间的位置关系2-2-3-

2.2.3直线与平面平行的性质学习目标1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．知识点直线与平面平行的性质思考1如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线．思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个．a∥b.梳理线面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言类型一线面平行的性质定理的应用例1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．引申探究1．若本例条件不变，求证：eq\f(BP,PD)＝eq\f(AM,MC).证明由例1知：PQ∥AB，∴eq\f(BP,PD)＝eq\f(AQ,QD).又QM∥DC，∴eq\f(AQ,QD)＝eq\f(AM,MC)，∴eq\f(BP,PD)＝eq\f(AM,MC).2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．解由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．跟踪训练1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．答案eq\r(2)解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).类型二线面平行性质定理与判定定理的综合应用例2如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．证明(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.解(2)平行．证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.反思与感悟判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行eq\o(→,\s\up7(在平面内作),\s\do5(或找一直线))线面平行eq\o(→,\s\up7(经过直线作或找),\s\do5(平面与平面的交线))线线平行．跟踪训练2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行 B．平行或异面C．平行或相交 D．异面或相交答案B解析∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α))⇒CD∥α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()A．0条 B．1条C．0条或1条 D．无数条答案C解析过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面答案A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.4.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.答案eq\f(3,2)解析由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.所以eq\f(EF,BC)＝eq\f(AF,AC).所以EF＝eq\f(AF×BC,AC)＝eq\f(3×4,5＋3)＝eq\f(3,2).5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．解直线l∥平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．课时作业一、选择题1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能答案B解析因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内答案C解析由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.3．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交但不一定交于同一点C．都相交且一定交于同一点D．都平行或都交于同一点答案D解析分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点．4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案B5．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案C解析如图，连接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∴PQ＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2).6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC答案D解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)答案C解析∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB，∴AB∥EF.∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝1，又DE＝CF＝eq\r(3)，∴四边形DEFC的周长为3＋2eq\r(3).二、填空题8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______.答案m∶n解析∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG＝m·eq\f(BE,BA)，同理EH＝FG＝n·eq\f(AE,AB).∵四边形EFGH是菱形，∴m·eq\f(BE,BA)＝n·eq\f(AE,AB)，∴AE∶EB＝m∶n.10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．答案平行四边形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．11．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．答案4eq\r(5)＋6eq\r(2)解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r(5)＋6eq\r(2).三、解答题12.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．解如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC).在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以eq\f(OC,O1C)＝eq\f(1,2).又AO1＝CO1，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,4)，故PM∶MA＝1∶3.13．如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．解点D为AA′的中点．证明如下：取BC的中点F，连接AF，EF，如图．设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EFA中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点．四、探究与拓展14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°答案C解析由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成