第三节：二重积分的计算二_第1页
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文档简介

例1:计算二重积分其中D是由圆所围成的有界闭区域解:由对称性,积不出来,改变积分顺序也积不出来问题提出:1例2:计算二重积分其中D是由圆所围成的有界闭区域解:由对称性,积分困难!类似一元定积分,需要作变量替换2第三节在极坐标系下二重积分的计算(二)在直角坐标系下有：问题1：在极坐标系下，·34所围成的有界闭区域例1:计算二重积分其中D是由圆解:由对称性,5所围成的有界闭区域例2:计算二重积分其中D是由圆解:由对称性,6（I）极点0在区域D之外极坐标系下化二重积分为二次积分例如7（II）极点0在区域D的边界上（III）极点0在区域D的内部8

积分区域是圆或圆的一部分，或者区域D

的边界方程用极坐标表示比较简单；

被积函数具有下列形式时因为什么时候考虑用极坐标计算?9利用极坐标系计算二重积分的一般步骤（1）画出积分区域D，并将D的边界化为极坐标方程形式。（2）将区域D用极坐标表示。（3）化二重积分为极坐标下的二重积分形式。（4）根据D的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。10解:画出积分区域D，11例2：计算二重积分其中D是由解：极点O在圆的边界上（1）化圆为极坐标方程（2）在极坐标系中确定D

所围成的区域12（3）化所求积分为极坐标的二重积分（4）化极坐标的二重积分为累次积分（2）在极坐标系中确定D

13（4）化极坐标的二重积分为累次积分14例3：计算二重积分其中D是由圆解：画图，极点O在D内部边界圆的极坐标方程为：所围成的区域15例3：计算二重积分其中D是由圆解：画图，极点O在D内部边界圆的极坐标方程为：所围成的区域16例4：计算二重积分其中区域D是整个第一象限。解：画图17例5：利用例4的结果计算广义积分（称为概率积分）解：因为在直角坐标系中化上述二重积分为累次积分得其中18在概率统计中，称积分为普哇松积分对称区偶函数19例6.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:由对称性及重积分几何意

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