高中数学模拟考试试卷

长G2009学年第一学期焉三教学期检覆卷（i理）

一、填空题（本题满分52分）

题号123456

答案-25V13(0,1)-2130

13

78910111213

242-198171(3,4)45,73

37

二、选择题（本题满分16分）

题号14151617

答案C8CA

三、解答题

18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

（1）由图可知,%LMGC=匕IBC-AB£-VB,-ABC

——2分

由条件得与8,平面ABC,

—.一3分

[/_j_3

*e•^ABC-A^Cj=S^BCB[B=aB1-ABC3。,

—---5分

1o

因此N£c33

—---6分

（2）法一：由条件得四边形C8gG为正方形，'BG_L6C。一—----7分

又AC_LBC,ACJ_GC,.,.AC_L平面C|B,

—――10分

AC1BC

}—----11分

8G-L平面AC61,

———12分

7T

BC'1A用，即异面直线AB与BC,所成角为2。

｛——14分

法二：过名作BQIIGB交C8延长线于。，连接A0,则即为异面直线A片与g所成角或其补角。

---------------8分

,/CB-a,CCt-aCtB-BtD—y/2a9分

在RfMBC中，AB=Ma,A与=疯。

又4c=2a,CO=2a,:.AD=2-Ha。

------------10分

A48i。中，

.6〃一+2a2—8Q-冗

V'vziSZ_/1JD|JLXi-—

・•.ZAB}D=-

2a,------13分

71

即异面直线AB'与B3所成角为E。

—-----14分

19、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）

(1)f(x)=V5sin2x_1+2cos2x

--------2分

=2sin(2x+令

--------3分

_24

T=---=7T

最小正周期为2。--------5分

2x+£e£,7]2x+/=]f

2666,因此当62时/max—z。——..........-8分

兀

f（x）=2sin（2x+2。+—）

（2）图像平移后解析式为6为奇函数，---------------11分

JI

2/H——=k],(kGZ)

6---------------14分

5%

,♦•夕>°,，k=l时夕最小值为12。---------------16分

20、（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）

（1）易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为I》.

所以4=2x+2y+G,---------------3分

4一（2+乃）1

y=----------

得2---------------4分

依题意知：0<x<y

0<x<----

得4+1

4一（2+4）1

y=------0-<--x-<----

所以，2(4+1).---------------7分

（2）依题意，设凹槽的强度为T,横截面的面积为S,则有

2

r=V3S=V3(2^-—)

2---------------10分

32「4-(2+机工

22

=V3[4x-(2+——)x2]

2

方(4+31)/498A/3

------------(X----------)■+-------

24+344+3%_____________13分

因为4+3乃4+万

x=---4----

所以，当4+3万时，凹槽的强度最大.---------------15分

x=---4----

答：当4+3万时，凹槽的强度最大.---------16分

21、（本题满分18分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）

（1）因为每一列的数是公比为2的等比数列，出3=8,%4=2°,

所以=4%4=5,........................__2分

故第一行的公差为&=1。,au=2,.................——3分

须=%+1,..................——4分

因此%*=(k+l)・2'T。---------------5分

(2)4=%川)一秋=伏+2)21—(A+1)2T=2'T8分

l-2n

4+d2+…+dn=-------=2”—1

«-2.......................―10分

/a、A〃〃〃〃一八

(3),=(+1)+♦2+(—1),2~+...+2,21----------------11力

2.A〃=5+1).2+人22+..・+3・2"7+2・2”

上面两式相减得：

=_(〃+1)+2+22+…+2”T+221Q八

=_(〃+1)+2(1-2")+2"=32_〃-3

1-2

，4+〃=3(2"-1)_____________14分

当〃=3k,(AeN*)时

4“+M=3(8*-1)=3[(7+1)A'-l]=3(Cf7A+...+C^'7)

=21(C「i+…+C3),_____________*分

因为C；7*T+…+C3为整数,所以A“+〃能被21整除。--------------18分

22、（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）

/(x+l)=--^—f(x+2)=-1=/(x)

(1)由/(X)得/(x+1),...........................3分

由/(x)+/(2—x)=0得/(x)+/(—x)=O,_____________4分

故/(X)是奇函数.---------------5分

(―J)1—xe(0,—).

(2)当xG2时，2,-3。---------------7今

/(I-%)=-------——=-------.

而“T)/*),，/(x)=3，...........................9分

(2%+不2攵+1)伏£x-2ke(-J),r9,X^x-2k-\

当XG2Z)时，2,，(x-2k)=3,

因此/3=/(x-2幻=3弋...........

(3)不等式log3/(x)>d一丘一2」即为x_2&_]>x2_丘_2',

即x~—(k+l)x+1<0

k+\〜1

令g(x)=x-_(A+l)x+l,对称轴为22,

,、(2k+-,2k+l)

因此函数g(”在2上单调递增。...............15分

gQk+：)=Qk+\)2—(A+1)(2%+2)+1=(2A+：)(%-^)+1,

因为22222又左为正整数，

g(24+4)>()/Q+I)X+1>0(24+:，24+1)

所以2,因此*一(k+l)x+]>0在2上恒成立，...............17分

因此不存在正整数后使不等式有解。---------------18分

崇明县2009学年第一学期高三数学(理科)期末考试解答

填空题

14仇

(\-2%%2

{3,4,5}3-----兀

1、2、3、。3%4、35、296、16万

log5

7、18、19、2211、7112、-4

13、卜2]

14、①②③④

二、选择题

15、C16、D17、C18、A

三、解答题

f(x)=cos2xcos--sin2xsin—

19、解：(1)33

l-^sin2x

22

T=—=7l

所以①

=21

c="\

20、解：（1）以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系。

G(——,——,2'),E(yf3,1,2'),GE—,0)

则2222

。(0,2,0),G(0,2,2),F(百,1,0).

司=(0,0,2),斤=(凤1,0)

所以GECG=O,GECF=O

所以GE垂直平面/CG。

⑵平面"G的法向量।（2‘2’）

设平面BFCi的法向量为〃2=（X，y，z）

BF=（0,V3,0）,C7=（V3-1-2）

由〃2。引7=°，〃2=0得一个法向量〃2=（2,0,后）

cos"%'%5cV7

一，O

77

arccos——

所以二面角B-FC|-C的大小为7。

21、解（1）抽取数学小组的人数为2人：英语小组的人数为1人;

C：C8

p=

(2)Gi=15.

(3)

A0123

p228312

25757515

2,28c31c2

E4=二Ox---Fix---F2X---F3x

25757515

8

5

22、解⑴/⑴=2+(1-〃?)”叱4

当相>1时，(1—M(〃?T)N2,无解；

当相4]时，(1-〃2)(1-〃?)N2,解得

所以机41—J5。

，/、cm2

n、h{x)=3x4--------2m

(2)由于机所以x

2

h(x2)-h(X])=(》—芯)(史电~巴，

任取＜%2匹了2

222

x2-X|>0,3Xj%2-m>3m-m>0,xxx2>0

所以人（冗2）-〃（再）>。

即：/?（x）在仙，+8）为单调递增函数。

嘉定区2009学年度高三年级第•次质量调研数学试卷参考答案与评分标准

填空题

_24

1.2-i,2.C+l（x>l）;3.｛刈<》<3｝；尔1：3；5.一石：6.29；

工口3

7.勺=2,"晦5；8.[2'巩9.｛贴（一2或a>2｝；a而；

11.-10（或上<11）；12.[T，收];13.（理）1；（文）1；14.（理）11；（文）4

二.选择题

15.B；16.D；17.A；18.（理）D；（文）C.

三.解答题

a=—①

<t

a-hi=2+4'-3atib=3at--②

19.（理）（1）由题意可得，t，所以11，…（3分）

22

t=­b=3〃•—2a

由①得，。，代入②得a，所以2a+b=6........（6分）

（2）由।z-2K5得I（a_2）+bi£5,即J（"2）2+b-W5,...（8分）

由⑴得b=6-2a,所以（a-2/+（6-2a尸425,

化简得5/-28a+15<0,.......口。分）

||，5

所以。的取值范围是L5J........（12分）

19.（文）（1）Z[•马=（1+i）Q_，）=Q+1）+Q-l）i（3分）

由已知，号葭2是实数，所以，-1=0,即"1（6分）

（2）由IZ|+Z2&2后，得l（l+r）+2iK2jI,即J（l+r）2+4K2五,……0分）

即(,+1)2+4«8,解得一34/41

（11分）

所以'的取值范围是〔一3,11.（12分）

S底=丁

20.（1）因为三棱柱的体积丫=36，而

所以S例=3x2x3=18

（6分）

（2）取4c中点E,连结。E、C'E,

则所以，NGDE（或其补角）

就是异面直线AB与CQ所成的角.（8分）

在中，CXD=CXE=V10；

DE=1,（9分）

1Vio

cosDE

2所20

所以（12分）

V10

arccos---

所以，异面直线A8与G0所成角的大小为20（14分）

V390

arcsin-----(―

（或20,ngarctan<39)

-J-51

ADE一c0—x-

21.(1)由题意得，5c△2△ABC,即2

3

y

解得x,（5分）

3

所以X,/（x）的定义域为工2].

（2）在△AOE中，山余弦定理得,

DE2^AD2+AE2-2-ADAE-cosA

DE2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy

X~H--2---3F1ci

X,XG[1,2],（10分）

09,

)「1/11DE~=------326-3=3

令x=t、则/£口，4],于是t（12分）

当且仅当1=3,即％时，OE?取最小值6

（13分）

所以，当°、E离点A的距离均为当机时（或A0=AE=6（机）时），OE最短，即所用石料最省.

（14分）

—x—1,X>1

/(X)=xIx-11-1=

-x24-X-l,X<1

22.(理)(1)当。=1时，（1分）

所以，当x»l时，由/3=%得/一%一1=3x2-2x-l=0,解得x=l士血,

因为XN1,所以x=l+J5（2分）

当了＜1时，由f（x）=x得一/+工一1=1，/一1,无实数解.（3分）

所以，满足/。）=》的％值为1+J5.（4分）

x2-ax-a,x>a

2

一厂+OXQx<a

(2)-,

(a2

1——4+。

因为。＞°，所以，当尤2。时,7，的单调递增区间是必，+°°）；

/a、2(2a

/w=-x----+-----a

24（一8,—]

当x<a时、，单调递增区间是2.…（8分）

(注:两个区间写出一个得2分，写出两个得3分，区间不分开闭）

（-8,—]

所以,/（X）的单调递增区间是’2和口，+8）（9分）

(3)由xIx-。I一。<0

当时，X1-ax-a<0

a+~+4〃

XG

2

因为/（。）=-。＜0,所以/（11分）

2

+

(4J

当尤〈。时，一工2+。]一。＜0,即

--a＜Q

当4，即0＜。＜4时，%£（—8,。）；（13分）

c2ci—J.2—4〃।.Cl4-——4〃

axe-x,----------------U----------------

-------Q2022

当4，即〃之4时，I7k一人…（14分）

ci+Ja~+4a

xG-oo,---------------------

2

综上可得，当°<〃<4时，I),

a-yla2-4a\.(a+y/a2-4aa+J.2+4〃、

-00,----------------------------U-----------------------------,------------------------------

当〃之4时，IJy)（16分）

-X—1,X>1

/(X)=XIx-11-1

—X~+X—1,X<1

22.(文)(1)（1分）

所以，当XN1时，由/3=》得工2—X—1=X,X2-2x-l=0,解得x=l士正,

因为xNl,所以％=1+啦........（2分）

2

当％<1时，由/"。）=工得_工2+*_1=彳，X=-1,无实数解.（3分）

所以，满足/（幻=彳的彳值为1+后.........（4分）

x~-X—1,X>1

/(》)=

—X2+X—1,X<1

(2)由

当XN1时，/（X）的单调递增区间为“，+8）；……（6分）

当x<l时，/（X）的单调递增区间为（8分）

所以，/（外的单调递增区间是‘2和U，+8）...............（9分）

।.1+V5

21<X<--------

（3）当xNl时，由x一工一1<0得2,.............（12分）

当X<1时，由―/+》_]<0得尤2_x+l〉0,恒成立.……（15分）

（1+⑸

一0°,-Z

所以，不等式"x）<°的解集为I<……（16分）

23.(理)⑴当.+%2=1时,

c,、「/、I叵X[y[2xF\[2x41X

%+乃=/(X|)+/(X2)=log2；-----+log-一2-=log-一l〜~2-

2—2

1-%)1X21-X11—X2

log,2^1^.=log,2=1

“2为，所以月+乃为定值1.（4分）

kn-k

f=1

nn

（2）由（1）得，(女=1,2,〃一1),（6分）

所以,X/。同+7心由

+/

Tn

又

1_n-1

于是2T“=(〃T)xl,所以"2(〃wN*,〃22).（10分）

(3)由已知,4=2〃,neN*（11分）

3(1、sina

1——<

a得

由。27..AnJA/2/I+1

(iV1i、(1)

J2〃+1•1——1——1-----<sina

aj«2Jkan>

i____(iy

f(〃)=V2n+l・1——1__-

aa

令<\)<2.,则由题意可得/（〃）>°

I1]]，1111)

72/1+31--------1------1-

Ia2)k.”+1/i+i7

/(〃)(____(iy-7~1),2〃+l

J2〃+11——1-

aaa

于是ky2)n

J2〃+3(1-1

(2〃+2[(2〃+3)(2〃+1(2〃+3)(2〃+1)4/+8"+3।

-7-----------<1

Y2n+12〃+2(2〃+2产4n+8〃+4

所以/（〃+1）</（〃），即/（〃）随着〃的增大而减小.（15分）

所以当〃eN*时，/（〃）的最大值为‘⑴一了,

V3

sina>——

若存在角《满足要求，则必须2（16分）

__7T_,21

2k71H—,2k71H------

所以角a的取值范围为33，MeZ）（18分）

（注：说明/（〃）单调性的作差方法如下）

[1]历TTT(J(2"+3)(2〃+l)_(2〃+2)、

N[2W+2

(1)'J(2/+3)(2,+1)-J(2〃+2]、

1-----J2〃+1•

Ian)2/I+2

7

1________'d4n2+8〃+3-14/+8〃+4

1-----J2〃+1

*2714-2

因为I"1人。2JIanJ,J2〃+1〉0,2〃+2>0,

N4nl+8〃+3-+8〃+4<0

所以/(〃+D-/'(〃)<0,即/(〃+D</(〃)

23.（文）（1）由已知，对所有〃eN*,S“=2，J—〃，……。分）

所以当〃=1时，4=S|=1,……Q分）

当"N2时，％=S“-S"_|=4〃-3,……0分）

因为为也满足上式，所以数列3J的通项公式为怎二4〃-3（〃GN*）.……（4分）

,2n2-n

bn=------

（2）由已知"P,……（5分）

因为例｝是等差数列，可设勿二助+^（。、b为常数），…（6分）

2n2-n7

------=an+b）,

所以〃+p,j.^2n--n=an+（ap+b）n+bp,

a=2

<ap+b=-1

所以L=°,……（8分）

因为PK0,所以％=°,〃2.......

（10分）

（注：用"向一切为定值也可解，可按学生解答步骤适当给分）

c21____O

（3）”（4〃—3）（4〃+1），4〃-34/1+1J,……（］2分）

所以,-1___U=U1---1

4〃-34H+1J214n+1J

...(14分)

T<—m>lofl------]1

由"20,得I4〃+1人因为，所以机21°.……（17分）

所以，所求的最小正整数机的值为1°.……（18分）

静安区2009年第•学期数学检测解答与评分标准

答案及评分标准

（第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

1.-1;2.口，+8）：3.Rez

3

.362880.

4.2;56.84；

5万103

—y=4H---—

7.6.8.乃；9.2或4

I。(2,4018)；H理12%文2+4n；12.(理)。<《<20且％*10；文18；

13.(理)a>2.(文){x|_2vx<-l或Ovxvl或2Vx<3}；14.53-4

（第15至18题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

题号15161718

代号ADBD

三.(第19至23题)

1。/1\•0A+0C=(2+cosa,sina)(OA+OC)2-7

.(2+coscr)2+sin2a=7...2分

1

cosa=—

：.2....4分

又8(0,2),C(cosa,sina),设丽与丽的夹角为。，贝ij

八OB-OC2sina=sina=土立

cos，=

22

715

-----------———71

：.0B与0C的夹角为6或67分

(理)AC=(cos。-2,sina)BC=(cosa.sina-2)

•,8分

1

cosa+sina=—

由AC_LBC,.・.AC・8C=0,可得2,①10分

/•\21c.3

(cos。+sina)=­2sinacosa=——

4・4

aG(乙，1)

・・a£(0,%)

2/

(cosa-sina)=1-2sinacosa=—

又由4,cos«-sin«<0,

V7

.・.cosa-sina=_2,②

1-V7.1+V74+V7

cosa=--------sina--------tana=----------

由①、②得4,4,从而3.……14分

(文)AC=(cosa-2,sinez)8c=(cosa,sina-2),......9分

1

cosa+sina=—

由元J.瑟，XC-BC=0,可得2,①……n分

.33

(cosa+sin"=—2sinacosa-——sin2a-——

4,4,4.……14分

20.（理）证法一：反证法：若8cLsA,连AC,由AB是直径

则ACJ.BC,所以8CL平面S4C2分

则BCXSC......3分

又圆锥的母线长相等，NSCB是等腰三角形SBC的底角，

则NSCB是锐角……4分

与8C_LSC矛盾，所以8C与SA不垂直……6分

（证法一2：反证法：若BCLS4,又8CJ.S0,

所以BC_L平面S4°（2分）

则8C_L°A（3分），又已知。4_L°C,所以BC//OC,矛盾

所以BC与SA不垂直……6分）

证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为/?,底面

半径为「，则8(0,r,0),C(r,0,0),A(0,—r,0)

S(0,0,//),SA=(0,-r,-h),BC=(r,-r,Q)……3分

SA-~BC=r2^Q……5分

所以8c与SA不垂直.……6分

人“、八、"（一,0,2）("2)

（2）建立如图坐标系，设底面半径为「，由高为4.则A（u-r,O）2，则

BC=(r,-r,0)8分

-r

cos<AD、BC>=

VLJ16+5/

11分

V2「一近

arccos—?—/~八

由AD与BC所成角为6,所以J2716+5厂6,解得r=213分

12,164

VTZ=-7rr~h=-----

所以3315分

文（1）球的表面积为4"=1200万.4分

V——7n''-4000-J37T

(2)球的体积3；8分

ZAOB=—

(3)设球心为°,在中解得3,所以A、8两点的球距离为

2073

-------71

3.15分

8

r2is

21.理(1)5。13；......6分

6此喘9

(2)甲抽2男，乙抽2女:9分

p_c；cCC=64

舄一7rC,o225

甲、乙两组各抽1男1女:12分

C：C：_4

8一.Cj-225

甲抽2女，乙抽2男:

£64431

[+舄+8+----1----

92252257515分

文⑴设蓄水池中存水量为S,则S=40+8T2〃(04f424)；……

-V/<—

(2)由S<10,得44,……12分

所以供水2.25小时开始出现供水紧张.

259彳

------二4

由44，知这一天内供水紧张的时间为4小时.……15分

22.理⑴设数列"J的公差为d,由%=%+2d=7,q+%+%=3%+3d=12

解得4=l,d=3.•.%=3〃-2"eN*……4分

⑵4=。,4+1=(3”2)(3〃+1)

111,11、111

・bn(3n-2)(3〃+1)33n-23〃+1,"3'3〃+1)3.8分

T_〃7_17_加T_〃

L一~~M一二h-Z~T—--

(3)由(2)知，3/2+1/.43m+1,n3n+l

(」)21n6m+13〃+4

若TZ”(成等比数列,则36+12

43〃+1即mn10分

以下6分按3个层次评分

第一层次满分3分：

3H+4_4_6m+1_6m+13〃+4

-----=34->3----->3-----=------

例如:因为〃〃，所以只有满足加的大于1的正整数〃J才有可能使得根-〃成

、/.13分

或者取具体数值探究如:

133/1+4

当机=2时，4n"=16,符合题意;

19_3n+4

当〃z=3时，9n,〃无正整数解;

25_3〃+4

当〃z=4时，16n,〃无正整数解;

31_3〃+4

当机=5时，25n,〃无正整数解;

当m=6时，36«，〃无正整数解；……13分

或者描述性说明，如：

「3n+4~..6m+1八6m+13〃+4

lim------=3lim———=0———=-------

因为〃+0n—°团,所以只有当团取值较小时，才有可能使得加〃成

……13分

第二层次3+2分：

在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2,n=16时，成等比数列.如:

6m+1一,273,273

---;—>3,1------<<1H------

不等式机即3m_一6〃-1<0,解得33,所以〃?=］（舍去），机=2。当m=2时,

133〃+4

4〃，〃=16,符合题意；所以当正整数m=2,n=16时，1/八,成等比数列.…一

15分

2^32-\/3

1-----x—0.155,1H------R2.155

（注：33）

6/22+13〃+4_3+4〉3

或者如：当机27时