材料力学答案单辉祖版全部答案

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。 题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，轴力图如图2-2a(2)所示， 图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，轴力图如图2-2b(2)所示， 图2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为斜截面m-m的方位角故有杆内的最大正应力与最大切应力分别为2-5某材料的应力-应变曲线如下图，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型〔塑性或脆性材料〕。题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。,,该材料属于塑性材料。2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。假设杆径d=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。题2-6图解： 查上述曲线，知此时的轴向应变为轴向变形为拉力卸去后，有，故残留轴向变形为2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。载荷F=32kN，板宽b=100mm，板厚15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力〔考虑应力集中〕。题2-9图解：根据查应力集中因数曲线,得根据，得2-10图示板件，承受轴向载荷F作用。载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d=10mm，圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力〔考虑应力集中〕。题2-10图解：1.在圆孔处根据查圆孔应力集中因数曲线，得故有2．在圆角处根据查圆角应力集中因数曲线，得故有3.结论〔在圆孔边缘处〕2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[]，试确定载荷F的许用值[F]。 题2-14图解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为根据强度条件，要求由此得2-15图示桁架，承受载荷F作用，杆的许用应力为[]。假设在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值〔即确定节点A的最正确位置〕。题2-15图解：1.求各杆轴力设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得2.求重量最轻的值由强度条件得结构的总体积为由得由此得使结构体积最小或重量最轻的值为2-16图示桁架，承受载荷F作用，杆的许用应力为[]。假设节点A和C间的指定距离为l，为使结构重量最轻，试确定的最正确值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有2.求的最正确值由强度条件可得结构总体积为由得由此得的最正确值为2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。许用应力[]＝120MPa，许用切应力[]＝90MPa，许用挤压应力[bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为 (a) (b) (c)理想的情况下，在上述条件下，由式〔a〕与〔c〕以及式〔a〕与〔b〕，分别得于是得由此得2-18图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d。题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程与，分别得由此得轴销处的总支反力为2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件〔这里是双面剪〕得由轴销的挤压强度条件得结论：取轴销直径。2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。 题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa，载荷F=230kN。试校核接头的强度。 题2-20图解：最大拉应力为最大挤压与剪切应力那么分别为2-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN作用。木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。题2-21图解：由拉伸强度条件得 〔a〕由挤压强度条件得 〔b〕由剪切强度条件得取代入式〔a〕，得结论：取，，。2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知， 图2-222.考虑铆钉的剪切强度3．考虑铆钉的挤压强度结论：比拟以上四个F值，得2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。试校核钢带的强度。题2-23图解：1．钢带受力分析分析说明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力那么为孔外表的最大挤压应力为在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪〔图b〕，切应力为钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力F=200kN作用。假设弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解：1.计算D由于故有2.计算V变形后该杆的体积为故有3-4图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力各段轴力数值上均等于，因此，由此得2.校核螺栓的强度此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为=4.0×10-4与=2.0×10-4。杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。题3-5图解：1.求各杆轴力2.确定及之值由节点的平衡方程和得化简后，成为(a)及(b)联立求解方程(a)与(b)，得由此得3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为(a)由图可知，假设自左向右取坐标，那么该截面的宽度为代入式(a)，于是得3-7图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。题3-7图解：自截面B向上取坐标，处的轴力为该处微段dy的轴向变形为于是得截面B的位移为3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f=ky2，式中，k为常数。地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡，由此得 〔a〕截面处的轴力为2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为积分得将式(a)代入上式，于是得3-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度〔即产生单位轴向变形所需之力〕为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷作用后，刚性梁倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长为。 图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程得由此得由图3-9可以看出，可见， (b)根据的定义，有于是得3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。 题3-10图〔a〕解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆的变形分别为如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为图3-10〔b〕解：显然，杆1与杆2的轴力分别为于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为3-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值〔即确定节点A的最正确位置〕。题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得 图3-112.求变形和位移由图3-11b得及3.求的最正确值由，得由此得将的数据代入并化简，得解此三次方程，舍去增根，得由此得的最正确值为3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的常数。试求节点C的铅垂位移。 题3-12图解：两杆的轴力均为轴向变形那么均为于是得节点C的铅垂位移为3-13图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由，得由，得2．求各杆变形3．求中点的位移由图3-13易知， 图3-133-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆得变形分别为2.位移分析如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。可以看出，3-15如下图桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为该桁架的应变能为 图3-15依据能量守恒定律，最后得(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：1200345于是，依据能量守恒定律，可得3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：12345由表中结果可得依据得3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为 (a)由图可知，假设自左向右取坐标，那么该截面的宽度为将上式代入式〔a〕,并考虑到,于是得设板的轴向变形为l，那么根据能量守恒定律可知，或由此得3-19图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。 题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19bAC与CB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[t]=160MPa,许用压应力[c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。题3-20图解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根据强度条件，取3-21图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得 (a)后取节点为研究对象，由和依次得到 (b)及 (c)在节点处有变形协调关系〔节点铅垂向下〕 (d)物理关系为 (e)将式(e)代入式(d)，化简后得联解方程和，得〔拉〕，〔压〕，〔拉〕(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮的平衡，由，得由此得在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。假设载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。 图3-22由图a可得平衡方程 (a) (b)由图b得变形协调方程为 (c)根据胡克定律，有将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得(压)，〔拉〕，〔拉〕根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：根据题意要求，最后取3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程，得(a)由变形图中可以看出，变形协调条件为 (b)根据胡克定律，(c)将上述关系式代入式〔b〕，得补充方程为联立求解平衡方程〔a〕与上述补充方程，得(d)2.由位移y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C’(CC’AC)〔图b〕，且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，C点的总位移为又由于由此得将式〔c〕与〔d〕的第一式代入上式，于是得并从而得3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在以下两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙=0.6mm；(b)间隙=0.3mm。题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为当间隙=0.6mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值那么为当间隙=0.3mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。 图3-24杆的平衡方程为补充方程为由此得而C端的支反力那么为3-25图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假设将B端约束解除掉，那么在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长全杆伸长为2．求约束反力设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为由变形协调条件可得3．求杆件横截面上的应力3-26图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别示如图3-26a和b。 图3-26根据平衡条件，由图a可得 (a)由图b可得 (b)变形协调关系为(参看原题图) (c)依据胡克定律，有 (d)将式(d)代入式(c)，得补充方程 (e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得即〔拉〕〔压〕3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。 题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管那么受压。设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，那么由图b与c可知，平衡方程为 (a)而变形协调方程那么为利用胡克定律，得补充方程为 (b)最后，联立求解平衡方程〔a〕与补充方程〔b〕，得螺栓与套管所受之力即预紧力为式中，3-28图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为=12.5×10-6℃-1与=16×10-6℃-1。题3-28图解：设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为或写成这里，伸长量和缩短量均设为正值。引入物理关系，得将静力平衡条件代入上式，得注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为由此得3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在以下两种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)假设杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)假设杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。题3-29图(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点那么铅垂位移至。过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。图3-29(1)可以看出，即变形协调条件为而补充方程那么为或(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于，即。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至，而杆2的下端点D那么铅垂位移至。过作直线C’e垂直于直线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图3-29(2)可以看出，故变形协调条件为而补充方程那么为或3-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。题3-30图解:此为一度静不定问题。节点处的受力及变形示如图3-30a和b。图3-30由图a得平衡方程为 (a)由图b得变形协调条件为 (b)依据胡克定律,有 (c)将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为 (b’)将方程(b’)与方程(a)联解，得由此得为了提高值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为式中，均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时到达，即由此得此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管外表纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为于是，该圆管横截面上的扭转切应力为依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为该圆管外表纵线的倾斜角为4-7试证明，在线弹性范围内，且当R0/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为设，按上述公式计算的扭转切应力为 (a)按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为极惯性矩为由此得 (b)比拟式(a)与式(b)，得当时，可见，当时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53％。4-8图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用表示，式中的C与m为由试验测定的常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到 (a)根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为 (b)由静力学可知， (c)取径向宽度为的环形微面积作为，即 (d)将式(d)代入式(c)，得由此得 (e)将式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭转切应力公式为横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。 图4-84-9在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF〔图b〕。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。 图4-9根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为同理，得截面上分布内力的合力为方向示如图c。设作用线到轴线的距离为，容易求出根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为同理，左端面上的合力为方向亦示如图c。设作用线到水平直径的距离为〔见图b〕，由得同理，作用线到水平直径的距离也同此值。根据图b，还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为设作用线到竖向半径的距离为〔见图b〕，由得同理，可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。既然是力偶系，力的平衡方程〔共三个〕自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的在数值上均等于。4-11如下图，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D=80mm，壁厚=6mm，许用切应力[]=40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。1.由圆轴求的许用值由此得的许用值为2．由套管求的许用值此管不是薄壁圆管。由此得的许用值为可见，扭力偶矩M的许用值为4-13图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。轴总长为l，许用切应力为[]。题4-13图解：1.轴的强度条件在截面处的扭矩最大，其值为由该截面的扭转强度条件得 (a)段上的最大扭矩在截面处，其值为由该截面的扭转强度条件得2．最轻重量设计轴的总体积为根据极值条件得由此得 (b)从而得 (c) (d)该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F=1kN作用。设弹簧的平均直径D=40mm，弹簧丝的直径d=7mm，许用切应力[]=480MPa，试校核弹簧的强度。解：由于故需考虑曲率的影响，此时，结论：，该弹簧满足强度要求。4-20图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为题4-20图证明：自左端向右取坐标，轴在处的平均半径为式中，截面的极惯性矩为依据得截面和间的扭转角为4-21图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为常数。题4-21图(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设A与B端的支反力偶矩分别为，它们的转向与扭力偶矩相反。由于左右对称，故知由可得即(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，示如图4-21b。 图4-21b变形协调条件为 (a)利用叠加法，得 (b)将式(b)代入式(a)，可得进而求得〔转向与相反〕(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到的转向与相反。(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，从变形趋势不难判断，的转向与相反。变形协调条件为 (c)利用叠加法，得到〔从左端向右取〕(d)将式(d)代入式(c)，可得进而求得的转向亦与相反。4-22图示轴，承受扭力偶矩M1=400N•m与M2=600N•m作用。许用切应力[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°)/m，切变模量G=80GPa。试确定轴径。题4-22图解：1.内力分析此为静不定轴，设端支反力偶矩为，该轴的相当系统示如图4-22a。 图4-22利用叠加法，得将其代入变形协调条件，得该轴的扭矩图示如图4-22b。2.由扭转强度条件求d由扭矩图易见，将其代入扭转强度条件，由此得3.由扭转刚度条件求d将最大扭矩值代入得结论：最后确定该轴的直径。4-23图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。许用切应力为[]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。题4-23图解：1.求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，那么轴的平衡方程为 (a)AC与CB段的扭矩分别为，代入式〔a〕，得 (b)设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB，那么变形协调条件为 (c)利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有，代入式〔c〕，得补充方程为 (d)最后，联立求解平衡方程〔b〕与补充方程〔d〕，得， (e)2.最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求由此得将式〔e〕代入上式，得并从而得，根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为4-24图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a=300mm，切变模量G=80GPa，试求轴端的扭转角。题4-24图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为或 (a)这里，和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为，那么轴1和2承受的扭矩分别为 (b)物理关系为 (c)将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得由此得4-26如下图，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D=76mm，壁厚=6mm，许用切应力[]=40MPa，切变模量G2=40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。题4-26图解：1.解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为 (a) (b)物理关系为 (c)将式(c)代入式(b)，并注意到得 (d)将方程(a)与(d)联解，得2．由圆轴的强度条件定的许用值由此得扭力偶据的许用值为3.由套管的强度条件定的许用值由此得扭力偶据的许用值为结论：扭力偶矩的许用值为4-27图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[s]=80MPa与[c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。题4-27图解：1.求解静不定如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处〔即横截面B〕，假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，那么由平衡方程可知，(a)两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即 (b)设轴段AB的长度为l，那么将上述关系式代入式〔b〕，并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为(c)联立求解平衡方程〔a〕与补充方程〔c〕，于是得(d)2．强度校核将相关数据代入式〔d〕，得对于钢轴，对于铜管，4-28将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：1.求解静不定此为静不定问题。在内管两端施加后，产生的扭转角为 (a)去掉后，有静力学关系 (b)几何关系为 (c)物理关系为 (d)将式(d)和式(a)代入式(c)，得或写成由此得 (e)联立求解方程(e)与(b)，得2.计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为4-29图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M=5.0kN·m，螺栓的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。题4-29图解：1.求每个螺栓所受的剪力由得2.由螺栓的剪切强度条件求由此得3.由螺栓的挤压强度条件求由此得结论：最后确定螺栓的直径。4-30图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1的圆周上，另外四个螺栓那么均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。 题4-30图解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri成正比，即式中，k为比例常数。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为而剪力那么为最后，根据平衡方程得于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力[]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。 题4-31图解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处〔图b〕。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为(a)由图中可以看出，，所以，代入式〔a〕，得将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为4-34图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，=3mm，=4mm，T=6kN·m，试求最大扭转切应力。题4-34图解：截面中心线所围面积为由此得于是得最大扭转切应力为4-35一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如下图，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为1与2，且1<2，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角。 题4-35图解：1.扭转切应力计算闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为现在所以，最大扭转切应力为2.扭转变形计算用相距dx的两个横截面，与夹角为d的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为由此得整个上半圆管的应变能为同理得整个下半圆管的应变能为根据能量守恒定律，于是得4-36图示三种截面形状的闭口薄壁杆，假设截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。题4-36图解：由于三者中心线的长度相同，故有由此得据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的，其值依次为依据可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为依据可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为结果说明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最正确，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积，这样对强度和刚度均有利。4-37图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。许用切应力[]=60MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.5(°)/m，切变模量G=80GPa。假设在杆上沿杆件母线开一槽，那么许用扭力偶矩将减少至何值。题4-37图解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件得由扭转刚度条件得其中用到比拟可知，2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件得由扭转刚度条件得比拟可知，第六章弯曲应力6-2如下图，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。 题6-2图解：金属丝的曲率半径为所以，金属丝的最大弯曲正应变为最大弯曲正应力为而弯矩那么为6-3图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。题6-3图解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为依据可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为6-6图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数Wz与Wy。 题6-6图解：1.Wz计算由图b可以看出，所以，ADB对z轴的惯性矩为中部矩形截面对z轴的的惯性矩为于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为而对z轴的抗弯截面系数那么为2.Wy计算ADB对y轴的惯性矩为中部矩形截面对y轴的的惯性矩为于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为而对z轴的抗弯截面系数那么为6-7图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2)如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。题6-7图解：(1)为使弯曲强度最高，应使值最大。由此得(2)为使弯曲刚度最高，应使值最大。由此得6-8图a所示简支梁，由№18工字钢制成，弹性模量E=200GPa，a=1m。在均布载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变=3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。题6-8图解：1.内力分析梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为梁内的最大弯矩那么为 (a)2.应力计算〔解法一〕横截面C底部的弯曲正应力为由此得代入式〔a〕，得于是得梁的最大弯曲正应力为3.应力计算〔解法二〕横截面C底部的弯曲正应力为由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为计算结果相同。6-9图示简支梁，承受均布载荷q作用。抗弯截面系数为Wz，弹性模量为E，试计算梁底边AB的轴向变形。 题6-9图解：梁的弯矩方程为横截面x处底边微长dx的轴向变形为所以，梁底边AB的轴向变形为6-10图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M=20kN·m，材料的弹性模量E=200GPa，泊松比=0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。题6-10图解：1.截面几何性质工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。图6-10由附录表4查得并从而得2．计算顶边的长度改变量顶边处有由此可得边的伸长量为3．计算上半腹板的长度改变量距中性轴为的点，弯曲正应力的绝对值为〔以向上为正〕该处的横向应变为由此可得线段的伸长量为6-12图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该局部是如何平衡的。题6-12图解：1.单元体的应力分析梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩那么为与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力那么为在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力，其值为在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。2.单元体的受力分析根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4那么代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。显然，3.单元体的平衡根据上述计算结果，得说明单元体满足平衡条件。6-13图示矩形截面简支梁，承受矩为Me=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图〔注明应力大小〕，并说明该单元体是如何平衡的。题6-13图解：1.画剪力、弯矩图左、右支座的支反力大小均为，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示如图6-13a与b。 图6-132．求单元体两端面上的应力及其合力单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力与数值相等。左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为3．检查单元体的平衡方程是否满足由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足〔另三个平衡方程是恒等满足，无需写出〕。6-14梁截面如下图，剪力Fs=200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘〔或盖板〕交界处的弯曲切应力。题6-14图(a)解：截面形心至其顶边的距离为惯性矩和截面静矩分别为于是得腹板上的最大弯曲切应力为腹板与翼缘交界处的弯曲切应力那么为(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为惯性矩〔采用负面积法〕和截面静矩分别为于是得腹板上的最大弯曲切应力为腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为6-17图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0<<3l/2。许用拉应力[t]=35MPa，许用压应力[c]=140MPa,l=1m，试确定载荷F的许用值。题6-17图解：1.截面几何性质计算由图6-17可得 图6-172．确定危险面的弯矩值分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当作用在段时，当作用在段时，3．确定载荷的许用值由危险面的压应力强度要求得由截面的拉应力强度要求得由作用面的拉应力强度要求得该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。比拟上述计算结果，得载荷的许用值为6-18图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。截面宽度为b，许用应力为[]。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度h1和h2。题6-18图解：1.求最大弯矩左段梁最大弯矩的绝对值为右段梁最大弯矩的绝对值为2．求截面高度和由根部截面弯曲正应力强度要求得 (a)由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求得 (b)3．确定梁的总体积为由得最后，将式(c)代入式(b)，得为使该梁重量最轻〔也就是最小〕，最后取6-19图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。载荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板的许用应力[]=7MPa，胶缝的许用切应力[]=5MPa，试校核强度。题6-19图解：1.画剪力、弯矩图该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力〔绝对值〕和最大弯矩分别为 图6-192．校核木板的弯曲正应力强度3．校核胶缝的切应力强度结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。6-21图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W=50kN，最大起重量F=10kN，许用应用[]=160MPa，许用切应力[]=80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。题6-21图解：1.求最大弯矩设左、右轮对梁的压力分别为，不难求得由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力 图6-21该梁的剪力、弯矩图示如图b和c。图中，由得极值位置依次为两个弯矩极值依次为比拟可知，单梁的最大弯矩值为2．初选工字钢型号先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得由附录表4初选№28a工字钢，有关数据为3．检查和修改考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。由于自重，梁中点截面的弯矩增量为上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应力强度时可将二者加在一起计算〔计算的比真实