杨辉三角形与高阶等差数列

三角形与高阶等差数列宁夏中卫中学麦兴旺杨辉简介杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的奉献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉一生留下了大量的著述，他编著的数学书共五种二十一卷。他非常重视数学教育的普及和开展，为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法根源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：111121133114641151010511615201561.....................................法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”杨辉三角的性质杨辉三角的产生〔1〕、由11的n次幂的各位数字〔不含进位〕与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如以下图：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)……〔2〕、〔a+b〕n的展式的系数1(n=0)11(n=1)121(n=2)1331(n=3)14641(n=4)15101051(n=5)1615201561(n=6)……杨辉三角的性质〔a+b〕r的展开式的系数排列如下1(r=0)11(r=1)121(r=2)1331(r=3)14641(r=4)15101051(r=5)1615201561(r=6)…………1cc……c……c1(r=m)…………1cc……ccc1(r=n-1)1cc……c……c1(r=n)1ccc……c……c1(r=n+1)1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。{c}。2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即。3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即c=c+c。4°c+c+c……+c……+c+c=2杨辉三角中的高阶等差数列差分数列：数列相邻项的差称为数列的差分，由数列的差分所组成新数列称为差分数列如数列，如a,a，a……a……的差分b,b，b……b……(b=a-a)称为一阶差分数列；由b,b，b……b……差分组成数列c,c，c……c……称为二阶差分数列；……高阶等差数列：假设一数列的r阶差分数列是常数列〔它的r+1阶差分是零〕那么称这个数列为r阶等差数列。一阶等差数列即是我们所说的等差数列。二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列。如1，3，4，5……，n……是一等差数列；1，3，6，10，……是二阶等差数列。杨辉三角中的高阶等差数列我们先讨论杨辉三角中n为前7行时的情况。分别为每一斜行标号，如下图：(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15〔一阶〕把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20〔二阶〕把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15〔三阶〕把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6〔四阶〕将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字比照，我们发现它们是完全相同的。111121133114641151010511615201561由上面可猜测得到：杨辉三角中n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和.即：杨辉三角中有第i斜线的前n个数的和等于第i+1斜线的第n+1个数；1+1+1+1+……+１＝c；1+2+3+……+c=c;1+3+6+10+……+c＝c；1+4+10+20+……+c＝c;……c++c+……+c=c(r=1,2,3,……)(*)公式(*)为杨辉三角的首项为１的r阶等差数列求和公式。c为通项公式c为前n项和的公式。四、一般高阶等差数列的通项公式及前n项的和设{an}为一r阶等差数列，现给出它的通项公式和前n项和的公式；求r阶等差数列的通项公式设a,a，a……a……为一r阶等差数列，现用逐差法求通项公式；各阶差分数列一阶b,b，b……b……(b=a-a)二阶c,c，c……c……(c=b-b)三阶m,m，m……m……(m=c-c)……设d为各阶差分数列的首项，那么有d=b=a-ad=c=b-b那么d=c=b-b=〔a-a〕-〔a-a〕=a-2a+ad=m=c-c那么d=m=c-c=〔b-b〕-〔b-b〕=(a-a)-(a-a)-(a-a)+(a-a)=a-3a+3a-a由此可推定d=a-4a+6a-4a+a……d=a-ca+ca-……+(-1)+a=常数d=0而a=a+b=a+da=a+b=(a+d)+(b+c)=a+d+d+d(c=d)=a+2d+da=a+b=(a+2d+d)+(b+c)=(a+2d+d)+(b+c)+(c+m)=a+2d+d+d+d+d+d=a+3d+3d+d由此可推定a=a+4d+6d+4d+d……a=a+cd+cd+……+cd+d所以通项公式a=a+cd+cd+……+cd+cd(d=0)2、高阶等差数列的前n项和公式设a,a，a……a……为一r阶等差数列。现构造一r+1阶等差数列0，a，a+a，a+a+a，……，a+a+a+……+a，……各阶差分数列一阶a，a，a……a……二阶b,b，b……b……(b=a-a)三阶c,c，c……c……(c=b-b)四阶m,m，m……m……(m=c-c)……设Ｄ为各阶差分数列的首项，那么有Ｄ＝a，D=d，D=d……，D=d，D=d=0由前面通项公式知a+a+a+……+a是该数列的前n+1项，所以，a+a+a+……+a＝0+cＤ+cD+……+cD+cD=ca+cd+cd+……+cd+cd设S=a+a+a+……+a那么a，a，a……a……前n项和公式为S＝ca+cd+cd+……+cd+cd(r+1n)例1、求高阶差数列1，7，25，61，121，211，……的通项公式和前n项和公式解：一阶6，18，36，60，90，……二阶12，18，24，30，……三阶6，6，6，……所以该数列是三阶等差数列a＝1，d＝6，d＝12，d＝6，d＝0a＝6+6(n-1)+6(n-1)(n-2)+(n-1)(n-2)(n-3)=n-n+1S=n+3n(n-1))+2n(n-1)(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)/4检验a＝125－5+1＝121s=5+60+120+30=215例2、在以下数列的〔〕填上适当的数〔这是某省招考公务员的试题〕11，23，41，65，〔〕，131，……提示该数列是一二阶等差数列例3、将L定义为求在一平面内用n条直线确定的最大区域数目例如n=1L=2,进一步考虑：用n条直线放在平面上能确定的最大区域L是多少？〔这是第五届全国青少年信息学的竞赛试题〕提示L=2，L=4，L=7，L=11，L=16，……的二阶等差数列3、高阶等差数列的通项公式和前n项和公式还有一种求法由通项公式a=a+cd+cd+……+cd+cd+cd(rn-1)可得a是一个n的r次多项式；S＝ca+cd+cd+……+cd+cd(r+1n)是一个n的r+1次多项式。这样可用待定系数法求得。例4求数列5，17，35，59，89，……的通项公式解：一阶12，18，24，30……二阶6，6，6，……所以该数列是二阶等差数列。设a=an+bn+cn=1a+b+c=5n=24a+2b+c=17n=39a+3b+c=35解之得a=3b=3c=-1所以a=3n+3n-1在VB中输出杨辉三角形下面是打印杨辉三角形的20行VB程序：PrivateSubForm_Click()

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