专题12 反比例函数与几何综合（解析版）

2/2专题12反比例函数与几何综合目录热点题型归纳 1题型01K的几何意义 1题型02特殊几何图形存在性问题 13题型03反比例与相似三角形综合 35中考练场 40题型01K的几何意义【解题策略】反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．【典例分析】例1.（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，，直线与轴交于点，当时，，即，与双曲线分别相交于点，联立，即，则，由，解得，，即，解得，故选：A．例2.（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，先求出点的坐标为，再根据可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，从而可得的值，由此即可得．【详解】解：如图，过点作轴于点，

设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，，，，，∴，，，解得，，，，的面积为3，，即，整理得：，将点代入得：，整理得：，将代入得：，解得，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点的坐标是解题关键．【变式演练】1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可．【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，∵轴，轴，∴，，，∴，∴，∴，∵，轴，∴，，，∴，∴，，∵轴，轴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形为矩形，同理可得：四边形和四边形为矩形，，，，设点A的坐标为：，，，，，即，∵正方形的面积为12，，在中，由勾股定理得，即，把代入得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键．2．（2023·安徽·二模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（）

A． B．8 C．16 D．32【答案】A【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得为等腰直角三角形，四边形为正方形，四边形为矩形，求出点的坐标即可．【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交于点，

则：，∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点，∴轴，轴，∴轴，∴，∴四边形为正方形；∵，∴，∴，；∵轴，轴，，∴四边形为矩形，∴，，∵C为优弧的中点，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查求反比例函数的值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难度较大．3．（2023·安徽·模拟预测）如图，等腰的顶点分别在反比例函数和的图象上，．若轴，点的横坐标为3，则．【答案】9【分析】本题考查反比例函数的图象与几何综合，勾股定理，以及等腰三角形的性质，过点作于点．设，则，，．设点的纵坐标为，表示出,,,的坐标，根据反比例函数关系式，推出，含的表达式，再求其和，即可解题．【详解】解：过点作于点．设，则，，．设点的纵坐标为，，，，．点，都在的图象上，，，．点在的图象上，，．故答案为：．4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，直线的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与的图象交于点，与的图象交于点．当时，．

【答案】或【分析】如图所示，过点作于点，可求出，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据两直线的交点，直线与反比例函数的交点，分别列方程组，用含的式子表示出点的坐标，可得的值，由即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，

∴，，∵，∴，即，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，

∴，∴，∴，∵直线与轴交于点，与的图象交于点，∴，解得，，∴，∵直线与轴交于点，与的图象交于点，且，∴，解得，，∴，∴，，∴，∴，，，∴，，故答案为：或．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的面积，相似三角形等知识的综合，掌握求交点坐标的方法，根据图形面积求出线段的比值是解题的关键．题型02特殊几何图形存在性问题【解题策略】考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．【典例分析】例．（2023·山东·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.【分析】（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】（1）解：因为直线经过点，所以，所以m=-2，所以点A（-2，-3），因为点A在图象上，所以，因为与双曲线交于A，两点，所以点A和点B关于原点对称，所以点B(2，3)；（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，所以BE//CF，所以,所以，因为，所以，因为B（2，3），所以BE=3，所以CF=1，所以C点纵坐标是1，将代入可得：x=6，所以点C（6，1），又因为点B’是点B关于y轴对称的点，所以点B’（-2，3），所以B’C=，即的最小值是；（3）解：①当点P在x轴上时，当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，因为∠OBP=90°，BH⊥OP,所以，所以，所以,所以，所以，所以，所以点P（，0）；②当点P在y轴上时，当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，因为∠OBP=90°，BH⊥OP,所以，所以，所以,所以，所以，所以，所以点P（0，）综合可得：P（，0）或（0，）.【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.【变式演练】1．（2023·湖南邵阳·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．(1)求点及点的坐标；(2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点P的坐标为或或或．【分析】（1）先解得到两个根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，进而可求得的中点．（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点F的坐标，再根据对称性求出点F′的坐标即可．（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，分，和三种情况列式求出t的值即可．【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵点D为的中点，∴点D的坐标为，即．（2）在中，由勾股定理得：，∴，设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得：∴直线的函数解析式为，∵，设直线的函数解析式为，∴，解得，，∴直线的函数解析式为，当时，，此时，∴，∴点F关于y轴的对称点为，∵反比例函数经过点，∴．（3）设直线的解析式为，将点的坐标代入得，，解得：∴直线的解析式为∵点P在直线上，∴设点，∴下面分三种情况讨论：①当时,解得：，∴∴点P的坐标为；②当时,解得：，∴,此时点P不存在，，∴点P的坐标为；③当时,解得：，∴点P的坐标为或；综上，点P的坐标为或或或．2．（2023·山东济南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；(2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．(3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表达式，即可求出点B的坐标；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，用勾股定理即可求解；（3）设，，根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）解：将带入得：，解得：∴，将代入得：，∴反比例函数的表达式为：，联立，解得：，∴，综上：反比例函数的表达式为：，；（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，∵，∴；（3）解：设，，①在点右侧时，过点作轴于点F，过点M作，交的延长线于点H，∵是以为底的等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，解得：，∴，②在点左侧时，同理可得，∴，∴，解得：，∴，综上：或．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数法求解函数表达式，具有分类讨论的思想．3．（2023·四川成都·三模）如图，直线与x轴交于点A，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D在点C上方的反比例函数的图象上，的面积为9，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点M在x轴上的图象上，若以点M，N，B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)，或或，【分析】（1）把代入得到，由于点在双曲线上，求得，于是得到反比例函数的解析式为；（2）由可知的坐标为，得到的坐标为，求得，，过作轴于，轴于，设，则，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）分当，为平行四边形的对角线时，当，是对角线时，当，是对角线时，三种情况讨论，设，，根据中点坐标公式得方程：即可得到结论．【详解】（1）解：把代入，得，解得：，，点在双曲线上，，反比例函数的解析式为；（2）解：由可知的坐标为，当时，，，的坐标为，，，过作轴于，轴于，设，则，，∵的面积为9，，解得（负值舍去），；（3）解：点在轴上，点在反比例函数的图象上，设，，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，当以，为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，解得：．即点，；当，是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，即点的坐标为：，当，是对角线时，由中点坐标公式得：，解得，，，综上，点的坐标为，或或，．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，分类求解是本题解题的关键．4．（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接(1)求k，b的值.(2)当的面积为3时，求点P的坐标.(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.【答案】(1)(2)(3)或，【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．【详解】（1）∵直线过点，∴，∴，∵直线过点，∴，∴，∵过点，∴；（2）∵点P的横坐标为t，∴，∴∴，∵，又，∴，∴，∴；（3）如图1，∵，，∴当是边，点D在x轴正半轴上，作于F，作于G，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），∴如图2，当点D在x轴的负半轴上时，由上知：，∴，∴，当是对角线时，当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，可得：，∴，∴，∴，如图4，，∴，∴，（舍去），当时，，∴，综上所述：或，.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．5．（2023·山东济南·二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】(1)(2)4(3)，【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）连接、，设平移后直线的解析式为，得出点，根据直线平行直线，得出，根据点A、点B关于原点对称，得出点，根据，列出关于b的方程，解方程即可；（3）设，，，得出，，，分两种情况，当为边时，当为对角线时，分别求出m的值即可．【详解】（1）解：令一次函数中，则解得：，即点A的坐标为，∵点在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：连接、，如图所示：设平移后直线的解析式为，∴点，∵直线平行直线，∴，∵的面积为16，∵点A、点B关于原点对称，∴点，∴，∴，∴，∴，∴直线向上平移的距离为4．（3）解：设，，，则，，，①如图，当为边时，此时满足，即：，解得，∴；②如图，当为对角线时，此时满足，即，解得（舍去），∴；【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．题型03类比探究问题【解题策略】考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．【典例分析】例．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，将点代入得：解得：∴将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：∴，∴，又∵，∴∵，∴又∵直线l是的垂线即，，∴，∴设直线l的解析式是：，将点，点代入得：解得：∴直线l的解析式是：，设点C的坐标是∵，(分别代表点B与点C的横坐标)解得：或6，当时，；当时，，∴点C的坐标为或（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴画出图形如下：

又∵，∴，∴∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：将点代入得：，解得：∴直线的解析式是：∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，将直线与双曲线的解析式联立得：，解得：或∴设直线的解析式是：将点，代入得：，解得：∴直线的解析式是：，又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：，解得：∴点P的坐标为，∴，∴【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．【变式演练】1．（2023·黑龙江鸡西·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，、的长分别是方程的两个根，且．(1)求点B的坐标；(2)如图2，过点A且垂直于的直线交y轴于点F，在直线上截取，过点D作轴于点E，求经过点D的反比例函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，写出点P的个数及其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在四个；，，，【分析】（1）解方程的得到两个解，即为、的长，在根据坐标的意义即可得到点B的坐标；（2）利用三角形全等求出所需线段的长度，再在根据坐标的意义即可得到点D的坐标，最后用待定系数法求出经过点D的反比例函数的解析式；（3）利用相似的性质分两种情况，得出、的长度的比，进而求出的长度，最后根据坐标的意义即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：方程的两个根为：，.∵，∴，.∴．（2）解：过点A作交延长线于点G，∵，，，∴，在和中∵，∵，∴，，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∴，设过点D的反比例函数解析式为，∴，∴．（3）存在，，，，，理由如下：当时，∵，∴，∴，∴，根据解析（2）可知，点E的坐标为，∴此时点P的坐标为或；当时∵∴∴∴∴此时点P的坐标为：或；综上分析可知，有四个点，坐标分别为，，，．【点睛】本题考差了矩形的性质，相似的性质，全等的判定与性质，一元二次方程的解法，待定系数法等，数形结合思想的应用是解题的关键.2．（2022·广东广州·二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，，，双曲线与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；(2)将沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．【答案】(1)(2)，相似比为【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为，点F坐标为，即可得，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．【详解】（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为（2，2），将点E的坐标代入，可得k=4，即反比例函数解析式为：，∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标=，∴点F的坐标为（4，1）；（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED，又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF，结合图形可设点E坐标为，点F坐标为，则，在中，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质．3．（2022·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，∥x轴交反比例函数于点．(1)求、的值；(2)如图，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作∥，交反比例函数于点若，求的值．(3)如图，在的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似不含全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，18(2)(3)存在，或或或【分析】（1）将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；（2）将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值；（3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当时，当时，当时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．【详解】（1）作轴于，如图：，，∽，直线经过点，，解得，直线解析式为：，，，，，点坐标为，将点坐标代入，得．（2）轴，点的纵坐标为，代入，得，点坐标为，将点横坐标代入，得，点纵坐标为，代入，得，点坐标为，，，解方程得或舍，．（3）存在，理由如下：如图，过点作轴于点，由(2)知，，直线的解析式为：，，，，：，．，．Ⅰ、当时，如图所示，设与交于点，由知，轴，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，解得；；，直线的解析式为：；①若∽，则：：，不符合题意，舍去；②若∽，：：，即：：，解得，设，，解得，负值舍去，；Ⅱ、当时，①若∽，如图，，：：，，即点在上，：：，，，，直线的解析式为：；②若∽，：：，即：：，解得，设，，解得，负值舍去，；Ⅲ、当时，，直线的解析式为：；①若∽，则：：，不符合题意，舍去；②若∽，如图，：：，即：：，解得，设，，解得，正值舍去，；综上，符合题意的点的坐标为：或或或【点睛】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关1．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得结果．【详解】解：连接、，四边形是菱形，，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，与、与关于原点对称，、经过点，，，，作轴于，轴于，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．2．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（

）A． B． C．7 D．【答案】A【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据，即可求得a的值，从而可求得k的值．【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a∴A（3a,4a），E(3a,7a)∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形∴FH=AG=3a，AF=GH∵E点在双曲线上∴即∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴即∴∵∴解得：∴故选：A．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为．

【答案】4【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值．【详解】解：如图，过点作轴于点，

轴，

，，，是的中点，，，，，即，同理可得，，，，设，则，，，都在反比例函数上，，解得，，在中，，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为，a的值为．

【答案】129【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可．【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，∴，∵的面积为9，四边形的面积为14，∴的面积是5，

设，，∴，，∴，，，，∴，，整理得：，，∵，，∴，∴，∴，则③，把③代入②得：，∴，即④，把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案为：12；9【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．5．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则．

【答案】【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．方法二：根据已知得出则，即可求解