2021年江西中考数学重点题型专题突破3-特殊图形的计算与证明

中考重点题型专题突破卷3特殊图形的计算与证明(选择题、填空题共8小题，每小题3分；解答题共10小题)eq\a\vs4\al(类型1特殊三角形的计算与证明)1．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是____．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3eq\r(3)，则BD的长度为____．3．已知△ABC是等边三角形，且AB＝4，△ACD是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD，则对角线BD的长为____．4．将两条邻边长分别为eq\r(2)，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是____．5．(8分)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．.6．(9分)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.(1)如图1，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；(2)如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.求证：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))eq\a\vs4\al(类型2特殊四边形的计算与证明)7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10题图）))8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3eq\r(10)，点P是AD的中点，点E在边BC上，CE＝2BE，点M，N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝____．9．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为____．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为____．11．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．12．(8分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点(不与点C，D重合)，四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S.(1)若DE＝eq\f(\r(3),3)，求S的值；(2)设DE＝x，求S关于x的函数表达式．eq\a\vs4\al(类型3与切线有关的计算与证明)13．(9分)如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝2eq\r(3)，求eq\x\to(AM)的长(结果保留π)．14．(8分)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，F，DE⊥BC于点E，连接OD，OF.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若AB＝4，且F是eq\x\to(BD)的中点，求EF的长．15．(8分)如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．16．(9分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.(1)求证：EH＝EC；(2)若BC＝4，sinA＝eq\f(2,3)，求AD的长．17．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．18．(9分)已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点．(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC；(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．答案中考重点题型专题突破卷3特殊图形的计算与证明(选择题、填空题共8小题，每小题3分；解答题共10小题)eq\a\vs4\al(类型1特殊三角形的计算与证明)1．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是__6__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3eq\r(3)，则BD的长度为__2eq\r(3)__．3．已知△ABC是等边三角形，且AB＝4，△ACD是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD，则对角线BD的长为__2eq\r(7)，4eq\r(7)或eq\f(4\r(21),3)__．4．将两条邻边长分别为eq\r(2)，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是__eq\r(2)或1或eq\r(2)－1或eq\f(\r(3),2)__．5．(8分)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°.思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．解：(1)∠DAC的度数不会改变．理由：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠C，∠AED＝2∠C.∵∠BAE＝90°，BA＝BD，∴∠BAD＝eq\f(1,2)[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°；(2)设∠ABC＝m°.∵BA＝BD，∴∠BAD＝eq\f(1,2)(180°－m°)＝90°－eq\f(1,2)m°，∠AEB＝180°－n°－m°.∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋eq\f(1,2)m°.∵EA＝EC，∴∠CAE＝eq\f(1,2)∠AEB＝90°－eq\f(1,2)n°－eq\f(1,2)m°.∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋eq\f(1,2)m°＋90°－eq\f(1,2)n°－eq\f(1,2)m°＝eq\f(1,2)n°.6．(9分)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.(1)如图1，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；(2)如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.求证：①EB＝DC；②∠EBG＝∠BFC.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))(1)解：四边形BEAC是平行四边形．理由：∵△EAD是等腰三角形，∠EAD＝90°，点B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°.∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°.∴BC∥AE，AC∥BE.∴四边形BEAC是平行四边形；(2)证明：①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∴AE＝AD，AB＝AC.∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB，即∠EAB＝∠DAC.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴EB＝DC；②图2中，延长FG至点H，使HG＝FG.∵点G是EC的中点，∴EG＝CG.又∵∠EGH＝∠CGF，∴△EHG≌△CFG(SAS).∴∠BFC＝∠H，EH＝CF.∵CF＝CD，∴BE＝CF.∴BE＝EH.∴∠EBG＝∠H.∴∠EBG＝∠BFC.eq\a\vs4\al(类型2特殊四边形的计算与证明)7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为(D)A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10题图）))8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3eq\r(10)，点P是AD的中点，点E在边BC上，CE＝2BE，点M，N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__6或eq\f(15,8)__．9．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为__2eq\r(7)__．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为__2eq\r(2)__．11．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD.又∠MOD＝∠NOB，∴△MOD≌△NOB(AAS).∴OM＝ON.∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形．又MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；(2)解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝eq\f(1,2)BD＝12，OM＝eq\f(1,2)MN＝5.在Rt△BOM中，由勾股定理得BM＝eq\r(OM2＋OB2)＝eq\r(52＋122)＝13.∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52.12．(8分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点(不与点C，D重合)，四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S.(1)若DE＝eq\f(\r(3),3)，求S的值；(2)设DE＝x，求S关于x的函数表达式．解：(1)∵DE＝eq\f(\r(3),3)，AD＝1，∴tan∠AED＝eq\r(3)，AE＝eq\f(2\r(3),3).∴∠AED＝60°.∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°.∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC＝∠AEM.∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°.∴△APE为等边三角形．∴S＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)×1＝eq\f(\r(3),2)；(2)过点E作EF⊥AB于点F.由(1)可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE.∴AP＝PE.设AP＝PE＝a.又AF＝DE＝x，则PF＝a－x，EF＝AD＝1.在Rt△PEF中，PF2＋EF2＝PE2，即(a－x)2＋1＝a2，解得a＝eq\f(x2＋1,2x).∴S＝eq\f(1,2)x×1＋eq\f(1,2)×eq\f(x2＋1,2x)×1＝eq\f(1,2)x＋eq\f(x2＋1,4x).eq\a\vs4\al(类型3与切线有关的计算与证明)13．(9分)如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝2eq\r(3)，求eq\x\to(AM)的长(结果保留π)．(1)证明：连接OB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＝30°.∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE.∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°.∴∠OBC＝∠OBA＋∠ABC＝30°＋60°＝90°.∴OB⊥CE.∵OB是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；(2)解：过点O作OH⊥AM于点H，连接OM，则四边形OBCH是矩形．∴OH＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2eq\r(3).∴OH＝BC＝2eq\r(3).∴OA＝eq\f(OH,sin60°)＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°.∴eq\x\to(AM)的长为eq\f(60π×4,180)＝eq\f(4π,3).14．(8分)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，F，DE⊥BC于点E，连接OD，OF.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若AB＝4，且F是eq\x\to(BD)的中点，求EF的长．(1)证明：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C.∵OA＝OD，∴∠BAC＝∠ODA.∴∠ODA＝∠C.∴OD∥BC.∵DE⊥BC，∴DE⊥半径OD，即DE是⊙O的切线；(2)解：连接DF.由(1)知OD∥BC，∴∠DOF＝∠BFO.∵F是eq\x\to(BD)的中点，∴∠DOF＝∠BOF.∵OB＝OF，∴∠BOF＝∠BFO＝∠OBF.∴△BOF是等边三角形．∴∠BFO＝60°，BF＝OB＝eq\f(1,2)AB＝2.易证△DOF和△ABC也为等边三角形．∴∠C＝∠DFO＝60°，BC＝AB＝4.∴∠CFD＝180°－60°－60°＝60°，CF＝4－2＝2.∴△DCF是等边三角形．∵DE⊥BC，∴EF＝eq\f(1,2)CF＝1.15．(8分)如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°＝90°－∠OCE.∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°.∴PC⊥半径OC，即PC为⊙O的切线；(2)解：连接BD.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－62)＝8(cm).∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝∠BCD，∴eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BD).∴AD＝BD.∴∠DAB＝∠DBA＝45°.∴△ADB为等腰直角三角形．∴AD＝eq\f(\r(2),2)AB＝5eq\r(2)(cm).16．(9分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.(1)求证：EH＝EC；(2)若BC＝4，sinA＝eq\f(2,3)，求AD的长．(1)证明：连接OE.∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC.又BC⊥AC，∴OE∥BC.∴∠CBE＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB.∴∠CBE＝∠OBE.又EH⊥AB，EC⊥BC，∴EH＝EC；(2)解：在Rt△ABC中，BC＝4，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,3)，∴AB＝6.由sinA＝eq\f(2,3)＝eq\f(OE,AO)，设OE＝2a，AO＝3a(a≠0)，则OB＝2a，BD＝4a.∵AB＝AO＋OB＝3a＋2a＝6，∴a＝eq\f(6,5).∵AD＝AB－BD＝6－4a，∴AD＝eq\f(6,5).17．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．(1)证明：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD.∵∠BAC＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠BAD.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO.∴∠BDE＝∠ADO.∵∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠BDE＋∠ODB＝90°.∴∠ODE＝90°，即DF⊥OD.又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.∵OB＝OA，∴OD∥AC.∴△EOD∽△EAF.∴eq\f(OD,AF)＝eq\f(OE,AE).设OD＝x.∵CF＝2，BE＝3，∴OA＝OB＝x