（全国2卷）2015年理科数学真题（含答案解析）

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第।卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必先将自己的

姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2-回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

已知集合人={-2,-1,0,1,2)B={x|(Xl)(x+2)<0}，则AnB=()

(A){-l,0)(B){0,l)(C){-l,0,l}(D){,0,,1,2)

【答案】A

【解析】由已知得6=卜2x1,0，故选A

(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-41,则a=()

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答案】B

•【解析】-1

I

■,

由已知得4a+(d一4)3=7：,所以4久=0：不一4=7,解得a=0,故选：

’仃厂根据-下面给出的2004年至加13-年我杳二盘化硫排放量P单位T力吨丁柱形图「喊下结

论不正确的是()

2007年我国治理二氧化硫排放显现

2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份

负相关.

(4)等比数列｛an｝满足al=3,4+4+龙=21,则a+a+a=,

357(I

(A)21(B)42(C)63(D)84

【答案】B

■-------------------------------------------------------------------------■

【解析】•,

设等比数列公比为g，则q+々¥==21,又因为4=3,所以/+炉一6=0,解得.

£['=2,所以生+生+a-=(q+生+生)/=32,故选3..

1+log(2-x),x

«x)1f(一2)+/(log12)=

(5)设函数=2

2、,x1,

-1

/

(A)3(B)6(C)9(D)12

【答案】C

【解析】由己知得f(-2)=1+log24=3,又Ic^lZ1,所以

f—_==，故

(log12)22

log121log6

22

2

拶区r•

《秋〈二个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩

务自4积的比值为

1111

(A)8(B)7_(。6-(D)5-

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体/6C0-/8G，中，截去四面A-ABD如图所示，，

体-111，、八，，

11.131353，所

=a3=a-_a=a

司66

设正方体棱长为a则326，故剩余几何体体积为

AABD

111

1

以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

MN\

(7)过三点A(1,3)B(4,2)C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点，则=

(A)2G(B)8(C)4G(D)10

【答案】C

L■析:''

由已知得如=之二=一1，上“=2匕=一3,所以3fA^=-1,所以K3_C8,即A4EC为直

1—43〜4—1

%三角形，其外接扇圆心为Q—2),半径为5,所以外接扇方程为(＞一1)?+&,+2)二=25,令x=0,得・

」=±2#-2,所以明用=4#,故选C...

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术”。执行

该程序框图，若输入a,b分别为14,18,则输出的2=

【答案】B

【解析】程序在执行过程中，a,匕的值依次为a=14,6=18；匕=4；a=10；a=6；

a=2；b=2,此时a=/?=2程序结束，输出a的值为2,故选B.

是球O的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的

最大值为36,则球。的表面积为

A.36nB.64nC.144nD.2567T

【答案】c

【解析】如图所示,当点c位于垂直于面£06的直径端点时，三棱锥O-46C的体积最大,

11136

I/-=I/-=——R2R=,故/?=6,则球O

m=的

设球。的半径为/?,此时

OABCCAOB

326

表面积为

AB

【答案】B

'【解而r'R

由已知得，当点尸在3c边上运动时，即时，PA+PB=7tan'x+4+tanx,当点尸在CD边

i运动时，PJ+F5=J(---])：+1+/(□_+])：+1，当时，’

44-2Vtanr\tan.v2

PA+PB=2瓶;当点F在，必)边上运动时，即三MxM"时，PA+PB=7tan:x+4-tanx,从点产

■4■■

,且轨迹非线型，故选B.

'=对称，且

的运动过程可以看出，轨迹关于直线2「()「()

42

(11)己知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，且顶角为

120°,则E的离心率为

(A)V5(B)2(C)V3(D)V2

设双曲线方程为±一E=13>0/>0),如图所示，以用==120°,过点M作MN_x\

a

■q

轴，垂足为N，在&AS虹V中，|EN|=a,|衽\[=我，故点网的坐标为廿Qq4a),代入双曲线1

方程得即c：=2a：,所以e=故选D.J

(12设豳产仅)是奇函数尸(刀)(刀/?)的导函数，f(-lM当X0时，

xf\x)-f{x)0

则使得(7断D?禽:%x的取值范围是(T0)U(L+8)

(A)(B)

(c)(-8,-l)U(T0)(D)ADU(l,+oo)

【答案】A

【解析】

f[x)(、xf⑻-f(x)

g(x)=_Ug[x)=一」——1

xf\x)-f[x)0

记函数x,贝。'

X，因为当X0时，

2,故当

g(x)0所妙(x)在(o,+)单调递减；又因为函数f(x)(x勺是奇函数，故

X时，

0

函数g(M是偶函数，所以g(x)在(-,0)单调递减，且9(-1)=[1)=0.当0x1时,

g(x}④则x)0当x-1时，g(x)0则尸(x)0,综上所述，使得f(x)0成

0

立的x的取值范围是

(一,_1)______

，故选A.

二、填空题一

(13)设向量a,6不平行，向量a+Z?与a+2匕平行，则实数=.

2

【答案】

=k,1

=2

【解析】因为向量a+6与a+26平行，所以a+b=k^a+2b),贝I12,

■【丽】■k'

画出可行域，如图所示，将目标的数变形为J=-x+二，当二取到最大时，直线J=f+z|»峨距最大,

故将直线尽可能地向上平移到塔=的最大值为|.

■_■I

(14)若x,y满足约束条件

x2y0,

+-

，则/=x+y的最大值为

x2y20,

3

2

(a+x)(1+A)4

(15)

的展开式中x的奇数次累项的系数之和为32,则a=

【答案】3

(1+M=1+4x+6x+4x+(a+x)(1+x)4

x，故的展开式中x的奇数

4234

【解析】由已知得

次事项分别为4ax,4ax,x,A6,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=

6x,3.

33

(16)设S/7是数列

a的前n项和，且句二-1,，则Sn—

3+—SS—

+n

n1/7/71

__1

【答案】n

11

=-1

【解析】由已知得diS1SSy,两边同时除以S/71-

nnn,故

SnSn但S+1

+=+-=++'礴"

-----1

1=-1-(/7-1)=

数列n-n,所以

sL

是以-1为首项，T为公差的等差数

歹！J,则

77

三.解答题

(17)AABC中，D是BC上的点，AD平分工BAC,AABD是AADC面积的2倍。

sinB

(I)求C；

sin

2

(II)若DC=2求6。和/C的长.

三.解答般

（17）解：

।1＞、…-AHAD'SXXMHAD•

ADs\n/CAD.

/HAD"忤/，-例WAH-2AC.

I

2•

,„.Hl）:DC',所以8。《1

在和（'中•例余弦定理知

.48；=AD'+BD'-2ADBDcos/.IDB.

AC%,Air+DC22ADAMCOSZJ/X.

故4炉+2AC23AD2+BD：+2/乂=b

由（I）RiAB-2AC,所以dC=1.

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从AB两地区分别随机调查了20个用户，得到用

户对产品的满意度评分如下：

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度

评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；

(II)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级:

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

记时间C：A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级〃。假设两地区用户的评价

结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

（18）解:

（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如卜

B地区

A地区

468

64

53

455

646

3469

6886

928658

3

75529

（H）记C“猥示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”:

C,,去示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”：

♦衰示事件：“B地区用户的福意度等级为不满意'：

C6表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意二

则c”与c,,独立.独立，C*与c,i互斥，c»c„c41UcfJc41.

P（C）■尸（JC.UCcC”）

=PC"3Q

=P(Cn，八gi)▼心八)，vCi)・

由所给数据得C,/C4J.C„.Cg发生的频率分别为最，▲.巳亲故

0埸S嗑g吟,E吟.

101684

F(C)=X4"—X—=0.4S.

20202020

19.（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16BC=10AA1

=8点EF分别在A1B1D1C1上，A1E=D1F=4过直

F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面a所成的角的正弦值。

AB

(19)解：

(1)交线图成的正方形£HGF如图:

(口)作£A/08,垂足为M•则，”=4E=4,EM・M=8

因为£HGF为正方形，所以£"=EF"以7=1Q.

于是MW*屈『一EM'.6,所以彳H・io.

,/"的方向为x轴正方向，建立如用所示的空间直角坐标系

J(IO.O.O).//(10.I0.0),£(10,4,8),F(0.4,8),EE=(10,0,0).证=(0.-6.8).

设”=(x,y.z)是平面EWGF的法向景.则

\nFE^O,即00xn0,

nW£=0,6y+81-0.

以可取nn《0.4,3).

所以MF与平面£〃GF所成角的正比值为‘至.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C.9x2+产=勿2(勿0)直缚过原点。且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A,

B,线段AB的中点为M。

(1)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；

(屋⑺，延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能,

(2)若I过点

求此时I的斜率；若不能，说明理由。

（I）设工（■线l:yakx^b（4:工0,，*0）,、（%,乂）・）•"，（x”,〉”）•

将〉,二h+b代入9/+/-才得（*2+9）x2-m2«0.故

于她0线。”的斜率%皿=%•=_(•即%*.”--9.

所以ft线OM的斜率'•」/的斜率的束根为定位.

|[)西山形QfPB他为平行四边形。

,m、1KLi/不过小典,*VC有两个交点的正要条'”型

m为f[线/过点£・⑴•所以/小以配E*H

、

i>0.**3.

9

由(I)得OM的方程为>

设点P的横中M；为“♦

f9k'm

HIr<得x；

19x2+V="r>\k(k*3/7

匕夕，因此、=而育

的坐标代入/的方程得h

将点

。线段()产互相平分,即〃

行四边形当且仅当域段”

四边形尸8为平

&=』+、'

世二四，绢得人JV5.

±*_v2x

于是斌+9)而或4+用时，四边形°"3为

3a+9

1,2.用以啕制：解**4

因为*,*3.»=

平行四边形.

21.(本小题满分12分)

设函数他="+x-

mxo

2

(1)证明：，(x)在(-，0)单调递减，在(0,+)单调递增；

(2)若对于任意R,A2[-1,1],都有|,(入)-，(x)|e-1,求m的取值范围。

12

解：(I)因为/(x)-e*0*x2-mx,所以/*(x)-me"11+2x-m~

f*(x)-m'e"*+220在及上恒成立，所以f(x)-me，a+2x-m在R上单调递增》)

而_f(0)-0,所以x>0时，/(x)>0j所以x<0时，/(x)<0^

所以/(X)在(Y,0)单调递发，在(0尸8)单调递｝8。“

(n)由(I)知/(力加=/(0)=1，〃

当m=0时，/(x)-1*?,此时/(x)在卜L1］上的最大值是2~

所以此时|/(AJ)-/(X,)«e-1成立"

当m工0时，y(—1)«e''+1-a,/"(—1)=e"-1+刑"

令g(m)■/"(I)~y(~l)00--2nt所以g'0»)e"♦<*'-220“

所以g(m)■/"(I)—y(—1)—2m在R上单调递12。

而g(0)・0,所以切>0时,g(m)>0,即

所以m<0时，g(m)<0,即/(I)</(-I)•,

当》i>0时，|/(xj)-/(七)|4/(I)-1■c*-m<«-1=>0<m<1“

当<0时，

|/(jtj)-/(2)|4/(-I)-1"*m■-(-m)<«-1=>-m<1-1<m<0**

所以，综上所述m的取值范困是(-1,1).卜

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写

清题号

22.(本小题满分10分)

选修4-1：几何证明选讲

如图，0为等腰三角形ABC内一点，。。与AABC的底边

BC交于MN两点，与底边上的高AD交于点G且陆，

AC分别相切于E,F两点。

(1)证明：EF||BC；j

(2若AG等于OO的半径，且ZE=/kW=23求速

8MC

形EBCF的面积。DN

(22)解；

<I)由TZS/bC是等腰三角形,AD1BC.所以是NC48的平分线.

%因为g。分别FAB.AC相切？个"“£八所以"E=AF.故X”J.£尸

从而EF〃&C.

(II)由(I)知・AE=AF.ADLEF.故AD长

E尸的垂ft平分级.乂防为OO的弦，所以O在X。上.

连结OE.0M.WJO£14£.

由4G等下©。的半役得“O=2OE,所以

ZOX£=30*.因此△/8C和都是等边三角形.

因为/£=275,所以4。=4，OE=2.

因tCdkCEdOM=：AfV=Vi,所以00=1.

■„10V3

THAD=5.AB=-^~-

所以四边形£BC尸的面枳为兴学八日-；*(2扬、印-苧.

23.(本小题满分10分)

选修4-4：坐标系与参数方程

x=/cos

在直角坐标系xOy中，曲线Cl：y/sin

(t为参数，twO)®0<a<n,在以。为极

点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin,C3：=23cos。

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|力例的最大值。

(I)曲线C］的宜角坐标方程为xJ+/-2>>=0,曲线G的直角坐标方程为

X、y*—2Gx=0.

联立阳工x一彳’

解得

3

y=一・

2

所以C］与G交点的直角坐标为(0.0)和(今,

(II)曲线C1的极坐标方程为0=a(p€R.p*O),其中OWaVX.

旧此,4的极坐标为Qsina,a).B的极坐标为(268sa,a).

所以MB|=|2sina_26cosa|=41sin(e-?I.

当@=把时，r8|取得最大值，最大值为最

6

24.(本小题满分10分)

选修4-5：不等式选讲

设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d,证明：

(1)若ab>cd；则+Jefd；

(2)d是|a-0|c-d|的充要条件。

(24)解：

⑴因为m+加……

由题设a+i+d,帅>〃得(G刷>/+&)：•

因此品

«)「)若1。川<|1|,则(”》《一),即

("疗-4a-d尸枇

因为”b=c+d,所以6>,九

由(I)得、G+*>**0'—厂、r.与)：即

i+2点一八2”

-所以笠：<%…9不

因此la-bkQdLM<|c-d|的充要条件.

综上，Ja+Jb>"+、

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学认题答案及评分参考

选择题

(1)A(2)B(3)D(4)B(5)C(6)D

(7)C(8)B(9)C(10)B(11)D(12)A

填空题

(13)-(14)-(15)3(16)--

22n

三.解答题

(17)解：

(1)S&ABI,=^ABADsinABAD.

因为S，"=2Sw，N8.4O=・?W"所以/8=2仁

由1E弦定理可得

sin/8_.4('_1

sin2

(II)因为右的：5外*=8。：£＞。，所以BD=E.

在△18。和由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcos&DB.

AC'=//，'+DC，-2JDD(cosZJZX.,.

故AB2+ZAC'=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知Z8=24C,所以AC=\.

-70-

（18）解:

（I）

A地区

468

64

353

455

64262

q3469

688643

92865183

3

755291

的黑茎曜鬻黑器黑鬻鬻衰富寓意度评分

(II)记C/表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意：

表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”：

表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意、

Cm表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，

则C/与独立，以与C“独立，互斥•C=y11cl.

P(C)=P(C-”C,,)

=P(23/A

=P(GI"X。H尸(GJFC，・

由所给数据得c.,c,2,cBl.Cm发生的频率分别为段.A,J2,A,故

20202020

S吟,尸(5条E)碟,尸(C“)吟，

P(C)»^X^+—XA=O.4».

20202020

(19)解：

(1)交线围成的正方形EHGF如图：

(口)作W/B,垂足为时，则府=4八4,EM=M=8

因为EHG尸为正方形，所以EH=EN=3C=10.

于是MH=~EM，=6,所以，//=10.

-71-

以D为坐标原点，"的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

p-炉，则

.4(10,0,0)，”(10,10,0),E(10,4,8),尸(0,4,8),而=(10,0,0),HE=(0,-6.8).

设〃=(x,y,z)是平面的法向量，则

nFE=0,10x=0,

即

HE=0,6y+8z=0,

所以可取〃=(0,4,3).

故|cos(”.")|=@BL名.

又不=(-10,4,8),

\n\\AF\15

4石

所以八尸叮平面E，GF所成角的正弦值为黄.

(20)解：

(J)设直线/:y=br+b(i*0,b*0)./(演,乂)，

将,=6+6代入9/+丁=/得(/+9)/+2出+62_/=0.故

于是一在线OM的斜率即w=纹=一、，即％,"=4.

XM'

所以直线的斜率与/的斜率的乘积为定值•

rif)四边形OAPB能为平行四边形.

,m、所同/不过再声理啊C有两个交点的它要条“是

因为直线/过点(W，M，所以‘小小"一

t>0,女工3.

9

由(I)得OM的方程为>'=-r丫.

设点尸的横坐标为

±bn

9k2m2

y=-vx-得X；=炉工

田

19/+y'="..k(k-3,，i

八，皿殂巴目出，因此人，=诉不.

超占网的坐标代入/的方程得b3-1

四边二为平行四边形当且仅“二:I鲁即"="

±km.堆二22巴，解得尢=4-S.&、

于是许娘鲁4一或4+"时,四边形。门为

因为……"3的”"

平行四边形.-72-

<21)解：

(I)/z(x)=m(e-*-l)+2x.

.当x£(0,+8)时，

若则当x€(-8,0)时，/'(x)<。

e-'-1^0,/z(x)>0.

r-i>o,r(x)<o：当xw(o,+M时，

若m<0,则当x€(-oo,0)时.e'

Ax)>0.

所以，/(x)在(_oo,0)单调递减，在(0.+8)单调递增・

(口)由(I)知，对任意的m,/(x)在［-1,0］单调递减，在［0J单调递增’故

在x=0处取得最小值.所以对于任意x“Xz€［-l/］，|/(x,)-/(%)|We-l的充要条件

是

/