函数的零点与方程的解7种常见考法归类（原卷版）

4.5.1函数的零点与方程的解7种常见考法归类1、函数的零点（1）概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．（2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．2、函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.（2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.3、求函数y＝f(x)的零点的方法(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点．(2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.4、判断函数零点个数的六种常用方法(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数．(3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(6)转化成两个函数图象的交点个数问题．5、确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(bf(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．6、根据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．考点一求函数的零点考点二零点的个数问题考点三判断零点所在的区间考点四根据函数零点所在的区间求参数范围考点五已知零点个数求参数范围考点六比较零点大小考点七求零点的和考点一求函数的零点1．（2023秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是．3．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）函数的零点为．4．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)；(2)；(3)；(4).5．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.(1)；(2)；(3)；(4)6．（2023秋·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，则的值为（

）A．2 B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A． B．C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）设函数，则方程的解集为.9．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知函数则函数的所有零点构成的集合为．考点二零点的个数问题10．（2023·全国·高一专题练习）方程解的个数为.11．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2023·全国·高一课堂例题）讨论方程的解的个数与分布情况．13．（2023·河南·校联考模拟预测）设是定义在上的周期为5的奇函数，，则在内的零点个数最少是（

）A．4 B．6 C．7 D．914．（2023秋·北京大兴·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（2023·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为.16．（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上的图象如图所示.(1)在答题卡中作出在上的图象；(2)求函数的零点的个数.17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．6 B．5 C．4 D．3考点三判断零点所在的区间18．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．19．（2023·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（

）A． B． C． D．20．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．21．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．22．（2023·全国·高三专题练习）设函数的零点为，则所在的区间是（）A． B．C． D．23．（2023·全国·高一专题练习）函数零点所在的区间是（）A． B．C． D．24．（2024秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）函数的一个零点在内，另一个零点在（

）内.A． B． C． D．25．（2023·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．26．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．27．【多选】（2023秋·新疆·高一校联考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：135724131则一定包含的零点的区间是（

）A． B． C． D．28．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（

）A．函数在区间内有零点B．函数在区间内有零点C．函数在区间内有零点D．函数在区间内有零点考点四根据函数零点所在的区间求参数范围29．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点为，且，，则k的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．330．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的零点位于区间内，则.31．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．32．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．34．（2024·全国·高三专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．35．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数在上存在零点，则的取值范围是．36．（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）函数在上存在零点，则整数t的值为．37．（2024·全国·高三专题练习）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为．38．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间内恰有一个零点，其中，则的值为．考点五已知零点个数求参数范围39．（2023秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为40．（2023秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是.41．（2023秋·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）若二次函数在区间有且仅有一个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．42．（2023秋·北京海淀·高三校考阶段练习）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．43．（2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．44．【多选】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（

）A． B．C． D．45．（2023秋·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数．①若，则函数的值域为；②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．46．（2023秋·福建福州·高二校考阶段练习）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.47．（2023秋·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是．考点六比较零点大小48．（2023秋·高一课时练习）已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（

）A． B．C． D．49．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（

）A． B． C． D．50．（2024·全国·高三专题练习）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（

）A． B． C． D．51．（2023·全国·高一专题练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（

）A． B．C． D．52．（2024·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．53．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（

）A． B．C． D．考点七求零点的和54．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．1355．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－456．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（

）A． B．32 C．16 D．857．【多选】（2023秋·广西南宁·