暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习)

新高一数学第一次教学教案

授课主题：一元二次方程

1.掌握一元二次方程的概念，解法，根的判别式.

教学目标

2.掌握一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）及其应用.

教学重点一元二次方程解法、根的判别式、韦达定理.

教学难点韦达定理的应用.

一、【励志小故事】

罗斯福的故事

一个小男孩几乎认为自己是世界上最不幸的孩子，因为患脊髓灰质炎而留下了

痛腿和参差不齐且突出的牙齿。他很少与同学们游戏或玩耍，老师叫他回答问题时，

他也总是低着头一言不发。在一个平常的春天，小男孩的父亲从邻居家讨了一些树

苗，他想把它们栽在房前。他叫他的孩子们每人栽一棵。父亲对孩子们说，谁栽的

树苗长得最好，就给谁买一件最喜欢的礼物。小男孩也想得到父亲的礼物。但看到

兄妹们蹦蹦跳跳提水浇树的身影，不知怎么地，萌生出一种阴冷的想法：希望自己

栽的那棵树早点死去。因此浇过一两次水后，再也没去搭理它。几天后，小男孩再

去看他种的那棵树时，惊奇地发现它不仅没有枯萎，而且还长出了几片新叶子，与

兄妹们种的树相比，显得更嫩绿、更有生气。父亲兑现了他的诺言，为小男孩买了

一件他最喜欢的礼物，并对他说，从他栽的树来看，他长大后一定能成为一名出色

的植物学家。从那以后，小男孩慢慢变得乐观向上起来。一天晚上，小男孩躺在床

上睡不着，看着窗外那明亮皎洁的月光，忽然想起生物老师曾说过的话：植物一般

都在晚上生长，何不去看看自己种的那颗小树。当他轻手轻脚来到院子里时，却看

见父亲用勺子在向自己栽种的那棵树下泼洒着什么。顿时，一切他都明白了，原来

父亲一直在偷偷地为自己栽种的那颗小树施肥！他返回房间，任凭泪水肆意地奔

流……

教学过程几十年过去了，那病腿的小男孩虽然没有成为一名植物学家，但他却成为了美国总

统，他的名字叫富兰克林•罗斯福。

爱是生命中最好的养料，哪怕只是一勺清水，也能使生命之树茁壮成长。也许

那树是那样的平凡、不起眼；也许那树是如此的瘦小，甚至还有些枯萎，但只要有

这养料的浇灌，它就能长得枝繁叶茂，甚至长成参天大树。

二、【基础知识梳理】

1.像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次

数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于X的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2+历:+。=（）（。。0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中以?是二次

项，。是二次项系数；或是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

2.使一元二次方程成立的数值称为一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.

3.把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降

次转化思想

4.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法.

注：理论依据是平方根的定义，类型有四种：

①f=a(a20)②(x+a)2="匕20)

③(ar+b)2=c(c>0)®(ax+b)2=(cx+J)2(|a|^|c|)

5.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)先将已知方程化为一般形式/+灰+c=0(aH0)；

(2)化二次项系数为1,即丁+2工+上=0的形式，并将常数项移到等式的

aa

右边；

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，

即化为(x+m)2=〃的形式.

(4)当〃20时，用直接开平方法解变形后的方程.

6.求根公式的推导过程及根的判别式：

•.•。尤2+/?尤+。=0

4a2%2+4ahx+4-ac=0

即,4a2%2+Aabx+b2=b2-4ac

当。2-4QCN0时、2cvc+b=±ylb2—4ac,2ax=-b±yJb2-4ac,

-b±ylb2-4ac

Qw0,.••元=---------------

la

其中，称从一4ac为一元二次方程ax2+bx+c=0(a关0)根的判别式.

(1)当〃—4ac>0时，一元二次方程欠2+历:+。=0(。。0)有两个不相等的实

皿珀—b+个I)?—4ac—b—Nb~-4ac

数根：x,=--------------,x2=---------------

2a2a

(2)当力2-4ac=0时，一元二次方程ar2+加:+C=Q(。wo)有两个

h

相等的实数根：%=%=———.

2a

(3)当〃-4ac<0时，一元二次方程加+法+。=0(。。0)没有实数根.

注意：应用求根公式之前，必须将一元二次方程整理成一般形式.

7.一元二次方程的根与系数的关系.

当。2-4ac>0时，一元二次方程加+云+c=0(。W0)有两个不相等的实数根：

一〃+〃2-4ac一/J-"2-4ac

12a22a

bc

则%］+%2=——，XjX=—.

a2a

8.因式分解法：通过因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这

两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解方程的方法叫做因式分解法.

三、【典型例题剖析】

［例1］不解方程判断下列根的情况.

(1)2x2+3=0(2)(m2—根)尤2-(2m-l)x+l=0

［举一反三］(1)当〃?为何值时，关于x的一元二次方程4x+机—L=o有两

2

个相等的实数根？此时的两个根是多少？

(2)已知a、b、c分别是三角形的三边长，方程(。+母/+25+(.+力)=0的根

的情况？

［例2］已知与=—1是方程/+加%-5=0的一个根，求加的值及方程的另一根

x2.

［举一反三］①已知斗声是方程2/+14%-16=0的两个实数根，求三+五的

%x2

值.

22

②已知关于x的一元二次方程x=2（1-加）x-m的两个根为玉、X2

（1）求〃7的取值范围.

（2）设＞=%+工2，当y取得最小值时，求相应的根的值，并求出最小值.

④已知关于X的方程/一+（2左一1卜+1=0有两个不相等的实数根的,々，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不

存在，请说明理由.

⑤在A48c中，若NC=90',AB=5,3C、AC的长是关于x的一元二次方程

%2一（2女+3）x+公+3A+2=0的两个实数根，求k的值和A4BC的面积.

1.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+7=0的两根，则这个

直角三角形的斜边是（）

A.V3B.3C.6D.A/6

2.以-3和2为两根的方程是_______________________

3.设关于x的方程x2+2ax+a2+4a-2=Q的两个根分别是x।和x2.当。为

何值时，的值等于14?

4.已知方程X2-5X-6=0的根是x।和x2,求下列式子的值：

22

(1)X)+x2+(2)—+—

x2匹

课后作业

5.若a、。、。是AABC的三边，且关于x的方程”（/一1）-25+仪/+1）=。

有两个相等的实数根，试判断A4BC的形状.

7.已知a?—7a=T,b2-lh=-4(a^b),求J的值•

新高一数学第二次教学教案

授课主题：一次函数

1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的一般形式及特殊的一次函数（正比例函数）.

教学目标

2.掌握一次函数的四种图象与性质，理解用一次函数的观点看方程（组）与不等式.

教学重点一次函数的概念、图象及其性质；一次函数的平移、平行问题；一次函数的实际应用.

教学难点一次函数的图象与性质的综合应用；一次函数的实际应用问题.

一、【励志小故事】

不肯放弃的林肯

坚持到底的最佳实例可能就是亚伯拉罕・林肯。如果你想知道有谁从末放弃，

那就不必再寻寻觅觅了！生下来就一贫如洗的林肯，终其一生都在面对挫败，八

次竞选八次落败，两次经商失败，甚至还精神崩溃过一次。好多次，他本可以放

弃，但他并没有如此，也正因为他没有放弃，才成为美国历史上最伟大的总统之

一。以下是林肯进驻白宫前的简历：

1816年，家人被赶出了居住的地方，他必须工作以抚养他们；1818年，母亲

去世；1831年，经商失败；1832年，竞选州议员但落选了；1832年，工作也丢

了，想就读法学院，但进不去；1833年，向朋友借钱经商，但年底就破产了，接

下来他花了十六年，才把债还清；1834年，再次竞选州议员，赢了！1835年，订

婚后即将结婚时，末婚妻却死了，因此他的心也碎了；1836年，精神完全崩溃，

卧病在床六个月；1838年，争取成为州议员的发言人，没有成功；1840年，争取

成为选举人了，失败了；1843年，参加国会大选落选了；1846年，再次参加国会

大选这次当选了！前往华盛顿特区，表现可圈可点；1848年，寻求国会议员连

任失败了！1849年，想在自己的州内担任土地局长的工作，被拒绝了！1854年，

竞选美国参议员，落选了；1856年，在共和党的全国代表大会上争取副总统的提

名，得票不到一百张：1858年，再度竞选美国参议员一一再度落败；1860年，当

选美国总统。

教学过程

评语：此路艰辛而泥泞。我一只脚滑了一下，另一只脚也因而站不稳；但我

缓口气，告诉自己，“这不过是滑一跤，并不是死去而爬不起来。”——林肯在

竞选参议员落败后如是说。

二、【基础知识梳理】

1.一次函数的定义

一次函数：若两个变量X、y间的关系式可以表示成'=七1+人（k、力为常数，

左。0）的形式，称y是x的一次函数.

正比例函数：形如y=（女声0）的函数，称y是x的正比例函数，此时也可

说y与x成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.

2.求一次函数的解析式

关键：确定一次函数y=中的字母女与b的值.

步骤：1、设一次函数表达式

2、将x,y的对应值或点的坐标代入表达式

3、解关于系数的方程或方程组

4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中

3.一次函数的图象与性质

图象

y=kx+b（k、b为常数，k/0）当k＞0时，y的值随x的值增大而增大；

当k＜0时，y的值随x值的增大而减小.

直线y=kx+b（k、b为常数，k/0）时在坐标平面内的位置与k的关系.

①人＞0,6＞0直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②々＞0力＜0直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③k＜0力＞0直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④左＜0力＞0直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；

4.平移

直线y=^x+々与直线＞=心1+4的位置关系：两直线平行=k,=k2

平移规律：左加右减，上加又减.

5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组

①一次函数与一元一次方程：一般地将x=0或y=0代入y=kx+b中解一元一

次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。

②一次函数与一元一次不等式:kx+b＞0或kx+b＜0即一次函数图象位于x轴上方

或下方时相应的x的取值范围，反之也成立

③一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元

一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标

6.一次函数的应用

一般步骤：①设定问题中的变量②建立一次函数关系式

③确定自变量的取值范围④利用函数性质解决问题⑤作答

三、【典型例题剖析】

［例1］如图，一次函数丫=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值

范围是（）

A.m>0B.m<0C.m>2D.m<2

［举一反三］若实数a,b,c满足a+b+c=O,且a〈b〈c,则函数y=cx+a的图象

可能是()

A.BCD

［例2］函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2xVax+4的

解集为()

33

A.x<—B.x<3C.x>—D.x>3

22

［举一反三］体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组

的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的

3333

C.y=-x+9与y=--x+——D.y=x+9与y=—x+——

3333

［例3］如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A,C两点，分别过A,C两点

作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次

方程X2-14X+48=0的两个实数根.

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角

形，请直接写出P点的坐标.

1.一条直线y=kx+b,其中k+b=-5、kb=6,那么该直线经过（）

A.第二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三象限D.第二、三、四象限

2.设点A（xi，yi）和B（X2，y2）是反比例函数y=与图象上的两个点，当xi<

X

X2<0时，yi<y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m

的取值范围是（）

A.I<m<7B.3<m<4C.m>lD.m<4

4.一次函数y=丘+/-3）的函数图象不可能是（）

课后作业

5.如图，已知一条直线经过点A（0,2）、点B（1,0）,将这条直线向左平移

与x轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式

为.

V

（-1,0）,BCJ_x轴，将AABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到A

（A和A，，B和B\C和C分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A,。，则点

C的坐标是

第6题

7.某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10

台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y

与自变量x的部分对应值如下表：

X（单位：台）102030

y（单位：万元/台）605550

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求该机器的生产数量；

（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万々台）之间满足

如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器

25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.（注：利润=售价-成本）

新高一数学第三次教学教案

授课主题：反比例函数

1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的形式、图象、性质.

教学目标2.理解反比例函数中比例系数&的意义，能根据其意义解决相关面积问题.

3.掌握一次函数与反比例函数的综合应用.

反比例函数的形式、图象、性质；反比例函数的实际应用；反比例函数与一次函数的综

教学重点

合应用.

教学难点反比例函数与一次函数的综合应用.

一、【励志小故事】

霍金的故事

科学家霍金小时候的学习能力似乎并不强，他很晚才学会阅读，上学后在班级

里的成绩从来没有进过前10名，而且因为作业总是“很不整洁”，老师们觉得他已经

“无可救药”了，同学们也把他当成了嘲弄的对象。在霍金12岁时，他班上有两个男

孩子用一袋糖果打赌，说他永远不能成材，同学们还带有讽刺意味地给他起了个外

号叫“爱因斯坦谁知，20多年后，当年毫不出众的小男孩真的成了物理界一位大

师级人物。这究竟是什么原因呢？原来，随着年龄渐长，小霍金对万事万物如何运

行开始感兴趣起来，他经常把东西拆散以追根究底，但在把它们恢复组装回去时，

他却束手无策，不过，他的父母并没有因此而责罚他，他的父亲甚至给他担任起数

学和物理学“教练在十三四岁时，霍金发现自己对物理学方面的研究非常有兴趣，

虽然中学物理学太容易太浅显，显得特别枯燥，但他认为这是最基础的科学，有望

解决人们从何处来和为何在这里的问题。从此，霍金开始了真正的科学探索。

二、【基础知识梳理】

1.反比例函数的概念：

k

如果y=-（A是常数，上0）,那么y叫做x的反比例函数.

X

注：①在反比例函数关系式中：ZN0,xw0,yw0.

教学过程

②反比例函数的另一种表达式为y=点t（左是常数，人工0）

③反比例函数解析式可写成孙=左（人工0）它表明反比例函数中自变量x与

其对应函数值y之积，总等于定值匕

2.反比例函数的图象和性质：

反比例函数的图象是双曲线.

（1）当4>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x

的增大而减小.

（2）当*<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x

的增大而增大.

（3）反比例函数图象关于直线y=ix对称，关于原点对称.

注：①在反比例函数y=K中，因为xwO,所以双曲线与坐标轴无限接近，

X

但永不与x轴y轴相交.

②在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内.

3.反比例函数中比例系数k的几何意义：

过反比例函数>图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得

的矩形PMON的面积S=PM・PN=H・凶=附

vy=—,:.xy=k,S=冏

三、【典型例题剖析】

［例1］设点和5（々,必）是反比例函数y=与图象上的两个点，当

x

玉＜々＜0时，M＜当，则一次函数y=-2x+左的图象不经过的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

［例2］如图，反比例函数尸（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M,

x

分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为（）

A.1B.2C.3D.4

例2

［举一反三］下列图形中，阴影部分面积最大的是（）

弋3U/n.3）

\y~5（v

［例3］已知反比例函数y=K(k/))和一次函数y=x-6.

X

(1)若一次函数与反比例函数的图象交于点P(2,m),求m和k的值.

(2)当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？

［举一反三］已知一次函数y=kx+b(k>0,b>0)与反比例函数y=

X

的图象有唯一的公共点.

(1)求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；

(2)证明：k取任何正实数时，直线y=kx+b总经过一个定点，并求出定

点的坐标.

2

1.如图，一次函数％=x+l的图象与反比例函数％=—的图象交于A、B两点,

X

过点作ACLx轴于点C,过点B作BDLx轴于点D,连接AO、B0,下列说

法正确的是（）

A.点A和点B关于原点对称B.当X<1时，

C.SAAOC=SABODD.当x>0时，M、必都随X的增大而增大

k-2

2.如图，是反比例函数y=—的图象的一个分支，对于给出的下列说法：

x

①常数女的取值范围是k>2；②另一个分支在第三象限；

③在函数图象上取点A（q，4）和点以%也），当4>生时，则仇<4；

课后作业④在函数图象的某一个分支上取点和点8（%,与），当q>。2时，则仿

〈瓦;其中正确的是（在横线上填出正确的序号）

3

3.已知直线y-kx（k>0）与双曲线>,=—交于点A（N，y），B（称必）两点，

x

则X1y2+工2%的值为（）

A.-6B.-9C.0D.9

4.如图，已知一次函数丫=丘+〃的图象经过点P（3,2）,与反比例函数产2（x

x

>0）的图象交于点Q（,〃，〃）.当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m

的取值范围是.

5.如图，已知直线1分别与x轴、y轴交于A,B两点，与双曲线y=刍（a和，x

x

>0)分别交于D、E两点.

(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4)：

①分别求出直线/与双曲线的解析式；

②若将直线/向下平移m(m>0)个单位，当m为何值时，直线1与双曲线有

且只有一个交点？

(2)假设点A的坐标为(a,0),

的n等分点，请直接写出b的值.

6.如图，直线/：y=x+l与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点。关于

直线/对称.反比例函数尸&的图象经过点C,点P在反比例函数图象上且位

x

于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线/于历、N两点.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求ANRM的值.

新高一数学第四次教学教案

授课主题：二次函数

1掌.握二次函数丁=以2+法+c的开口，对称轴，顶点坐标，增减性.

教学目标

2.理解函数平移、对称的规律，会用待定系数法求二次函数的解析式.

教学重点二次函数y=or?+bx+c的性质.

教学难点二次函数y=o?+桁+。与一次函数、几何图形的综合应用.

一、【励志小故二宴］

匡衡的故事

汉朝时，少年E寸的匡衡，非常勤奋好学。由于家里很穷，所以他白天必须干许

多活，挣钱糊口。,只有晚上，他才能坐下来安心读书。不过，他又买不起蜡烛，天

一黑，就无法看书一了。匡衡心痛这浪费的时间，内心非常痛苦。他的邻居家里很富

有，一到晚上好几1司屋子都点起蜡烛，把屋子照得通亮。匡衡有一天鼓起勇气，对

邻居说：“我晚上?惧读书，可买不起蜡烛，能否借用你们家的一寸之地呢？”邻居

一向瞧不起比他们:家穷的人，就恶毒地挖苦说：“既然穷得买不起蜡烛，还读什么

书呢！”匡衡听后三E常气愤，不过他更下定决心，一定要把书读好。匡衡回到家中，

悄悄地在墙上凿了，个小洞，邻居家的烛光就从这洞中透过来了。他借着这微弱的光

线，如饥似渴地读1色书来，渐渐地把家中的书全都读完了。匡衡读完这些书，深感

自己所掌握的知识7是远远不够的，他想继续看多一些书的愿望更加迫切了。附近有

个大户人家，有很2京藏书。一天，匡衡卷着铺盖出现在大户人家门前。他对主人说：

“请您收留我，我绐'您家里白干活不报酬。只是让我阅读您家的全部书籍就可以了。”

主人被他的精神所J液动，答应了他借书的要求。匡衡就是这样勤奋学习的，后来他

做了汉元帝的丞相,成为西汉时期有名的学者。

教学过程

二、【基础知识，流理】

1.二次函数图象的司z移

孱a2|----------上二~''''s"ixr-产纱2+4

向右（力＞0）【或左（力＜0）】

向右（力乂））【或左（加0）】

向右他＞0）【或左伍＜0）】^阳个单位

平移网个单位

平移囤个单位向上（Q0）【或下伏＜俞、\^

平移网个单位

卜"砌向上伏＞0）【或下伏《»】平移阂个单位N-+H

注：平移规律：在原有函数的基础上“力值正右移，负左移；我值正上移，负下移”.概

括成八个字“左加右减，上加下减”.

2.二次函数y=#+6x+c的性质

从解析式上看，）,=。@-/7）2+%与〉=以2+法+。是两种不同的表达形式，后者通

过配方可以得到前者，即y=Jx+2]+处二生，其中/?=_L,k=4ai

I2aJ4a2a4a

（1）当4>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2,顶点坐标（-2,4ac一%.

2a（2。4〃,

当*<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大；

2a2a

当X=_2时，y有最小值把二

2a4a

（2）当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为X=-2,顶点坐标为

2a

当x<_2时，），随》的增大而增大；当x>-立时，），随x的增

12a4a）2a2a

大而减小；当x=-2时，），有最大值处世.

2a4a

注：五点绘图法：利用配方法将二次函数>=以2+公+。化为顶点式

y=a（x-h）2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右

对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）

关于对称轴对称的点（2〃，c）、与x轴的交点&,0）,（x2,0）（若与x轴没有交点，

则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交

点.

3：二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次项系数“：。决定了抛物线开口的大小和方向，。的正负决定开口方向，同的

大小决定开口的大小.

一次项系数以在二次项系数。确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.

⑴在a>0的前提下，

当b>0时，-2<0,即抛物线的对称轴在），轴左侧；

2a

当6=0时，--=0,即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b<o时，-2>o,即抛物线对称轴在），轴的右侧.

2a

⑵在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，总结起来，在〃确定的前提

b

下，6决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴x=——在y轴左

2a

边则〃人〉0,在y轴的右侧则ab<0,概括的说就是“左同右异”.

常数项c：⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点

的纵坐标为正；

⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与），轴交点的纵坐

标为o;

⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与），轴交点的纵坐

标为负.

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之，只要a，》，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

三、【典型例题剖析】

［例1］抛物线丁=以2+区+。，OA=OC,下列关系中正确的是（）

举一反三

［举一反三］已知二次函数尸底+法+。的图象如图.则下列5个代数式：ac,a

+h+c,4a-2h+c,2a+h,2a—6中，其值大于0的个数为（）.

A.2B3C、4D、5

［例2］一开口向上的抛物线与无轴交于4（m-2,0）,B（机+2,0）两点，记

抛物线顶点为C,且AC_LBC.

（1）若〃?为常数，求抛物线的解析式；

（2）若小为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点

在坐标原点？

（3）设抛物线交y轴正半轴于。点，问是否存在实数〃］，使得△80。为等腰三

角形？若存在，求出根的值；若不存在，请说明理由.

［举一反三］如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为石的等腰直角三

角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1,

0）,点B在抛物线y=+ax-2上.

①求点A、点B的坐标；

②求抛物线的解析式；

③设②中抛物线的顶点为D,求ADBC的面积.

*

D

举-fi

1.二次函数y=依2+/?x+c的图象如图所示，则一次函数y=Z?x+/?2-而。与

反比例函数y=""二在同一坐标系内的图象大致为（）

X

2.定义［a/,c］为函数旷=/+法+，的特征数，下面给出特征数为［2m,1-

m,-1-ni］的函数的一些结论：

1Q

①当"2=-3时，函数图象的顶点坐标是（§,-）；

②当〃?>0时，函数图象截X轴所得的线段长度大于3；

2

③当“<0时，函数在x>1时，），随x的增大而减小：

4

④当加工0时，函数图象经过同一个点.

其中正确的结论有（）

A.①②③④B.①©④C.①③④D.②④

3.将函数y=的图象向右平移"（4>0）个单位，得到函数y=f-3%+2

的图象，则。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=f+x—2关于x轴作轴对称变换，再

将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的

解析式为()

A.y——f—x+2B.y——f+x—2

C.y=-£+x+2D.y=x2+x+2

5.已知二次函数)=依2+法+。的图象如图所示，有以下结论：

@a+b+c<0；®a-b+c>\；(§)abc>0；④4a-2Z>+c<0；®c-a>1

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③④：叶

C.①②③⑤D.①②③④⑤(

/一。卜；

第5题

6.如图所示，已知直线y=与抛物线)=一1%2+6交于A、B两点，

点C是抛物线的顶点.

(1)求出点A、B的坐标；

(2)求出△ABC的面积；

(3)在AB段的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积最大？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

J]C

第6题

新高一数学第五次教学教案

授课主题：二次函数与一元二次方程的联系

1.掌握二次函数的图像与性质、一元二次方程根的判别式、韦达定理.

教学目标

2.掌握二次函数与一元二次方程的联系.

教学重点二次函数、一元二次方程.

教学难点二次函数与一元二次方程的联系.

一、【励志小故事】

宋濂的故事

宋濂小时侯，喜欢读书，但是家里很穷。也没钱买书，只好向人家借，每次借书，

他都讲好期限，按时还书，从不违约，人们都乐意把书借给他。一次，他借到一本书，

越读越爱不释手，便决定把它抄下来。可是还书的期限快到了。他只好连夜抄书。时

值隆冬腊月，滴水成冰。他母亲说：“孩子，都半夜了，这么寒冷，天亮再朝抄吧。

人家又不是等这书看。”宋濂说：“不管人家等不等这本看，到期限就要还，这是个

信用问题，也是尊重别人的表现。如果说话做事不讲信用，失信于人，怎么可能得到

别人的尊重。”又一次，宋濂要去远方向一位著名者请教，并约好见面日期，谁知出

发那天下起鹅毛雪。当宋濂挑起行李准备上路时，母亲惊讶地说：“这样的天气怎能

出远门呀？再说，老师那里早已大雪封山了•你这一件旧棉袄，也抵御不住深山的严

寒啊！”宋濂说：“娘，今不出发就会误会了拜师的日子，这就失约了：失约，就是

对老师不尊重啊。风雪再大，我都得上路。”当宋濂到达老师家里时，老师感动地称

赞说道：“年轻人，守信好学，将来必有出息！”

二、【基础知识梳理】

教学过程

1.图象与x轴的交点个数：

一元二次方程O?+灰+C=0是二次函数y=+厩+C当函数值y=0时的特殊情况.

①当A=b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点义斗，0）,8（々，（））（x产&），其中的

不，马是一元二次方程加2+%x+c=0（a/0）的两根.这两点间的距离

AB-昆X,-同.

②当△=（）时，图象与X轴只有一个交点；

③当A<0