贵州省铜仁市2023年高考仿真卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/O）=lnx+ln（3-x）,则（）

A.函数/W在（0,3）上单调递增B.函数f（x）在（0,3）上单调递减

3D.函数/1）图像关于C对称

c.函数/"）图像关于x=］对称

2.阅读如图的程序框图，若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）

A.i>5B.i>8C./>10D.i>12

3.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

4.若平面向量。,5忑，满足la1=2,1川=4,小石=4,忆一讶+51=JT,则1乙一行1的最大值为（）

A.5&+事B.5K一串C.28+^D.2网-*

5.若复数z满足2z-z=3+12i,其中i为虚数单位，Z是z的共舸复数，则复数k|=()

A.3邪B.2邪C.4D.5

6.已知不重合的平面a,0，Y和直线/,则“a〃p”的充分不必要条件是()

A.a内有无数条直线与P平行B./la且

C.aly且D.a内的任何直线都与B平行

7.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

A.56B.60C.140D.120

8.若函数/(幻=尤3+62+3万-9在》=—3时取得极值，贝伊=()

A.2B.3C.4D.5

9.在MBC中，AB=2,AC=3,ZA=60°,。为MBC的外心，若而=+y前，x,y^R,则2x+3y=

()

-543

A.2B.-C.-D.-

332

10.已知函数=I""))则/[/(一2)]=()

3-A,X<1

A.1B.2C.3D.4

11.数列｛叫,满足对任意的〃£此,均有品”+产〃+2为定值•若%=2，。9=3，%8=4,则数列｛%｝的前100项的和S100=()

A.132B.299C.68D.99

2z..

12.已知复数2=而，则|z|=()

A.1+ZB.l-iC.y/2D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过直线)，=依+7上一动点M(x,y)向圆C:X2+y2+2y=0引两条切线MB,切点为A,B,若女

则四边形MACB的最小面积Se[O，"]的概率为_______.

[lnx,x>1

14.已知函数/(x)=〈Q,,若/⑷>,则。的取值范围是_

15.已知函数y=/(x)的图象在点M(3,/(3))处的切线方程是y=；x+2,则/(3)+/'(3)的值等于.

16.在平面直角坐标系X。》中，曲线C:孙=上任意一点P到直线l:x+y/3y=0的距离的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，A6C是边长为2的等边三角形，BC1BB,CC=AC=J6.

]1141J|

(1)证明：平面ABC,平面sqqc；

(2)M,N分别是BC,8c的中点，P是线段AC上的动点，若二面角尸—MN—C的平面角的大小为30。，试

I11

确定点P的位置.

18.(12分)如图，底面ABC。是等腰梯形，AO//5C,A0=2A5=23C=4,点E为仞的中点，以房为边作

正方形BEFG,且平面BEFG1平面ABCD.

(1)证明：平面ACF1平面BEFG.

(2)求二面角A—8F-0的正弦值.

19.(12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线q的普通方程为

尤=JJcos9.

(X-l)2+J2=l,曲线的参数方程为V_c(〃为参数).

2[y=y/2sinQ

(I)求曲线J和的极坐标方程:

（H）设射线。=*。）分别与曲线C押C,相交于A,B两点,求皿的值.

20.（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x

与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

£(x-X)2(vv-f?)2S(x-x)(y-y)S(w—vp)(y-y)

Xy卬

iiiiii

i=\j=l/=1Z=1

1.4720.60.782.350.81-19.316.2

11y

表中W=—,卬=一一IV

衣I；X2'10/

I1=1

（1）根据散点图判断，y=。+版与y=c+'■哪一个更适宜作烧水时间丫关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程

X2

类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立》关于x的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量f与旋转的弧度数X成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知X为多少时，烧开

一壶水最省煤气？

附：对于一组数据（〃，v），Q#），（"，u）,其回归直线v=d+时的斜率和截距的最小二乘法估计值分

112233nn

S（w-iT）（v-v）

别为8=------:——,近=口一0“

2（〃-a》

i

i=l

21.（12分）已知等差数列1｝的公差d=2,且。aa成等比数列.

n124

（1）求数列｛。｝的通项公式；

(2)设b=flY，',求数列M+0｝的前〃项和S.

"\2J"""

22.(10分)如图，在棱长为2艰的正方形A6C。中，E,尸分别为CD,8c边上的中点，现以£尸为折痕将点C

旋转至点P的位置，使得P-EF-A为直二面角.

(1)证明：EF1PA；

(2)求PO与面45厂所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

3

依题意可得/(3-x)=/(x),即函数图像关于x对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；

【详解】

解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-x)+lnx=/(x),

3

；./(3-x)=/(x),所以函数图像关于x=2对称，

又/(为=』一』一=多二I；,Ax)在(0,3)上不单调.

x3-xx(x-3)

故正确的只有C,

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.

2.C

【解析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i的值，进而得判断框内容.

【详解】

根据循环程序框图可知，S=O,i=l

则5=1,i=3,

S=4,i=5,

S=9,i=7,

S=16,i=9,

S=25,i=11,

此时输出S,因而i=9不符合条件框的内容，但i=ll符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，

故选：C.

【点睛】

本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.

3.A

【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙

预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙

比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.

4.C

【解析】

可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.

【详解】

由题意可得：

c=(0-&+6)+(@-26),

•/Ia-2b|2=(&-25)2=\a\2+4-1b|2-4a-b=4+4x16-4x4=52

:.\a-2b1=26,

：\c-b|2=(”])2=[(c-a+b)+(a-2b)]2=\(c-a+b)+(a-2b)\2

-

=1。—G+B|2+1Q—2〃h+21?—i?+/?I•Ia—2Z?I•cos<c-a+B,a+26>

=3+52+2X^3X2^T3XCOS<c-a+b,a+2b>

=55+4^39xcos<"&+6,&+2b>

©5+4廊

55+4.^9=52+2x2713x73+3=(2713+73)2,

故选：C

【点睛】

本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键

点.本题属中档题.

5.D

【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.

【详解】

解：复数z=a+尻，a、bwR；

V2z-r=3+12«,

：.2(a+bi)-(a-bi)—3+12/,

2a-a=3

即12b+0=12'

解得a=3,b=4,

Az=3+4z,

••.lzl=J32+42=5.

故选。.

【点睛】

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

6.B

【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A.a内有无数条直线与P平行，则a,。相交或a〃B,排除：

B./la且故。〃口，当a//。，不能得到/，a且/满足；

C.a±Y且a〃0,则a，B相交或a〃p,排除；

D.a内的任何直线都与B平行，故a//0,若a//0,则a内的任何直线都与B平行，充要条件，排除.

故选：B.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.

7.C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

8.D

【解析】

对函数求导，根据函数在％=-3时取得极值，得到广(-3)=0,即可求出结果.

【详解】

因为/(x)=%3+奴2+3%一9,所以/'(x)=3x2+2ar+3,

又函数/(x)=心+an+3x-9在x=-3时取得极值，

所以/'(一3)=27-6。+3=0,解得a=5.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.

9.B

【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出X,y,即可求出2x+3)，的值.

【详解】

如图所示过。做三角形三边的垂线，垂足分别为。，E,F,

过。分别做AB,AC的平行线N。，MO,

AB2+AC2-BC29+4+8。“k

由题知cos60°=

-2-AB-AC-

BC

则外接圆半径r=

2-sin60°3

因为。£)_LAB,所以QO=yjAO-AD?

214

又因为ZDMO=60°,所以DM=-=>AM=_,MO=AN=_,

333

由题可知AO=xAB+yAC=AM+AN,

AM1AN4

所以x=y=---

~AB6-AC9

所以2x+3y=；.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.

10.C

【解析】

结合分段函数的解析式,先求出/(-2),进而可求出/[/(-2)].

【详解】

由题意可得了(-2)=32=9,则/l/(-2)]=/(9)=log,(9-l)=3.

故选:c.

【点睛】

本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

11.B

【解析】

由a+a+a为定值，可得a=a,则｛a｝是以3为周期的数列，求出a,%,%,即求S

n?z+ln+2〃+3nn123100

【详解】

对任意的〃eN,均有。+a+a为定值，

+nn+1n+2

:Xa+a+a)-(a+a+Q)=0,

〃+ln+2n+3n〃+ln+2

故a=a，

z»+3n

｝是以3为周期的数列，

n

故〃=Q=2,Q=Q=4,a=a=3,

1729839

S=(a+Q+a)+.・・+(Q+Q+a)+a=33(.a+a+Q)+a

1001239798991001231

=33(2+4+3)+2=299.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

12.C

【解析】

根据复数模的性质即可求解.

【详解】

2i

•-7=____

-1+i'

\2i\2后

由=m=了=”

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

ng"

1.0•,‘•

3

【解析】

先求圆的半径，四边形M4C6的最小面积Se[JXJ7],转化为”的最小值为S7叵凸,求出切线长的

最小值w[JX、/7],再求|MC|的距离也就是圆心到直线的距离,可解得〃的取值范围，利用几何概型即可求得概

min

率.

【详解】

由圆的方程得x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1),半径为r=l,四边形的面积S=2S*咏，若四边形M4C6的

最小面积Se[JT,J7],所以号we的最小值为S"eg，与，而5小碗=!”吗，即叫的最小值

\MB\e[&,此时|MC|最小为圆心到直线的距离，此时d=｝：二[eQ"+(@2+(互2]，因为女>0,

所以女e[",6],所以[1,4]的概率为6;".

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，及与长度有关的几何概型，考查了学生分析问题的能力，难度一般.

14.[0,l]u[e,+oo)

【解析】

根据分段函数的性质，即可求出。的取值范围.

【详解】

当a>l时，lna2l,

••啰e,

当aQ时，3畛1,

所以飞仁1，

故。的取值范围是[0』]+8).

故答案为：[0』]u[e,+8).

【点睛】

本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.

10

15'T

【解析】

利用导数的几何意义即可解决.

【详解】

由已知，/(3)=!，/(3)=gx3+2=3,故/(3)+/(3)=学.

10

故答案为：y.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.

16.73

【解析】

解法一：曲线。上任取一点尸七，，利用基本不等式可求出该点到直线/的距离的最小值;

解法二：曲线c函数解析式为y=E,由y'=-且求出切点坐标，再计算出切点到直线/的距离即可所求答案.

x3

【详解】

解法一（基本不等式）：在曲线c上任取一点

一、

该点到直线/的距离为）0X13»gx2

a—同+X

22H0

1017

3

当且仅当时，即当％=±布时，等号成立,

o

因此，曲线。上任意一点P到直线I距离的最小值为事;

解法二（导数法）：曲线C的函数解析式为＞=且，则），'=-0

XX2

的切线与直线/平行，则-白-9，解得于±3

设过曲线。上任意一点P\，

0

到直线/的距离1=芷=百；

当x0=G时，P

2

当x=-々时，2、逐,—1)到直线/的距离1=2叵=#.

o2

所以曲线C：孙=JT上任意一点到直线l:x+y/3y=0的距离的最小值为/.

故答案为：、仔.

【点睛】

本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离,

也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(3372⑸

17.(1)证明见解析；(2)P为线段AC上靠近C点的四等分点，且坐标为P-7，+，=

11I444)

【解析】

(1)先通过线面垂直的判定定理证明_L平面ABC,再根据面面垂直的判定定理即可证明；

(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P-MN-C的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,

即可计算出P的坐标从而位置可确定.

【详解】

(1)证明：因为AC=2,CC-y/2,AC、=邪,

所以AC?+CC2=AC2,即ACJ.CC.

।।।

又因为BBJ/CC,,所以BC_LCQ,

ACQBC=C,所以Cqi•平面ABC.

因为CC<=平面BBCC,所以平面ABC1平面BBCC.

(2)解：连接AM,因为AB=AC=2,M是BC的中点，所以AWLBC.

由(1)知，平面ABC,平面sqqc,所以朋/J■平面

以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系〃一可以，

则平面Bqqc的一个法向量是庆=(0,0,1),4(0,0,、「)，/V(0,72,0),C(-1,72,0).

设A?=tAC(0<r<1),P(X,y,z),

1

AP=(x,y,z-小),AC=(-1#,-&),

代入上式得x=T,y=y/2t9z=JT(l—/),所以P(T,/,阴—/).

设平面MVP的一个法向量为〃=(5,y/q),丽=(0,Jl0),砺=(—t,J2,JT-4)，

[n-MN=0H=0

由•阳P=0，得[_q+播"+向1T)Z|=O'

令Z]=f,得〃=(JJ—

因为二面角「一MN-。的平面角的大小为30。，

m-hJ3t事3

所以即小八=亍，解得t=.

ITHIIZ?I2J3(l-f)2、+f224T

(33/2J3

所以点P为线段4c上靠近£点的四等分点，且坐标为「一；，：，：.

111444J

【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.(1)证明面面垂直，可通过先证明线面

垂直，再证明面面垂直；(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.

18.(1)见解析；(2)sin0=5^2

35

【解析】

(1)先证明四边形ABCE是菱形，进而可知AC1BE，然后可得到AC，平面BEFG，即可证明平面ACF1平面

BEFG;

(2)记ACfE的交点为O,再取尸G的中点P.以。为坐标原点，以射线O3,OC,O尸分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建

立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z，分别求出平面A5F和05尸的法向量也〃，然后由C0S〈m,〃〉=-....，可求出二

\mnn\

面角A-9-。的余弦值，进而可求出二面角的正弦值.

【详解】

(1)证明：因为点E为A。的中点,AD=28C,所以AE=5C,

因为45〃8C,所以AE//8C,所以四边形ABC。是平行四边形，

因为A8=8C,所以平行四边形ABCE是菱形，所以ACLBE,

因为平面BEFG1平面ABCD，且平面BEFGc平面ABCD=8E,所以AC_L平面BEFG.

因为AC=平面ACF，所以平面ACF1平面BEFG.

(2)记ACfiE的交点为0,再取FG的中点P.由题意可知ACfiE,OP两两垂直，故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP

分别为x轴、y轴、Z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。一孙Z.

因为底面ABCD是等腰梯形,ADHBC,AZ)=2AB=2BC=4，所以四边形ABCE是菱形，且NBAD=60。,

所以A(0,-y/3,0),B(1,0,0),E(-l,0,0),0(-2,^,0),F(-l,0,2),

则AB=(1,/0),BP=(-2,0,2),BD=(-3,；3,0)，设平面ABF的法向量为后=),

m•AB=x+J3y=0、一.「

则1a匚\j八,不妨取)；=T,则加=(/T0),

m-BF=-2x+2z=01u

ii

设平面。BF的法向量为日=Q,y,z),

222

n-BD=-3x；+J3y=0，不妨取『，则，

则4n.BF=.2+:"0"

22

m-n

故COS〈/71,〃〉

ImII/?IJ7x435

记二面角A-BF-D的大小为°,故sin0

【点睛】

本题考查了面面垂直的证明，考查了二面角的求法，利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法，属于中

档题.

19.（I）P-2cos0=0,2P2cos20+3p2sin2。—6=0；（H）\AB1=>/3--y-

【解析】

（I）根据p2=x2+y2,x=pcos0,y=psin0,可得曲线q的极坐标方程，然后先计算曲线6的普通方程，最后

根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.

（II）将射线，=2分别与曲线G和极坐标方程联立，可得4,3的极坐标，然后简单计算，可得结果.

612

【详解】

（I）（x-l1+y2=lnx2+y2-2x=0

由p2=尢2+y2,x=pcos。，y=psin0

所以曲线q的极坐标方程为P-2cos0=0,

曲线C,的普通方程为2x2+3y3-6=0

则曲线Q的极坐标方程为2P2cos29+3p2sin20-6=0

（H）令e=：（p〉o）,则总，心*}

Tl71

则2P2cos2_+3p2sin2_-6=0,即9p^=24,

所以IOBI=p=4/^,\OA\=p=2cos=,

23।6

故IAB1=1041—1081=/—手.

【点睛】

本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中P的几何意义，属基础题.

d「20c

20.（1）选取y=c+—更合适；（2）y=5+—；（3）x=2时，煤气用量最小.

X2X2

【解析】

d

（1）根据散点图的特点，可得y=c+—更适合；

X2

（2）先建立y关于卬的回归方程，再得出y关于x的回归方程；

（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.

【详解】

⑴选取y=c+《更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数X的回归方程类型;

（2）y-c+dw

£（w-卬）（y-y）

16.2

由公式可得:2=+Y-----------!——20,

（w—卬）0.81

£=y一猫=20.6-20x0.78=5,

所以所求回归直线方程为：y=5+—；

X2

(3)根据题意，设/=米，女>0,

(20、20*I20k

则煤气用量S=W=履5+—=5kx+-->25kx---=20k,

\X1JX