安徽省合肥市巢湖新星中学高三数学文下学期期末试卷含解析

安徽省合肥市巢湖新星中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若，，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】列出关于的方程组并解出，即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为.由题意得解得所以.故选A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和.等差数列的通项公式和前项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于的方程组来求.2.已知，则A. B. C. D.参考答案：B3.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有(

)种A.30

B.60

C

48

D

52参考答案：A4.若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是（

）A．若，，则

B．若，，，，则C．若，，则D．若，，，则参考答案：B略5.(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},A={x∈R|x≤1},则 (A) (B)[1,2] (C)[－2,2] (D)[－2,1]参考答案：D6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．7.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）[来源:学|科|网Z|X|X|K]参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．8.若a，4，3a为等差数列的连续三项，则（

）A.1023 B.1024 C.2047 D.2048参考答案：C【分析】由，4，为等差数列的连续三项，可以求出的值，然后利用等比数列的前和公式求出的值.【详解】因为，4，为等差数列的连续三项，所以，，故本题选C.【点睛】本题考查了等差中项、以及等比数列的前和公式，考查了数学运算能力.9.若焦点在轴上的椭圆（）的离心率.则实数m的取值范围为（

）A．

B．(3,4)

C.

D．(0,3)参考答案：D由题意可得：，结合椭圆离心率的范围可知：，即，求解不等式可得：，即实数m的取值范围为(0,3).本题选择D选项.

10.平行四边形中，，，，，则的值为（

）A．10

B．12

C.

14

D．16参考答案：D因为平行四边形中，，，，，所以，，，故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设θ为第三象限角，若tanθ=1，则sinθ+cosθ=．参考答案：【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据题意求出θ的值，再计算sinθ+cosθ的值．【解答】解：θ为第三象限角，tanθ=1，∴θ=+2kπ，k∈Z；∴sinθ+cosθ=sin+cos=﹣﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数求值问题，是基础题．12.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为

▲

．参考答案：2略13.一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为．参考答案：169π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，再求球的表面积．【解答】解：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC=12，AA1=5它外接球直径2R=，外接球的表面积为．故答案为：169π．【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球的半径的求法、球内接多面体、球的表面积，考查计算能力和空间想象能力．14.已知函数，则

▲

．参考答案：-115.把函数的图象上的所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），而后再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变），所得函数图象的解析式是____*_____参考答案：略16.函数的最小值为________．参考答案：【分析】结合换元法以及利用导数求得的最小值.【详解】令，函数变为，，所以在上递减，在上递增，所以，也即函数的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题.17.定义在R上的奇函数，当时,则函数的所有零点之和为_____．参考答案：【分析】函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【详解】∵当x≥0时，f（x）＝即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）＝（﹣x+1），又f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，解得x＝1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故答案为：1﹣2a．【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（Ⅰ）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并估计第6年此市的个人年平均收入（保留三位有效数字）．年份x12345收入y（千元）2124272931其中xiyi=421，xi2=55附1：=，=﹣（Ⅱ）下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：

受培时间一年以上受培时间不足一年

收入不低于平均值6020

收入低于平均值1010

100完成上表，并回答：是否有95%以上的把握认为“收入与接受培训时间有关系”．附2：P（K2≥k0）0.500.400.100.050.010.005k00.4550.7082.7063.8416.6357.879附3：K2=．（n=a+b+c+d）参考答案：见解析【考点】独立性检验的应用．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据已知数据求出回归直线方程，将x=6代入，可估计第6年此市的个人年平均收入；（2）通过所给的数据计算K2观测值，同临界值表中的数据进行比较，可得到结论．【解答】解：（1）由已知中数据可得：=3，=26.4，∵xiyi=421，xi2=55，∴====2.5，=﹣=26.4﹣7.5=18.9，∴=2.5x+18.9，当x=6时，=33.9．即第6年此市的个人年平均收入约为33.9千元；（2）某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：

受培时间一年以上受培时间不足一年合计收入不低于平均值602080收入低于平均值101020合计7030100根据列联表中的数据，得到K2的观测值为K2=≈4.762＞3.841．故我们有95%的把握认为“收入与接受培训时间有关系”．【点评】本题考查的知识是回归分析和独立性检验，计算量较大，属于中档题．19.

第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部(其中男生4人，女生3人)中选3人参加两会的志愿者服务活动．

(1)所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望：

(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．参考答案：解：（1）ξ得可能取值为0,1,2,3由题意P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=P(ξ=3)=…………4分∴ξ的分布列、期望分别为：ξ0123p

Eξ=0×+1×+2×+3×=

…………8分（2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C

男生甲被选中的种数为,男生甲被选中，女生乙也被选中的

种数为

…………10分

∴P(C)=

在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为

……12分略20.如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，.（1）求证：∥平面；（2）若∠＝90°，求证;（3）若∠＝120°，求该多面体的体积.参考答案：（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC；（Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP；（Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点，∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且,∴∥ED，且∴四边形EFOD是平行四边形

--------------------------------2分即EF∥DO

又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

----------------------4分（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，又AD⊥平面PDC

∴AD⊥DP,∴PD⊥平面ABCD,

-------------6分

∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP

------------8分（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，所以三棱锥与三棱锥体积相等，即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，由余弦定理并整理得,

解得DC=2

-------------------10分∴三棱锥的体积∴该五面体的体积为

--------------------12分21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式求证：数列的通项公式为；（3）设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）设等差数列的公差为，由已知，有解得…（2分）所以，即的通项公式为（）．……（4分）（2）因为，所以，当时，，

……（2分）证法一（数学归纳法）：①当时，，结论成立；

…………………（3分）②假设当时结论成立，即，那么当时，，即时，结论也成立．

……………（5分）由①，②得，当时，成立．

……（6分）