湖北省随州市曾都区第二中学高三数学文期末试卷含解析

湖北省随州市曾都区第二中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量和的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|的值为（

）

A.37

B.13 C.

D.参考答案：C2.正项等比数列的公比为2，若，则的值是A.8 B.16C.32 D.64参考答案：C3.函数f(x)=x+ln(x－1)的零点所在的区间为

(

)

A.（1，）

B.（，2）

C.（2，e）

D.(e，+∞)参考答案：A4.要得到函数y=2sin2x的图象，只需将函数y=2sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位可得函数y=2sin=2sin2x的图象，故选：A．5.给出下面结论：

①“a>1”是“f（x）=logax（a>0，a≠1）在[0，+∞）为增函数”的充要条件；

②函数f（x）=cosxsinx的图象关于点（-，0）成中心对称；

③函数f（x）=2x+3x的零点所在区间是（-1，0）；

④命题p：“，≥0”的否定为：“，”．

其中正确结论的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略6.已知函数（），则下列叙述错误的是

（

）

A．的最大值与最小值之和等于

B．是偶函数

C．在上是增函数

D．的图像关于点成中心对称参考答案：C由题意得，因此结合各选项知在上是增函数是错误的，选C。7.已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，，当时，log2x，则在内满足方程的实数为A．

B．

C．

D．参考答案：C因为f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=-f（-x+1），即f（x）=-f（2-x）．当x∈（1，2）时，2-x∈（0，1），∴f（x）=-f（2-x）=-log2（2-x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（-x），于是f（-x）=-f（-x+2），即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x-8≤1，f（x）=f（x-8）=log2（x-8）．由log2（x-8）+1=0，得x=。当9＜x＜10时，1＜x-8＜2，f（x）=f（x-8）=-log2[2-（x-8）]=-log2（10-x），-log2（10-x）+1=0，得10-x=2，x=8＜9（舍）．综上x=。故选C．8.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

参考答案：D略9.在各项均为正数的等比数列中，则

A．4

B．6

C．8

D．参考答案：C在等比数列中，，所以，选C.10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的表面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[1，]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]12.圆的圆心之间的距离为

。参考答案：略13.图中阴影部分的面积等于

．参考答案：1略14.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．参考答案：①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．解答：解：①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；④若△ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinA＞cosB，④错误．故答案为：①②③点评：③的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会．15.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则

▲

参考答案：1:24所以16.已知为线段上一点，为直线外一点，满足，,,为上一点，且，则的值为__________参考答案：17.函数f（x）=的最小正周期是

．参考答案：π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的运算，同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）==sin2x﹣4cos2x=1﹣5cos2x=1﹣5?=﹣﹣cos2x的最小正周期是=π，故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数，讨论的单调性.参考答案：(1)有题意得，所以.又因为，其切线方程为，即.(2)，则，令，得，，①当时，恒成立，所以在上递增；②当时，令，得或.即在，上递增，在递减，③当时，在，上递增，在递减.19.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求得a的值；（Ⅱ）计算月均用水量不低于3吨的频率值，由抽取的人数X的可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅲ）计算月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，求出有85%的居民月用水量不超过的标准值．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=?0.93=0.729，P（X=1）=?0.1?0.92=0.243，P（X=2）=?0.12?0.9=0.027，P（X=3）=?0.13=0.001；∴X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20.已知函数．（1）当时，直线与f(x)相切，求m的值；（2）若函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点，求此时函数f(x)的单调区间；（3）当时，若函数f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．参考答案：（1）m=3；（2）单调递增区间为(－∞,0)，(1,+∞),单调递减区间为(0,1)；（3）.【分析】（1）由求出切点坐标，代入切线方程即可得结果；（2）先证明当时不合题意，当时，根据单调性可得，要使函数在内有且只有一个零点，则须，求得，进而可得结果；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，且,，分类讨论求出最大值与最小值，解方程即可得结果..【详解】（1）,则所以，，当，所以，解得.（2），由，得到，，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且,.①当即时，在上单调递增，在上单调递减，，又即所以，解得（舍）.②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增即，所以.若，即时，，所以，解得（舍）.若，即时，，所以，解得.综上，.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性、求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m（I）当时，求f(x)>0的解集；（II）若关于的不等式f(x)≥2的解集是，求的取值范围．参考答案：解：（I）由题设知：，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

，或，或，解得函数的定义域为；

…………（5分）（II）不等式f(x)≥2即，∵时，恒有，不等式解集是，∴，的取值范围是．

…………（10分）22.已知椭圆的右焦点为F，设直线与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点.（1）若直线的倾斜角为，求的值