湖南省湘潭市县响塘乡水井中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省湘潭市县响塘乡水井中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．【点评】：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．2.已知命题p：?x∈R，9x2－6x＋1>0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝，则（

）A．p是假命题

B．q是真命题C．p∨q是真命题

D．p∧q是真命题参考答案：C略3.设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A不等式组对应的平面区域是由三条直线,和围成的三角形，三角形的三顶点坐标分别为、、．由题意可知在点或线段上取最大值，在点或线段上取最小值，于是有或或，解得：，故选A．4.（多选题）如图直角梯形ABCD，，，，E为AB中点，以DE为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且．则（

）A.平面PED⊥平面EBCDB.C.二面角的大小为D.PC与平面PED所成角的正切值为参考答案：AC【分析】A中利用折前折后不变可知,根据可证,可得线面垂直，进而证明面面垂直；B选项中不是直角可知不垂直，故错误；C中二面角的平面角为,故正确；D中与平面所成角为,计算其正切值即可.【详解】A中,,在三角形中，，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；B中，若，又，可得平面,则,而,显然矛盾，故B选项错误；C中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故C选项正确；D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题.5.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，则P+Q中元素的个数为 （

）

A．9

B．8

C．7

D．6参考答案：B略6.已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．若，，且，则参考答案：D解：由，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，且，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得，故正确．故选：．7.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：A略8.已知角的终边上一点的坐标为(,)，则角的最小正值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.定义行列式运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得函数的表达式是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率是_____.参考答案：1/3略12.下列命题：①∈R，＞；②若函数f（x）＝（x－a）（x＋2）为偶函数，则实数a的值为－2；③圆上两点P，Q关于直线kx－y＋2＝0对称，则k＝2；④从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数是连续自然数的概率是,其中真命题是_____________（填上所有真命题的序号）．参考答案：①④13.若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是．参考答案：（1，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；14.三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为．参考答案：3π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．解答：解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4π?（）2=3π．故答案为：3π．点评：本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S﹣ABC的外接球的球心与半径．15.已知集合，则的子集个数为

___▲____．参考答案：4集合，，则，则的子集是：，，，，共4个.故答案为：4.

16.已知的定义域是，则的定义域为

▲

．参考答案：[1，3]略17.已知△ABC中，AB=2，AC+BC=6，D为AB的中点，当CD取最小值时，△ABC面积为．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据余弦定理，结合二次函数的图象和性质，可得BC=时，CD的最小值为，由余弦定理求出cosB，进而求出sinB，代入三角形面积公式，可得答案【解答】解：∵AB=2，AC+BC=6，D为AB的中点，根据余弦定理可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC，且CB2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos∠CDB，即（6﹣BC）2=3+CD2﹣2CD?cos∠ADC，CB2=3+CD2﹣2?CD?cos∠CDB，∵∠CDB=π﹣∠ADC，∴（6﹣BC）2+CB2=6+2CD2﹣∴CD2=2CB2﹣6BC+15=2（CB﹣）2+，当BC=时，CD的最小值为，此时cosB===，∴sinB=，∴S△ABC=××2×=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)设,若在上不单调且仅在处取得最大值,求的取值范围.参考答案：解答:(Ⅰ)

若,则,所以此时只有递增区间(

若,当

所以此时递增区间为:(,递减区间为:(0,

(Ⅱ),设若在上不单调,则,同时仅在处取得最大值,即可得出:

的范围:

略19.（本小题满分12分）已知y=是二次函数，且f(0)=8及f(x+1)－f(x)＝－2x+1

（1）求的解析式；（2）求函数的单调递减区间及值域..参考答案：解:(1)设

f(0)=8得c=8

f(x+1)-f(x)=-2x+1得a=－１，b=2(2)=当时,

单调递减区间为(1,4).值域20.已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．21.已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（Ⅰ）设，，求函数在上的最大值；（Ⅱ）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ），，函数的图像关于直线对称，则．直线与轴的交点为，，且，即，且，解得，．则．故，其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为；（ⅱ）当时，最大值为；（ⅲ）当时，最大值为．

……………8分（Ⅱ）方法一：，则，

，

当时，，不等式恒成立等价于且恒成立，由恒成立，得恒成立，当时，，，，

又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．……12分方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须，又当函数有意义时，，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．

…………