高考数学复习方法、考点、知识点总结

高考数学复习心态指导

现在距高考还有两个多月时间，复习已经进入最后冲刺阶段。此时正

是数学科目备考“量变到质变”的关键时刻，量是指考生已复习了10

个月时间，通过系统复习与专题复习已经系统掌握了高中数学的知

识；而且，10个月里做了大量的练习题，积累了丰富的解题经验。

量的积累必产生质变，这里的“质”是指数学素质与数学能力，“变”是

指比过去有了进步，提高了解决问题的素质和能力。

在此阶段，考生要面对的问题是，在量变到质变的过程中能否加

进你的主观能动性，使这个“变”向更高层次迈进，使你的能力和应试

心理素质完全达到迎战高考的要求。笔者就最后阶段的数学复习给考

生儿点建议。

1.回顾并系统地整理高中数学的基础知识和基本方法，在自己的

头脑中应形成明晰的知识体系。

俄国教育家乌申斯基有句名言“智慧不是别的，而是组织得好的

知识体系”。高考的要求是：“系统地掌握知识的内在联系，对所列的

知识内容有较深刻的理性认识”（摘自高考《考试说明》）o

需要注意的是，建立知识体系并不只是罗列1、2、3、4……而

是在系统的内部结构中，认识它们的内在联系并提炼理性的认识。

2.检查自己解答“选择题与填空题”的能力是否达到了高考的要

求。

高考时，解答选择题与填空题应当在45分钟内完成，“能分析条

件，寻求与设计合理、简捷的运算路径”（摘自高考《考试说明》），成

功率应达到85%（以本科线为标准）。选择题和填空题是得分的基础，

如果你还达不到高考要求，现在就要进行有针对性的训练。

3.检查自己应对“中等解答题”的能力是否达到了高考要求。高考

试卷的解答题由6个题目组成，其中中等难度的题目至少有3道，真

正的难题一般是两个，另外1个题目介于中等难题与难题之间，这个

题目对水平较好的考生来说问题不大，一般考生会感到有难度。另外,

一些解答题设有儿个小问题，前面的儿问是中等难度水平，最后一问

属于难题。

我们讲的“中等解答题”是指难度为中等水平的大题或一个题目

中的某几个小问题，对于这类题目，考生应在40分钟内完成，成功

率要达到85%至90%o

在最后阶段，考生应该认真总结自己在解答中等题上是否达到了

高考要求，对哪些题有把握，在哪个知识点上有困难，要做到“心中

有数”。总结之后，就要对自己感到薄弱的知识点及相关题目进行有

选择的、有针对性的训练，力争达到或超越高考要求。

4.从数学思想的指导作用和能力结构的角度总结解答综合性难

题的经验，找到自己的不足，制订进一步训练的计划。

5.总结临场考试时的审题答题顺序、技巧，书写表述、检验等各

个环节的成与败，总结临考前与考场上心理调节的做法与经验，力争

找到适合自身特点的心理调节方式与临场审题、答题的具体方法及细

节处理的要点。

总之，在这两个月中，考生若能积极主动地促进量变到质变的进

程，会提高效率，适应高考的要求，取得好成绩。反之，若在忙乱中

度过这两个月，则这个转变的过程会不完整，达不到高考要求。

提分要点

高考在即，高考生们都比较关心高考的分数，下面给大家分享高考

数学如何提分。

高三，大部分的时间都是在复习，老师们每天每一节课都会复习

一个知识点，在复习中如何提高自己，获得高分呢？

第一："简单计划"：紧跟老师步伐

提高数学分数，突破的策略很简单：就是尽量紧跟老师的步伐走。

把复习课当"新课"。这么做，是促使你在上复习课的时候也能够像上

新课一样积极思考，并且大胆地把想法和思路说出来。尤其是针对自

己薄弱的学科，更应如此。说错了不要紧，如果说对了，得到老师的

肯定，反而能够增强信心。

从"例题"中淘金。从例题中着手，掌握好每一种题型的解题方法。

复习中就紧扣例题，掌握的题目一次过目，碰到难题就多研习几遍，

直到弄懂为止。把整理笔记当复习。课堂上的笔记往往比较零乱，需

要整理。而其实，整理笔记的过程也正是一次很好的复习过程。

第二：巧用错题：三思助延成功

一思：我为什么会做错

一般老师们都会让学生集错题集，高三就派上用场了，复习时就

要先想自己为什么会犯错，错误原因是什么。事实上，所有的错题都

离不开三类：第一类是题目非常简单，而我们在那一刻表现得特别愚

蠢，这是粗心大意。第二类是拿到题目，两眼茫然，一点思路都没有,

这是学艺不精，或者题目本身较难。第三类就是题目难度适中，论道

理有能力完全能够做对，但是却做错了。

掌握自己所犯错的类型，"对症下药"。每个经历过高考的人都知

道，审题多么重要。因此在复习中遇到所犯的错误，首先要分析是否

由于审题不清造成的，如果是，就要找出这种诱使你犯错误的"陷阱"。

二思：怎么才能不出错

对待错题的态度和方法不同，学习效果也会有天壤之别。如果只

是把错题在试卷上标注，复习中偶然想起，随手翻看，这种方法看似

节省时间，但是注意力极易被分散，复习效果反而大打折扣。

毫无疑问，整理错题，做错题集是行之有效的好方法。一方面便

于集中查阅自己犯过的错误，另一方面便于翻看。把错题集中记录到

一个本子上，看到曾经出现过的问题，再比照课本里面相应的内容，

边记边看，这样复习效果非常显著。

错题集的另一妙用是能够帮助你分析学科状况，哪个学科，记载

下来的错误越多，就说明我对这门科目的掌握还有很大的不足，意味

着需要调整策略，投入更多的精力。

三思：第一时间改错

不绕过，不拖沓，第一时间改错，然后迅速分析总结。不绕过，

就是正视自己的错误，不讳疾忌医，不为自己的错误寻找借口。不拖

沓，就是遇到错题，当场解决，不隔一段时间再吃"回头草"，因为经

过一段时间的间隔，很可能遗忘，即使记得，也很难记起当初是怎样

犯的错。如此对待错题，事倍功半。而迅速分析总结，就是趁热打铁,

对每一道错题都认真分析，研究出错原因，找准致错症结，避免再次

犯错。

第三：庖丁解牛步步赢

当你见到某种你从未见过的题目时，先不要感到恐慌，你必须先

多读几次题目，把题意弄明白，联想你学过的知识、方法，然后运用

到题目中去。你要发现题目的特点，一些设置条件的规律，发现解题

最适合的方法，这是长期做题培养出来的"题感"。

有的时候一道题有很多种解法，要寻求最有效，最快速的解法。

这样你就可以省下很多时间解其他题目（高考，这一点很重要）。

如果遇到很难考的数学试卷的时候怎么办?先不要慌。然后步步

为营，能得分的一定要确保得分，特别是对数学来说，计算一类的题

目一定要一次做对，因为高考的时间很短，许多人根本没有时间检查,

遇到实在不会做的题目，就先放弃，先做后面的题，没准，后面的题

目会给你之前的那道题提供解题思路。

如果遇到那种难得你一个字都写不出来的题目，你就根据题目条

件，把你可以得出的结论，能想到的公式都抄上去，能够得一些分数

（考试时间足够时建议这么做）。

高考复习一定要充满信心，要学会自我肯定。不要轻言放弃。复

习中，难啃的骨头一定要啃下来。而当你做出一道难题时，那种成功

的愉悦是无法形容的。你甚至可以夸自己是天才，这绝非是骄傲，而

是应对高考一种无往不胜的自信。

无论有再多的提分方法，都抵不过你的信心，世上无难事，只怕

有心人，高考数学你一定行。

高考数学知识速记

根据多年的实践，总结规律繁化简；概括知识难变易，高中数学巧记

忆。

言简意赅易上口，结合课本胜一筹。始生之物形必丑，抛砖引得白玉

出。

一、《集合与函数》

内容子交并补集，还有森指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明

显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义

抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变

故。

函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负，零和负数无对

数；

正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集,多种情况求交

集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y=x是对称

轴;

求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值

域。

基函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函

数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正

负。

二、《三角函数》

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减

现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切

割；

中心记上数字1,连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对

角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化

小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不

变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求

值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名

称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易

变。

逆反原则作指导，升累降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路

明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧

用；

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，累升一次角减半，升塞降次它为

范；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范

围；

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解

集；

三、《不等式》

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等

式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用

大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高

To

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证

法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造

法。

四、《数列》

等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序

换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转

换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思

考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序

化：

首先验证再假定，从K向着K加1,推论过程须详尽，归纳原理来

_Lfc=.^

月7Eo

五、《复数》

虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚

部。

对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角

度。

箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一

试。

代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期

现。

一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转

化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边

形,

减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长

短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方

便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共

舔

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区

别。

六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排

列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转

化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考

虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模

试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换

式。

七、《立体几何》

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线

成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环

现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图

形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关

键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大

片。

八、《平面解析几何》

有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标,数形结合称典

范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者一一来对应，开创几何新途

径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思

木目

心、o

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线,曲线位置关系

判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数

求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形

学。

最新高考数学考点

1、已知集合A、B,当时:你是否注意到“极端”情况：或；求集

合的子集时是否忘记？

2、对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、

非空真子集的个数依次为

3、反演律：，。

4、“p且q”的否定是“非p或非q"；“p或q”的否定是“非p

且非q”。

5、命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。

6、函数的几个重要性质：

①如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关

于直线对称。是偶函数；

②若都有，那么函数的图象关于直线对称；函

数与函数的图象关于直线对称；

③函数与函数的图象关于直线对称；函数与函

数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐

标原点对称；

④若奇函数在区间上是增函数，则在区间上也是增函

数；若偶函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数；

⑤函数的图象是把的图象沿x轴向左平移a个单位得到

的；函数（的图象是把的图象沿X轴向右平移个单位得到

的；

⑥函数+a的图象是把助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函

数+a的图象是把助图象沿y轴向下平移个单位得到的。

7、函数与其反函数之间的一个有用的结论：原函数与反函

数图象的交点不全在y=x上（例如：）；只能理解为在

x+a处的函数值。

8、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数

的定义域了吗？

9.原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反

函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.判断

一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个

必要非充分条件了吗？

10.一定要注意“>0（或<0）是该函数在给定区间上单调递增

（减）的必要条件。

注意抓关键词：关键词很重要，往往说明了题眼，是解题的把柄。

11.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上

单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数!

12.切记定义在R上的奇函数y=f（x）必定过原点。

13.抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、

奇偶性的定义求解。同时，要领会借助函数单调性利用不等关系证明

等式的重要方法：£5）213且方2）在1）亚1）=1）。

14.对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真

数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论。

15.数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（）

16.你还记得对数恒等式吗？（）

17.“实系数一元二次方程有实数解"转化为“”，

你是否注意到必须；若原题中没有指出是“二次”方程、函数

或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如：对

一切恒成立，求a的取值范围，你讨论了a=2的情况了吗？

18.等差数列中的重要性质：；若，则；成

等差。

19.等比数列中的重要性质：；若，则；成等比。

20.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨

论.（ET寸，；时:）

21.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为

等差数列的充要条件是（a,b为常数），其公差是2a。

22.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若

其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）

23.用求数列的通项公式时，an一般是分段形式对吗？你注

意到了吗？

24.你还记得裂项求和吗？（如）

叠加法：

叠乘法：

25.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？

你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？在AABC中，

sinA>sinBUA>B对吗？

26.一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半.（如的

周期都是，但及的周期为,）

27.函数是周期函数吗？（都不是）

28.正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中心你知道吗？

29.在三角中，你知道1等于什么吗？（

这些统称为1的代换），常数“1”的种种代换有着广泛的应

用.

30.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变

换.（如等）

31.你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最

少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）

32.你还记得三角化简的通性通法吗？（从函数名、角、运算三方

面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦、降基公式、用三角公式

转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）

33.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？（）

34.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（）

35.辅助角公式：（其中角所在的象限由a,b的符号

确定，角的值由确定）在求最值、化简时起着重要作用.

36.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面

直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意

义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值

范围依次是；②直线的倾斜角、到的角、与的

夹角的取值范围依次是；③向量的夹角的取值范围是[0,

n]

37.若，，则，的充要条件是什么？

38.如何求向量的模？在方向上的投影为什么？

39.若与的夹角0,且0为钝角，则cos0<0对吗？（必须去掉

反向的情况）

40.你还记得平移公式是什么？（这可是平移问题最基本的方法）;

还可以用结论：把y=f（x）图象向左移动|h|个单位，向上移动|k|个

单位，则平移向量。

42.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）

43.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（两边平方或分类讨

论）

44.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你

是否注意到a,b（或a,b非负），且“等号成立”时的条件？

45.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对

数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的

解是…….

46.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基

础，分类讨论是关键."

47.恒成立不等式问题通常解决的方法：借助相应函数的单调性求

解，其主要技巧有数形结合法，分离变量法，换元法。

48.教材中“直线和圆”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何

的本质是用代数的方法研究图形的几何性质。（04上海高考试题）

49.直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一

般式.以及各种形式的局限性，（如点斜式不适用于斜率不存在的直

线，所以设方程的点斜式或斜截式时，就应该先考虑斜率不存在的情

形）。

50.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k,你是否注意到直线

垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，

且被圆截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程。该题就要注

意,不要漏掉x+3=0这一解.）

51.简单线性规划问题的可行域求作时，要注意不等式表示的区域

是相应直线的上方、下方，是否包括边界上的点。利用特殊点进行判

断）。

52.对不重合的两条直线，，有；.

53.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0。

54.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，

但不要忘记当a=0时;直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0,也

是截距相等。

55.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；

（2）直线方程与圆的方程联立，判别式法。一般来说，前者更简捷。

56.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系。

57.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。

58.定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值

可要搞清）在利用定比分点解题时，你注意到了吗？

59.曲线系方程你知道吗？直线系方程？圆系方程？共焦点的椭圆

系，共渐近线的双曲线系？

60.两圆相交所得公共弦方程是两圆方程相减消去二次项所得。

x0x+y0y=r2表示过圆x2+y2=r2上一点（x0,y0）的切线,若点（x0,

y0）在已知圆外，x0x+y0y=r2表示什么？（切点弦）

61.椭圆方程中三参数a、b、c的满足a2+b2=c2对吗？双曲线方

程中三参数应满足什么关系？

62.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形。

63.椭圆和双曲线的焦半径公式你记得吗？

64.在解析儿何中，研究两条直线的位置关系时、有可能这两条直

线重合，而在立体儿何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重

合。

65.在利用圆锥曲线统一定义解题时:你是否注意到定义中的定比

的分子分母的顺序？

66.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意:

二次项的系数是否为零？判别式的限制.(求交点，弦长，中

点，斜率，对称，存在性问题都在下进行)。

67.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。

68.过抛物线y2=2px(p〉0)焦点的弦交抛物线于

A(xl,yl),B(x2,y2),则,,焦半径公式|AB|=xl+x2+p。

69.若A(xl,yl),B(x2,y2)是二次曲线C：F(x,y)=0的弦的两个端

点，则F(xl,yl)=O且F(x2,y2)=00涉及弦的中点和斜率时,常用点

差法作F(xl,yl)-F(x2,y2)=0求得弦AB的中点坐标与弦AB的斜率的

关系。

70.作出二面角的平面角主要方法是什么？(定义法、三垂线定理

法、垂面法)

71.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积变换法、

向量法）

72.求两点间的球面距离关键是求出球心角。

73.立体儿何中常用一些结论：棱长为的正四面体的高

为,体积为V=O

74.面积射影定理，其中表示射影面积，表示原

面积。

75.异面直线所成角利用“平移法”求解时、一定要注意平移后所

得角是所求角或其补角。

76.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折、

展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。

77.棱体的顶点在底面的射影何时为底面的内心、外心、垂心、重

心？

78.解排列组合问题的规律是：元素分析法、位置分析法——相邻

问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；

多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少

问题间接法。

79.二项式定理中，“系数最大的项”、“项的系数的最大值”、

“项的二项式系数的最大值”是同一个概念吗？

80.求二项展开式各项系数代数和的有关问题中的“赋值法”、

“转化法”，求特定项的“通项公式法”、“结构分析法”你会用

吗？

81.注意二项式的一些特性(如；)o

82.公式P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B)的适用条

件是什么？

83.简单随机抽样和分层抽样的共同点是每个个体被抽到的概率相

等。

84.=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件。

85.注意曲线上某点处的导数值就是切线的斜率。(导数的儿何意

义)

86.解直答题(选择题和填空题)的特殊方法是什么？(直接法，

数形结合法，特殊化法，推理分析法，排除法，验证法，估算法等等)

87.解答应用型问题时，最基本要求是什么？(审题、找准题目中

的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、

做答)

88.求轨迹方程的常用方法有：直接法、待定系数法、定义法、转

移法(相关点法)、参数法等。

知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、

互异性、无序性”。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B、C中兀

素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如:集合A={xlx?-2x-3=0},B={xlax=1}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

（答:{-1.0,1}）

3.注意下列性质：

（1）集合a?,……,an}的所有子集的个数是2%

（2）若A=B=AnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式亭B<0的解集为M,若3GM且5eM,求实数a

x-a

的取值范围。

a•3—5

（V3GM,J32'J50

=>aG1,U（9,25））

a•5—5~

V5^M,-.....>0

52-a

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且"（A）和“非”（r）.

若PAq为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「P为真，当且仅当P为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

(互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的

任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

(定义域、对应法则、值域)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=鲤三2的定义域是

lg(x-3)-----------

(答：(0,2)11(2,3)U(3,4))

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定乂域

是

(答：[a,-a])

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时.，注明函数的定义

域了吗？

如：f(jx+1)=ex+x,求f(x).

令1=4工1,则tNO

...X=t之一1

.•.f(t)=er-1+t2-l

2

.，.f(x)=exj+x-1(x>0)

12.反函数存在的条件是什么？

(---对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗?

(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

如：求函数f(x)=<

x-1(x>1)

(答：「⑶〜

-V-x(x<0)

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,awA,beC,则f(a)=boL(b)=a

f-,[f(a)]=fT(b)=a,f[f-,(b)]=f(a)=b

14.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性？

(y=f(u),u=(p(x),则y=f[(p(x)]

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时f®(x)]为增函数，否则f[(p(x)]为减函数。)

如：求y=log17+2x)的单调区间

(设u=-x?+2x,由u>0则0<x<2

且logIuJ,u=-(x-1)~+1,如图:

2

当XG(0,1]时,uT，又log1uJyJ

2

当XG[l,2)时,uJ，又log]uJ,.*.yT

2

)

15.如何利用导数判断函数的单调性?

在区间(a,b)内，若总有f，(x)NO则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若r(x)wo呢?

如：已知a>0,函数f(x)=-ax在［1,+8)上是单调增函数，贝必的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f,(x)=3x2.a=3(x+J|Jx—卧0

则X“序

由已知f(x)在口，+8)上为增函数,则悔41,即a43

...a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立<=>f(x)为奇函数<=>函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立=f(x)为偶函数<=>函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函

数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若f(x)=a"：+a—2为奇函数,则实数a=

2X+1-----------

(：f(x)为奇函数，xeR,又OeR,，f(0)=0

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(0,1)时，f(x)=-------,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令x«-1,0),贝IJ-XE(0,1),f(-x)=—~-

又f(x)为奇函数，，f(x)=—=J

4+11+4

-2Xxe(-l,0)

▽一•一\一、+、

.乂f(0)—0n,・・f(x)—<41x=0/

9X

-------X€(0,1)

17.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(TWO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),则

(答：f(x)是周期函数,T=2a为f(x)的一个周期)

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(=)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(-x)的图象关于型_对称

f(x)与-f(x)的图象关于X轴对称

f(x)与-f(-X)的图象关于原点对称

f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称

£汽)与£(22-x)的图象关于直线x=a对称

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称

将y=f(x)图象左移a(a>0)个单位>丫=m+a)

右移a(a>0)个单位y=f(x-a)

上移b(b>0)个单位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”变换:

f(x)—>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=Mg2(x+l)|及y=log2|x+l|的图象

y=log2x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(1)一次函数：y=kx+b(kwO)

(2)反比例函数:y=&(kw0)推广为y=b+」一(k/0)是中心0，(a,b)的双曲

线。

(3)二次函数y=ax2+bx+c(aw0)=a[x+*J+"\卢图象为抛物线

b

顶点坐标为对称轴x.

2a

开口方向：a>0,向上，函数ymin=

-4ac-b2

a<0，向下，y=----------

max4a

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的

关系一一二次方程

ax2+bx+c=0,A〉0时，两根xrx?为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c〉0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

A>0

如：二次方程2*2+6*+©=0的两根都大于卜01-色>1<

2a

f(k)>0

--根大于k,一根小于ku>f(k)<0

(4)指数函数：y=a*(a>0,awl)

(5)对数函数y=logax(a>0,awl)

由图象记性质！(注意底数的限定！)

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a°=l(awO),a-p=—(a^O)

ap

m____1

a7=Va^(a>0),an=.——(a>0)

Va,n

对数运算：logaM•N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga萼=log；,M-logaN,logaVM=-logaM

Nn

对数恒等式：a电x=x

bn

对数换底公式：logab==>logb=—logab

a

logcam

21.如何解抽象函数问题?

（赋值法、结构变换法）

如：(l)xwR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,...)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t,t)

.\f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

•••f(-t)=f(t)……)

(3)证明单调性:f(x2)=f[(x2-X])+x2]=...

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判

别式法，利用函数单调性法，导数法等。)

如求下列函数的最值：

(1)y=2x-3+J13-4x

⑵y=r,

Jx+3

2

(3)x>3,y=^2x-

x-3

(4)y=x+4+j9-x2(设x=3cos6,0e[0,兀])

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公

式和扇形面积公式吗？

2

(/=|a|«R,Sf,=1/-R=l|a|-R)

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

如：若一工<。<0,则sin。，cos。，tan。的大小顺序是

8----------

又如：求函数y=-五co1]-x)的定义域和值域。

(*.*1-V2cos(T-x))=1-A/2sinx>0

历

sinx<——，如图：

2

2kju<x<2k兀+2(k£Z),0<y<Jl+行

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出

单调区间、对称点、对称轴吗?

|sinx|<1,|cosx|<1

对称点为(k^，0)，keZ

rrjr

y=sinx的增区间为2k兀一,，2kju+—(kGZ)

减区间为2kjt+工，2k;r+—(kG

22'

图象的对称点为(km0),对称轴为x=k兀+5(keZ)

y=cosx的增区间为［2k兀，2k兀+兀］(kGZ)

减区间为［2k7t+7t,2k兀+2兀］(kGZ)

图象的对称点为,兀+5，0)，对称轴为x=k7t(kwZ)

y=tanx的增区间为(krc一,krc+kGZ

26.正弦型函数y=Asin((ox+(p)的图象和性质要熟记。[或y=Acos(o)x+(p)]

(1)振幅IAI,周期T='

若f(x())=土A,贝!Jx=x(＞为对称轴。

若f(x0)=O,则(x0,0)为对称点，反之也对。

(2)五点作图：令(ox+＜p依次为0,—,兀，—,2兀，求出x与y,依点(X,y)

22

作图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、3、q＞值)

Xi0

co(X1)+(p=0

如图列出兀

co(x2)+(p

解条件组求3、tp值

△正切型函数y=Atan(cox+(p),T=一

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面一一先求出某一个

三角函数值，再判定角的范围。

如:cos

.7K兀5兀

>•--VXH---V---,

63

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有

界性了吗？

如：函数y=sinx+sinlxl的值域是

(xNO时，y=2sinxe[-2,2],x<0时，y=O,Aye[-2,2])

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

(平移变换、伸缩变换)

平移公式：

(1)点P(x,y)—=(h，k)>p,(X，，y'),则=x+h

平移至[y'=y+k

(2)曲线f(x,y)=0沿向量：=(h,k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=O

如：函数y=2sin(2x-5|-l的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的图

象？

(y=2sin(2x-^-1横坐标伸长到原来的净一”=2可2(3

2sin^x-^J-l

纵坐标缩短到原来的1倍

--------------------->y=sinx)

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如：1=sin?a+cos?a=sec?a-tan2a=tana•cota=cosa,seca=tan—

4

=sin—=cosO=...称为1的代换。

2

“k•巴士a”化为a的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限"，"奇"、

2

“偶”指k取奇、偶数。

如：cos与+tan（|一1）+sin（21n）

又如：函数y=‘ma+tana,则y的值为

cosa+cota

A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值

sina

sina+」

sin2a(cosa+1)、

(丫=cosa—一---------(>0,Va^O)

cosacosa(sina+1)

cosa4-.

sina

31.熟练掌握两角和、差、倍、降塞公式及其逆向应用了吗?

理解公式之间的联系:

sin(a±p)=sinacosp±cosasin0——吃01邛>sin2a=2sinacosa

干邛.>

cos(a±p)=cosacospsinasin0——"aCOs2acos2a-sin2a

tana±tan。

tan(a±0)2cos2a-1=l-2sin2a=>

1+tana•tan。

21+cos2a

Vcosa=-------------

2tana2

tan2a

1-tan2a.1-cos2a

sin2a=-------------

2

b

asina4-bcosa=5/a2+b2sin(a+(p),tan(p=—

a

sina+cosa=V^sin(a+£

sina+V3cosa=2sin[a+；

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数

种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)

具体方法：

(1)角的变换：如甲=(a+B)_a,01；P=,—马-(可一0)......

(2)名的变换：化弦或化切

(3)次数的变换：升、降幕公式

(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知,竺^。・=1,tan(a-p)=-|-,求tan(p-2a)的值。

sinacosacosa,.1

（由已知得:------------=--------=1，・・tana=—

2sina2sina2

_2

又tan(p-a)

-3

2_1

tan(-2a)=tan[(-a)-a]=…a=」)

WP'2P/」l+tan(p-a)-tana"2.18

32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转

化，而解斜三角形?

h2,„2_2

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=>cosA=--------------

2bc

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a=2RsinA

正弦定理：一^―=-^-=-^-=2Ro|b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=­a•bsinC

A△2

VA+B+C=7i,A+B=7i-C

.A+BC

：•sin(A+B)=sinC,sin--=--c--o-s-—

22

A+R

如AABC中，2sin2^^+cos2C=l

2

（1）求向c；

(2)^a2=b2+—,求cos2A-cos2B的值。

2