湖南省怀化市黄茅园镇合田中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省怀化市黄茅园镇合田中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给定下列结论：①已知命题p：；命题q：则命题“”是假命题；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；④函数与函数互为反函数.正确的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略2.如图，在复平面中，复数、分别对应点、，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A3.过曲线，点P的坐标为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝(

).

A.－12

B.

－2

C.

0

D.4参考答案：C5.准线方程为x=3的抛物线的标准方程为

（

）

A．y2=－6x

B．y2=6x

C．y2=－12x

D．y2=12x参考答案：答案：C6.已知集合的二项展开式中存在常数项，则等于（

） A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D7.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（

）A．-5

B．1

C．2

D．3参考答案：D8.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①的定义域是,值域是;②点是的图像的对称中心,其中;③函数的最小正周期为1;④函数在上是增函数.则上述命题中真命题的序号是

（

）A．①④

B．①③

C．②③

D．②④参考答案：B略9.已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则(

)A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）参考答案：C【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．10.执行如图程序框图，若，则输出的S=（

）A．2

B．

C.

0

D．－1参考答案：B若，则：满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，，当时，不满足进行循环的条件，此时输出结果，故选B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有

种.（用数字作答）参考答案：答案：60解析：分2类：（1）每校最多1人：；（2）每校至多2人，把3人分两组，再分到学校：，共有60种12.运行如图所示的程序框图后，输出的结果是参考答案：0【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin周期为8，所以S=sin+sin+…+sin=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．13.执行如图所示的程序框图，输出的S值为．参考答案：7【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=3时，不满足条件i≤2，退出循环，输出S的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，i=1满足条件i≤2，执行循环体，S=3，i=2满足条件i≤2，执行循环体，S=3+4=7，i=3不满足条件i≤2，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．14.在ABC中，，，若（O是ABC的外心），则的值为

。参考答案：略15.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于

．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算及定义、向量的夹角公式即可得出．解答： 解：设2+与﹣的夹角为θ．∵向量=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=2（1，2）+（1，﹣1）=（3，3），﹣=（0，3）．∴（2+）?（﹣）=0+9=9，|2+|=，|﹣|=3，∵（2+）?（﹣）=|2+|×|﹣|×cosθ，∴=．∵θ∈[0，π]，∴．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算及定义、向量的夹角公式，属于基础题．16.已知函数

。参考答案：略17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线E：的焦点到直线l：的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是经过定点的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂心与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．参考答案：解：（1）由题意，，焦点坐标为，由点到直线的距离公式，得或（舍去），所以抛物线的标准方程是．（2）设直线的方程为（），设，，联立得，则，，∴，设，，同理得，则四边形的面积，令（），则，是关于的增函数，故，当且仅当时取得最小值20．

19.已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（1）分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）已知M，N分别是曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P（2cosα，2sinα），则|PM|+|PN|=+，两边平方，即可求|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），普通方程为=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4；（2）设P（2cosα，2sinα），则|PM|+|PN|=+，∴（|PM|+|PN|）2=14+2，∴sinα=0时，|PM|+|PN|的最大值为2．20.（本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，,.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求的前项和.参考答案：21.设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x﹣sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）解法一：证明以，设，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以ex≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a的取值范围；解法二：因为eax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：（x≥0），则f'（x）=x﹣sinx，设φ（x）=x﹣sinx，则φ'（x）=1﹣cosx，…当x≥0时，φ'（x）=1﹣cosx≥0，即f'（x）=x﹣sinx为增函数，所以f'（x）≥f'（0）=0，即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0．

…（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，，所以，…设，则G'（x）=ex﹣x﹣1，设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，当x≥0时g'（x）=ex﹣1≥0，所以g（x）=ex﹣x﹣1为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以ex≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…又x≥0，a≥1时，eax≥ex，所以a≥1时eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…当a＜1时，设h（x）=eax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=aeax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0，所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．…（Ⅱ）解法二：因为eax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）…设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则可求，…所以当a≥1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即eax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1时，eax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即eax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，综上所述，a≥1时，eax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…22.已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．参考答案：【考点】Q4