人教版高中数学选修（2-3）2.1离散型随机变量及其分布列

2.1离散型随机变量及其分布列（第3课时）（冉启阳）

一、教学目标

【核心素养】

通过初步对两点分布、超几何分布的概念及特征的认识，培养学生数据分析,

数学建模以及归纳能力，以此指导解决实际问题.

【学习目标】

熟练掌握分布列的运用.

【学习重点】

1.实际问题到数学问题的划归思想.

2.超几何分布的概率运算.

【学习难点】

1.两点分布、超几何分布题型及解题方法.

2.排列组合思想及概率的加法原则在离散型随机变量分布列中的灵活应用.

二、教学设计

（-）课前设计

1.预习任务

通过前两课时对随机变量概率分布列的学习和习题演练，总结随机变量分布列常

规考题及技巧.

2.预习自测

1.设运动员投篮命中（记为1）的概率为0.8,则他一次投篮时命中次数X的概

率分布列是（）

X01

P0.20.8

解：A

2在一批〃个产品中，有m个次品，从这批产品中任取女个产品，则恰有/个

(.I<m,l<k)次品的概率是()

k

AJc'cn-ni

'~cT

ri「k-i

B~〃一〃?

.c

c,^p-

C：

「m「k—I

D°”

k

■cn

【知识点：超几何分布】

解：B

3.已知10个晶体管中有6个正品和4个次品，现从中任意取出5个晶体管，若

以X表示取出的正品个数，则显然X服从超几何分布，即X~H(n,M,N),则〃,M,N

的值分别为()

A.5,4,10

B.6,5,10

C.4,5,10

D.5,6,10

【知识点：超几何分布】

解：D

(二)课堂设计

问题探究一超几何分布的应用★

例.生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该产品的

准则是：从该产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收

该批产品.问：该批产品被接手的概率是多少？

分析：5箱中不合格的产品的箱数X服从参数为N=50,M=2,〃=5的超几何分布.

被接手的随机变量X<L即可根据超几何分布的运算公式进行计算.

详解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品数

量”，则服从参数为N=50,M=2,〃=5的超几何分布.这批产品被接收的条件是5

箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为

P(X<1)=尸(X=0)+P(X=1)==空.

C50。50245

解题策略：理解接收该产品的要求所包含的信息；将信息转化成随机变量取值；

概率加法原则=P(A)+尸(8)的应用.

问题探求二、离散型随机变量的综合应用▲

1.排列组合在分布列中的应用上

例、一袋子中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是工，现

7

在甲乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，然后乙再取，取后不放回.以此取球

方式进行下去.直到两人中有一人取到白球时即终止.每球在每一次被取出的机会

是等可能的，用J表示取球终止时所需的取球次数.求：

(1)袋中原有白球的个数；

(2)随机变量J的概率分布列；

(3)甲取到白球的概率.

分析：根据题意计数原理可解决概率问题；理清取球的条件是无论甲或乙任一人

取到白球即止.当前4次取球都为黑色之时，剩下全为白球.此时，第5次取球即

为最后可能情况；由于甲先取球，总共白球数量为3.所以甲取到白球的顺序次数

在第1、3、5.

详解：

（1）设袋中原有〃个白球，由题可知，

所以=6.解得〃=3（〃=-2舍去），即袋中原有3个白球.

（2）由题可知，J的可能取值为123,4,5.

P(J=l)=g；

4x32

P"=2)=

7x67

4x3x36

P(4=3)=

7x6x535

4x3x2x33

P(J=4)=

7x6x5x435

4x3x2xlx31

P(J=5)=

7x6x5x4x335

所以取球次数J的分布列为

P(A)=P«=1,3,5)

因为事件*=1","=3"，“J=5”两两排斥,

所以P(A)=P(J=1)+P(4=3)+P"=5)=行.

解题策略：本题结合了概率的乘法、加法原则重点考察了组合及分布计数原理.

在解决该类问题之前需弄清楚这几大原则的使用条件及运算法则.

2.特定的数学关系载体在分布列中的应用▲

载体对象：函数、方程、不等式、立体几何等问题.

例、设。和c分别是先后抛掷的一枚骰子得到的点数用随机变量X表示方程的

/+法+0=0不等实数根的个数，求X的分布列.

分析：随机变量的取值为0,1,2；A=的正负情况的判定.

详解：

由题意可知X的取值为0,1,2.

随机试验的所有可能结果构成的集合为{3,c)W=1,2,3,4,5,6,c=123,4,5,6},元素

总个数为36.

X=0对应的结果构成的集合为{S,c)——4c<02=l,2,3,4,5,6,c=l,2,3,4,5,6},元素

的个数为17个.

X=l对应的结果构成的集合为{S,c),—4c=0力=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6},元素

的个数为2个.

X=2对应的结果构成的集合为(S,c)\b2-4c>0,h=123,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6),元素

的个数为17个.

17117

由此可知，尸(X=0)=—,P(X=1)=—,P(X=2)=—.

故X的分布列为

X012

p17117

36ii36

解题策略：根据一元二次方程判别式对根的个数的判断着手；骰子的总共可能情

况的计数原则；根据分布列求取方法的常规步骤.

3.选取合适的分布列进行解题

例.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲

和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成〃小块地，在总共2〃小

块地中，随机选"小块地种植品种甲，另外〃小块地种植品种乙.假设〃=4,在第

一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列.

分析：根据题意可知随机变量X服从超几何分布且其可能取值是0,1,2,3,

4.根据超几何分布的求法，结合变量对应的事件概率，列出分布列即可.

解：X可能的取值为0,1,2,3,4,

（）

PX=0=^=70

o

P（X=1）=^.=£

C：35

「202io

P（X=2）=-^-=—;

C；35

P（X=3）=誓=*;

P（X=4）=51

70

所以X的分布列为

X01234

p181881

7035353570

解题策略：解决该题的关键点是了解随机变量的取值及那几点可以说明变量服从

超几何分布.

例、已知离散型随机变量X的分布列如下表所示

X=i2457

P（x=i）0.20.30.2a

求：（1）5X+1的分布列；（2）|X-3|的分布列.

分析：由问题不难看出，此题考查的是对第一课时随机变量的概念的认识.尽管

给出了新的变量的与原变量的关系式，但是新变量的取值是与原变量的取值是一

一对应关系.所以试验中新变量取值的发生概率与对应的原变量取值发生的概率

是一样的.另外，|X-3|取得的相同结果对应了两个原变量的取值，所以|X-3|发

生的概率对应了两原变量发生的概率之和.

详解：由分布列的性质可知a=0.3.

（1）5X+1的所有取值为11,21,26,36.

故5X+1的分布列为

5A>111212636

P0.20.30.20.3

(2)囚-3|的所有取值为1,2,4.且

P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=0.5,P(|X-3|=2)=P(X=5)=0.2,P(|X-3|=4)

=p(X=7)=0.3.

故|X-3|的分布列为

X-3|124

P0.50.20.3

解题策略：理解y=a、+“型随机变量变量与原变量的关系.掌握概率加法原则

户(A尸(A)+P(B)的应用.

课堂总结

【知识梳理】

1.超几何分布概率公式P(X=k)=Cy次=0,1,2,…，机的应用.

2.函数、方程、不等式、立体几何等章节为载体的问题，需借助对应章节知识点

分析X分布列.

3.如何选取合适的(满足某些分布列的适用条件)分布列解决实际问题.

【重难点突破】

1.典型的离散型随机变量分布列题型分析及解题策略探究.昌正

2.熟练掌握应用问题转化成离散型随机变量分布列问题的技巧.叵*|

三、随堂检测

1、一批产品共50件，次品率为4%,从中任取10件，则抽的1件次品的概率是

()

A.0.078

B.0.78

C.0.0078

D.0.078

【知识点：超几何分布;数学思想：组合】

解：A

2、从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡片中任取2张，则两

数之和是奇数的概率是.

【知识点：超几何分布；数学思想：组合】

解：-

9

3、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红

球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.

(I)求取出的4个球均为黑球的概率；

(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(III)设J为取出的4个球中红球的个数，求4的分布列.

【知识点：超几何分布，独立事件概率：数学思想：组合】

(I)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2

个球均为黑球”为事件8.由于事件A8相互独立，且P(A)=q=L,

C：2

P(B)=&=2.

c：5

故取出的4个球均为黑球的概率为

P(A")=P(A)・P(8)=gx|=；.

(II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1

个是红球，1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1

个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件。.由于事件C,。互斥，

且P(C)

417

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=/+g=5.

17

(III)解：J可能的取值为0,123.由(I),(II)得PC=0)=y,p^=l)=—9

r]113

=—.从而PC=2)=l_p(J=0)_pe=l)_PC=3)=—.

弟=3)=百*

看的分布列为:

户

­0123

1.731

P

5151030

4、某批产品成箱包装，每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从

每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有。件、

1件、2件二等品，其余为一等品.

【知识点：超几何分布，互斥事件概率；数学思想：组合】

I）用自表示抽检的6件产品中二等品的件数，求自的分布列；

II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，

求这批产品级用户拒绝的概率.

解：(1)4=0,1,2,3

P"=°啥等噎=4

32）啥管+菅得啮

—系得得

所以4的分布列为

0123

924152

P—^―

50505050

15217

⑵「(绊2)=PG=2)+PG=3)=犷犷%

四、课后作业

智能提升

★基础型自主突破

1.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）

A.取到产品的件数

B.取到正品的概率

C.取到次品的件数

D.取到次品的概率

【知识点：离散型随机变量】

解：C

2.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）

A.盒子里有除颜色不同，其他完全相同的红球和白球各5个，从中摸出3个球,

白球的个数X

艮小明回答20道选择题，答对的题数X

C.某人早晨在车站等出租车的时间X

D.某人投篮10次投中的次数X

【知识点：离散型随机变量】

解：C

3.下列变量中，是离散型随机变量的是（）

A.到2013年5月1日止，我国被确诊的爱滋病人数

B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高

C.某人在车站等出租车的时间

D.某人投篮10次，可能投中的次数

【知识点：离散型随机变量】

解：。

4.将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）

A.两次点数之和

B.两次点数差的绝对值

C.两次的最大点数

D.两次的点数

【知识点：离散型随机变量】

解：D

5.一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到

能开锁的钥匙为止，则试验次数1的最大值可能为（）

A.5

B.2

C.3

D.4

【知识点：；离散型随机变量】

解：D

6.抛掷两枚骰子，所得点数之积记为备那么&=4表示的随机试验结果是()

A.2枚都是4点

b1枚是1点，另1枚是4点

C.2枚都是2点

D.1枚是1点，另1枚是4点，或者2枚都是2点

【知识点：离散型随机变量】

解：D

★★能力型师生共研

7.随机变量X的概率分布规律为P(X=〃)=」一(〃=1,2,3,4)，其中。是常数，

1

则

o2p2-

-

-3

-

N

AB.

4

c-

5

5

D-

6

【知识点：分布列性质、互斥事件概率；数学思想：分类讨论】

解：D

8.已知随机变量自的分布列为

12345

P0.10.20.40.20.1

若n=2&—3,则写出n的分布列.

【知识点：离散型随机变量、分布列；数学思想：类比】

【知识点：分布列；数学思想：分类讨论】

解：设自表示取到圆珠笔中的最高标价，4=30,40,50.则有

当4=30,抽取情况：10,20,30.尸4=30)=表=\

当g=40,抽取情况：10,20,40；10,30,40；20,30,4O.P6=4O)=*=历

当J=50,抽取情况：10,20,50；10,30,50；10,40,50；20,30,50；20,

40,50;30,40,50/《=50)="*=|.

其分布列为

二304050

P133

10105

10.已知随机变量G只能取三个值：XI、X2、X3,其概率依次成等差数列，求公

差4的取值范围.

【知识点：分布列性质，等差数列，不等式】

解：设等差数列的公差为

由等差数列性质可知2P(无2)=P(x,)+P(x.).

由分布列的概率性质可知P(x2)+)+P(&)=1.

于是有P(九2)=；，l>P(x,)=P(x2)-d=^-d>0,

1>P(x3)-P(x2)+d=^+J>0,l>^+J>0.

因止匕，——.

33

★★★探究型多维突破

11.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取

到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.

(1)求得分X的概率分布列；

⑵求得分大于6分的概率.

【知识点：超几何分布；数学思想：分类讨论】

解：(1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四

种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.

尸(X—7)—7-35'

c?cqi

P(X=8)="CF=35-

故所求分布列为

X5678

418121

P35353535

(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为：尸(X>6)=P(X=7)

12113

+P(X=8)=4+4=*

12.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品

50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别

为6万元、2万元、1万元，而1件次亏损2万元.设1件产品的利润(单位：万

元)为自，求&的分布列.

【知识点：超几何分布；数学思想：分类讨论】

解：自的所有可能取值有6,2,1,-2.

P(g=6)=^J=0.63,P(1=2)=^J=0.25,

P化=1)=券=01，尸危=.2)=就=0.02,

621-2

P0.630.250.10.02

故t的分布列为

六、自助餐

1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回

抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量号则匕所有可能

取值的个数是（）

C.10

D.25

【知识点：离散型随机变量；数学思想：分类讨论】

解：B

X01

P9c2-c3—8c

2.若离散型随机变量X的分布列为：——--------------

则常数c的值为（）

2-1

A热

B.|

C.1

【知识点：两点分布】

解：C

3.①某座大桥一天经过的车辆数为自

②某无线电台一天收到的寻呼次数为匕

③一天之内的温度为匕

④一射手射击，击中目标得1分,未击中目标得。分，用自表示射手一次射击中的得

分.

上述问题中的《是离散型随机变量的是（）

A.①②③④

B.①②④

C.①③④

D.②③④

【知识点：离散型随机变量】

解：B

4.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，现从中任选10个村庄，用《表示这10个

村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于士奈的是（）

C15

A.P（片2）

B.P（区2）

C.P（&=4）

D.P（於4）

【知识点：超几何分布】

解：C

5.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，

抽取次数为X,则X=3表示的试验结果是.

【知识点：超几何分布】

解：X=3表示前2次均是正品，第3次是次品.

6.在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答

不正确得一100分，则这名同学回答这三个问题的总得分1的所有可能取值是

【知识点：离散型随机变量】

解：300,100,-100,-300

7.甲进行3次射击，甲击中目标的概率为多记甲击中目标的次数为X,则X的

可能取值为.

【知识点：离散型随机变量】

解：0,1,2,3.

8.设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

求2X+1的分布列.

【知识点：离散型随机变量的拓展，分布列】

解：由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+w=l,：,m=0.3.

首先列表为：

X01234

2X+113579

从而由上表得2X+1的分布列:

2X+113579

P0.20.10.10.30.3

9.小王钱夹中只剩有50元、20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决

定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,

并说明所取值表示的随机试验结果.

【知识点：离散型随机变量；数学思想：分类讨论】

解:X的可能取值为6,11,15,21,25,30,51,55,60,70淇中,X=6,表示抽到的是1

元和5元；X=ll,表示抽到的是1元和10元；

10.数字123,4任意排成一排，若数字%恰好出现在第女个位置上，则称为一个

巧合，求巧合个数自的分布列.

【知识点：分布列应用；数学思想：分类讨论】

解：自取值为0,1,2,3,4.&=0,没有巧合，若1—2—3-4为四个数都巧合，则没

有一个巧合的情况有以下几种：