常微分方程数值解法省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第九章常微分方程数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/本章主要介绍一阶常微分方程初值问题数值解法。

初值问题及其数值解概念§1引言惯用一些解析解法：常数变易法、Lapalace变换等分离变量法、变量代换、一阶常微分方程初值问题：1/55对于初值问题，假如在以下区域内连续：（解存在唯一性）且关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使则初值问题存在唯一解，且解是连续可微。所谓数值解是指：在解存在区间上取一系列点逐一求出近似值等距节点：步长2/55

初值问题解析解及其数值解几何意义：初值问题解表示过点一条曲线初值问题数值解表示一组离散点列可用拟合方法求该组数据近似曲线积分曲线3/55§2Euler方法

Euler方法导出将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式为向前Euler公式。4/55若将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式为向后Euler公式。向后Euler公式为隐式格式，需要利用迭代法求解5/55解：向前Euler公式：例1：分别利用向前和向后Euler方法求解初值问题数值解（取步长为）向后Euler公式：详细计算结果见教材表9.2.1。6/557/55

常微分方程数值解法稳定性设一个数值方法以定步长求解试验方程得到线性差分方程解。当初，若，则称该方法对步长为绝对稳定；不然称为不稳定。将数值方法应用于试验方程，若对一切都是绝对稳定，则称区域为该方法绝对稳定域。上述定义表明，若数值方法可使任何一步产生误差在后面计算中都能逐步减弱，则该方法为绝对稳定。8/55比如，对于向前Euler法：将其应用于试验方程当时，误差将逐步减弱，故此时方法稳定。向前Euler法绝对稳定域：当因有误差变为时，则有9/55

单步方法局部误差和阶单步法普通形式隐式单步法通常称为增量函数显式单步法设是准确，用某种方法计算时产生截称为某方法在点整体截断误差断误差，称为该方法局部截断误差，即10/55其中为自然数，则称该方法是阶或含有阶精度。假如给定方法局部截断误差为假如一个阶单步方法局部截断误差为则称为该方法局部截断误差主项。如向前Euler方法局部截断误差一阶方法11/55

Euler方法误差分析对初值问题中微分方程两端在区间上积分假如用左矩形公式计算右端积分，并令其中上述等式中假如用代替，即得向前Euler格式。其局部截断误差为12/55设关于和均满足Lipschitz条件，即和13/55其中而整体截断误差为14/55注意到15/55对于初值问题，假如关于满足（向前Euler方法整体截断误差）Lipschitz条件，为对应Lipschitz常数，当时，向前Euler方法数值解一致收敛于初值问题准确解，且整体截断误差满足预计式假如，Euler方法整体截断误差为16/55一、Runge-Kutta方法基本思想§3龙格-库塔（Runge-Kutta）方法显式单步法普通形式：R-K方法是利用一些点线性组合结构增量函数，使得对应方法局部截断误差阶数尽可能高。

二阶Runge-Kutta方法确定参数，使得与在点Taylor展开式有尽可能多相同项。17/55比较两式相同项得方程组有没有穷多解18/55若取其一组解则得到改进Euler公式（二阶方法）若取其另一组解则得到二阶Heun（休恩）公式（见教材）。19/55二、显式Runge-Kutta方法及其稳定性和设是一个正整数，代表使用函数值个数，是一些特定权因子（均为实数），则称以下方法（公式）为初值问题m级显式Runge–Kutta公式，其中20/55类似前面处理方法，能够得到四级方法：m=4局部截断误差最惯用一个四阶方法：经典显式Runge-Kutta公式21/55解：例2：用经典四阶Runge-Kutta方法求解以下初值问题。经典四阶Runge-Kutta公式：22/5523/5524/55注：

对于显式N级R-K方法，最多只能得到N阶方法。

上述方法缺点：计算非常复杂。

可经过积分方法确定参数。例2：确定以下三级三阶显式Runge-Kutta公式中参数：解：对微分方程两边积分得25/55采取Simpson公式计算上式右端积分项可设参数则有选择剩下参数，使得26/55取27/5528/55取利用Taylor展开式29/55代入当时，30/55例3：求经典四阶R-K方法绝对稳定域。解：31/55其绝对稳定域为三、隐式Runge-Kutta方法m级隐式R–K方法普通形式其中系数确实定方法同显式R–K方法完全类似32/55(1)一级二阶隐式中点方法：(2)二级四阶隐式R-K方法：N级隐式R-K法能够到达2N阶缺点：需要求解非线性方程（组）33/55一、k步线性多步法§4线性多步法与预估-校正格式/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/所谓线性多步法，指是某一步解公式不但与前一步值相关，而且与前面若干步解值相关方法。对初值问题两边积分得34/55将换为节点取节点，结构q+1个点Lagrange插值多项式：

多步显式公式35/55其中记若函数值已知，则得r+1步显式方法36/55如时，可得二步显式阿达姆斯（Adams）格式其中37/55

Adams显式公式局部截断误差：由Lagrange插值余项知其中（第二积分中值定理）q+1阶方法38/55取节点，结构q+1个点Lagrange插值多项式：

多步隐式公式39/55其中记则得到r+1步q+1阶隐式方法如时，可得二步隐式阿达姆斯（Adams）格式梯形公式40/55

惯用一个预报-校正公式：四阶Adams预报-校正公式：（显式）（隐式）初始迭代值由4阶R-K方法计算41/55例4：用Adams预报-校正公式求解以下初值问题。解：Adams预报-校正公式：42/55R-K方法Adams预-校法准确解011.00000000000.11.0954461.09544511530.21.183217131.2649121.26491106400.41.34164135711.34164078640.51.41421383341.41421356230.61.48323982421.48323969740.71.54919338041.54919333840.81.61245153641.61245154960.91.67331999931.6733301.01.73205071981.732050807543/55一、单步法收敛性/*ConvergenceofOnestepMethod*/§5理论分析显式单步法普通形式引理9.5.1设为实序列，满足其中，则44/55对于单步法，假如局部截断误差满足则称格式为阶相容。设显式单步法中增量函数满足其中且格式阶收敛，即局部截断误差为则该单步法是收敛，即为某正常数45/55证实：由格式阶相容得定义由引理9.5.1得46/55二、稳定性/*Stability*/对应于常微分方程残量算子定义为对应于格式残量算子为假设常微分方程连续解为，而数值解为在格点上满足以下关系式点列47/55则对局部截断误差为单步法有其中若存在，使得对任意网格点上取值向量，有（其中为充分小网格尺度，是给定初始向量）则称该单步法是稳定。48/55上述定义思想：对于无误差扰动差分格式真实计算中实际为当时，小扰动下计算解