高三数学第二轮复习数学资料-45分基础送分题

层级一145④的基础送分题练中自检，无须挖潜

——为攻克后面的难点、盲点留足复习时间

［编排设计图解］共设计6个送分〃题

送分专题（一）集合与常用逻辑用语

这6个专题在高考考查中较为简单，题型多为选择、填空题,

送分专题（二）平面向量属送分题型.通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握.为节省宝

送分专题（三）不等式贵的二轮复习时间，本部分以练代讲，以练促学.在练中抓牢基

送分专题（四）空间几何体的三视图、表面积与体积础题型，在练中提升解题速度和准度，确保送分题一分不丢.

送分专题（五）算法、复数、推理与证明教学建议：课堂练通考点，课下练“12+4”小题的解题速度，

送分专题（六）统计与统计案例学生自学为主，教师适当点评.

送分专题（一）集合与常用逻辑用语

［全国卷3年考情分析］

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

卷集合的交、并集运算

I1.集合作为高考必考内容，多年来命题

卷口集合的并集运算

较稳定，多在第1题的位置以选择题形

2017

集合的表示、集合的交集运式进行考查，难度较小，命题的热点依

卷in

算F然会集中在集合的运算上，常与不等式

卷I集合的交集运算结合命题.

2016卷口集合的交集运算2.高考对常用逻辑用语考查的频率较

卷田集合的补集运算低，且命题点分散，其中含有量词的命

集合的表示、集合的交集运题的否定、充分必要条件的判断需要关

卷I

2015算F注，多结合函数、平面向量、三角函数、

卷口集合的并集运算不等式、数列等内容命题.

考点一,集合的概念及运算

［题点•考法・全练］

1.(2017•全国卷口)设集合Z={1,2,4},3={x|f-4x+m=0},若2门3={1},则B

=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C,{1,3}D.{1,5}

解析：选C因为403={1},所以1€瓦所以1是方程f-4x+m=0的根，所以1

—4+zn=0,m=3,方程为V—4x+3=0,解得x=l或x=3,所以3={1,3}.

2.（2018届高三・安徽名校阶段测试）设Z={x|V—4x+3<0},B=

{x|ln（3—2勾VO},则图中阴影部分表示的集合为（）

|33

ASxx<~»B."xkF]

C…三”Dx%<3

解析：选BA={x|幺-4x+3«0}={x|l<x«3},B={x|ln(3-2勾<0}={x|0<3-2A<1}

33

XIV/5卜结合Venn图知，图中阴影部分表示的集合为4门3=X1<X<T

2

3.（2017,全国卷DI）已知集合4={（x,则幺+/=1},3={（x,则尸x},则ZCI与中元

素的个数为（）

A.3B.2

C.1D.0

解析：选B因为4表示圆d+/=l上的点的集合，8表示直线尸x上的点的集合，

直线尸x与圆？+/=1有两个交点，所以4A刀中元素的个数为2.

4.已知集合P={n\n=2k-1,皴N*,1<50},Q={2,3,5},则集合T={xy\x^P,y

CQ}中元素的个数为（）

A.147B.140

C.130D.117

解析：选B由题意得，y的取值一共有3种情况，当尸2时，孙是偶数，与y=3,y

=5时，没有相同的元素，当尸3,x=5,1525,…，95时,与尸5,x=3,9」5,…,57时

有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3X50-10=140.

1

5.已知集合力=-1,"\B={x|znx—1=0,R},若则所有符合条件

的实数m组成的集合是（）

1

A.{-1,02}B.0,1-

1

c.{-1,2}D.-1,0,--

解析：选A因为4nB=8,所以匹4若8为0,则m=0；若B#。，则一切一1=

1

0或5。-1=0,解得m=-l或2.综上，小6{—1,02}.

［准解•快解•悟通］

1.看到集合中的元素，想到代表元素的意义；

看到点集，想到其对应的几何意义.

快审题2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴

求解交、并、补集等；看到gN,想到集合

"可能为空集.

1.记牢集合的运算性质及重要结论

⑴4U/=/,AUe>=A,

(2)AQA=A,AC］e>=0,

(3)4n(［必)=。,^U(CuA)=U.

2.活用集合运算中的常用方法

准解题⑴数轴法：若已知的集合是不等式的解集，

用数轴法求解.

⑵图象法：若已知的集合是点集，用图象法

求解.

(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用

Venn图法求解.

1.在求集合的子集时，易忽视空集.

2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集

避误区

合中元素的互异性，否则很可能会因为不满

足“互异性”而导致解题错误.

考点二充分与必要条件的判断

[题点•考法•全练]

1.（2017•天津高考）设xWR,则“2—x>0"是的（）

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B由2—x»0,得x42,

由得0<x<2.

0<x<2^x<2,x<2=>/0<x<2,

故"2-x>0"是的必要而不充分条件.

2.（2017-惠州三调）设函数尸=4匈，x€R,"严=|《必是偶函数”是“尸侬的图象关

于原点对称”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：选c设a=九尸|的|是偶函数，但是不能推出尸《勾的图象关于原点对

称.反之，若尸侬的图象关于原点对称，则尸侬是奇函数，这时尸I侬I是偶函数，

故选C.

3.（2017•浙江高考）已知等差数列｛吗的公差为《前〃项和为兄,则“冷0”是"国

+就>2国”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C因为｛4｝为等差数列，所以£+£=4药+6d+6药+15d=104+21”国=10a

+20J,S4+S6-2S5=d,所以冷00£+£>2&

3

4.已知是B—<r的充分不必要条件，则A的取值范围是（）

X-V1

A.[2,+oo）B.[1,+oo）

C.（2,+oo）D.（-oo,-1]

33—x+2

解析：选A由工<1,可得工T=—TT<°，所以KT或X>2,因为“x>/是

X十1X十1X十1

3

“F<i”的充分不必要条件，所以

X+1

5.已知条件p：x+尸-2,条件q：x,了不都是一1,则p是9的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A因为p：x+尸一2,q:x*=-1或尸一1,

所以㈱p：x+y=-2,q：x=-1且尸一1,

因为㈱尸㈱p但除尸/㈱q,所以第g是的充分不必要条件，即p是g的充分不

必要条件.

［准解•快解•悟通］

看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式（即判定命题"条件=>

快审题结论"和"结论=条件”的真假），下结论（若“条件=结论”为真，且

“结论"条件”为假，则为充分不必要条件）.

等价转化法妙解充分与必要条件判定题

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题

用妙法进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“k1”是

“x去1或产1”的某种条件，即可转化为判断"x=l且尸=1"是"xy

=1”的某种条件.

“4的充分不必要条件是"是指8能推出4且4不能推出邑而“小

避误区

是方的充分不必要条件”则是指/能推出瓦且8不能推出A

考点三命题真假的判定与命题的否定

［题点•考法・全练］

1.下列命题中为真命题的是（）

A.命题“若x>l,则父>1”的否命题

B.命题“若x>y,则x>0”的逆命题

C.命题“若x=l,则2=0”的否命题

D.命题“若tanx=小，则的逆否命题

解析：选B对于选项A,命题“若x>l,则$>1”的否命题为“若x<l,则，

易知当x=-2时，9=4>1,故选项A为假命题；对于选项B,命题“若x>y,则x>\y\n

的逆命题为“若X>|川，则,分析可知选项B为真命题；对于选项C,命题“若X

=1,则V+x—2=0"的否命题为“若x于1,则V+x—2r0”,易知当x=-2时，d+x

-2=0,故选项C为假命题；对于选项D,命题“若tanx=S，则x=；”为假命题，故其

逆否命题为假命题，综上可知，选B.

2.（2015•全国卷I）设命题p:m〃6N,">2",则㈱0为（）

A.VZJ€N,n2>2flB.3n€N,

C.Vn€N,ri<2°D.3n€N,"=2"

解析：选C因为七x6M,以药”的否定是“Vx£M,㈱以为”，所以命题力nW

N,4>2”的否定是"Vn€N,"《2”.

3.（2017•山东高考）已知命题p：Vx>0,ln（x+l）>0；命题q：若苏>几则才）".下列命

题为真命题的是（）

A.pAqB.pt\辘：q

C.糠p/\qD.糠p人编q

解析：选B当x>0时，x+l>l,因此ln（x+l）>0,即p为真命题；取a=l,b=-2,

这时满足a>b,显然才〉"不成立，因此g为假命题.由复合命题的真假性，知B为真命题.

［准解•快解•悟通］

1.看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性.

快

2.看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要

审

改变的两个地方.

题

3.看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义.

掌握判定命题真假的4种方法

⑴一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.

⑵四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题

准的真假无关.

解

⑶形如pVg,pAq,第0命题的真假根据真值表判定.

题（4）全称命题与特称命题的真假的判定：

①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合〃中的每一个元素X验

证以药成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；

②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合〃中至少能找到一个元

素与，使得以厮）成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.

[专题过关检测]_____________________________________________

一、选择题

1.(2016•全国卷n)已知集合4={12,3},B={x|(x+1)•(x-2)<0,x€Z},则4UB

=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,123}D.{-1,04,2,3}

解析：选C因为B={x|(x+l)(x-2)<0,X€Z}={X|-1<JS：2,X€Z}={0,1},A=

{123},所以4UB={0,123}.

2.(2017•成都一诊)命题“若则a+c>b+c”的否命题是()

A.若则a+c<6+cB.若a+c<6+c,则

C.若a+c>h+c,则a>bD.若ai>b,则a+c<b+c

解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为

“若a<b,则a+c<Z>+c.

3.(2017•广西三市第一次联考)设集合4={x[8+2x-f>0},集合B={x|x=2n-l,n

€N*},则/D3等于()

A.{-1,1}B.{-1,3}

C.{1,3}D.{3,1,-1)

解析：选C-：A={x\-2<x<4},B={1,3,5,­••},

.•.4门8={1,3}.

1

4.(2017•郑州第二次质量预测)已知集合4={幻1。a乂<1},5=G->1k则4n([

㈤=()

A.(-oo,2]B.(0,1]

C.[V]D.(2,+oo)

解析：选C因为A={x|0<x<2},B={X|0<A<1},所以4n(C0=

{x[0<x<2}D{x|x<0或l}={x|l<x<2}.

5.(2017•北京高考)设m,〃为非零向量，则”存在负数4,使得是•n<0”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选Am—Xn,.'.m-n—Xn-n=X\n\2.

二.当2<0,n=^0时，zn♦zz<0.

反之，由zn•Z2=|zn|lalcos<zn,n><0<=>cos<zn,n><0<=><zn,n>€I—>兀，

当〈m,ti>eQ,n)时，m,A不共线.

故"存在负数九使得是的充分而不必要条件.

6.(2018届高三•湘中名校联考)已知集合/={x|/-llx-12<0},8={X|X=2(3A+1),

ZJCZ},则4nB等于()

A.{2}B.{2,8}

C.{4,10}D.{2,4,8,10}

解析：选B因为集合4={XH-11X—12<0}={X|-1VX<12},集合B为被6整除

余数为2的数.又集合A中的整数有0,123,4,5,6,7,8,9,10,11,故被6整除余数为2的数有2

和8,所以4nB={2,8}.

7.(2017.石家庄调研)设全集£/=R,集合/={x|x>l},B={x|(x+2)(x—l)<0}^J()

A.Ar\B=e>B.AUB=U

C.CuBQAD.CuA^B

解析：选A由(x+2)(x-l)〈0,解得一2VA<1,所以B={X|-2<A<1},则4nB=。，

A\JB={x\x>—2},CIJB={X\X>\或x4—2},AQCyB,CuA={x\x<l},BQQ/，故

选A.

1f111

8.若xCA,则一€4,就称/是伙伴关系集合，集合知='-1,0,1,2,3,4

XJZJ

的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()

A.15B.16

C.28D.25

解析：选A本题关键看清一1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由一1,1,3和

11

2和5这“四大"元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15.

11

9.(2017•郑州第一次质量预测)已知命题p:->》命题g:Vx€R,"+1>0,则

a4

p成立是g成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A命题p等价于0<a<4.命题g,对Vx€R,戒+公+1>0,必有a=0或

fa>0,

\则0<姓4,所以命题p是命题g的充分不必要条件.

10.已知侬=3sinx—7tx,命题p：VI0,~I,式为〈0,则（）

A.p是假命题，辘Jp：V(

,《勾》0

I，代)>0

B.p是假命题，糠p：3与€

）,伞））>0

C.p是真命题，㈱p:3

D.p是真命题，㈱pVxQ11,侬＞0

解析：选C因为，(因=3cosx一兀，所以当2J

时，/③<0,函数的单调递减，即对VxW。，胃，(勾<<0)=0恒成立，所以P是真

命题.而。的否定为m题e(o,3,《切,0,故选C.

11.已知命题p：函数《勾二2"2-x—l在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数尸幺-,

在(0,+2上是减函数.若p且为真命题，则实数a的取值范围是()

A.(1,+8)B.(-8,2]

C.(V]D.(-8,1]U(2,+00)

解析：选C由题意可得，对命题P，令<0)•41)<0,即一1•(2a-2)<0,得Al；对

命题g,令2-K0,即A2,则g对应的a的范围是(-8,2],因为p且第q为真命题，

所以实数a的取值范围是(12.

12.在下列结论中，正确的个数是()

①命题p:匕』€R,舄―2>0”的否定形式为㈱尸："VxWR,野一2<0”；

②。是△4BC所在平面上一点，若苏•~OB=~OB■~OC=~OC■~OA,则。是△48。

的垂心;

③«M>N是“©”>饮的充分不必要条件;

④命题“若3x—4=0,则x=4”的逆否命题为“若旷4,则3x—4羊0”.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C由特称（存在性）命题与全称命题的关系可知①正确.

•：~OA•~OB=~OB•~OC,

：.~OB•(OA-~6C)=G,即方•~CA=0,

：.~OBV~CA.

同理可知示_|_友\~OCLBA,故点。是△4BC的垂心，，②正确.

|｝是减函数,

（|卜吩,当鼾仔时,M<N.

当〃>N时,

2

“M>N是的既不充分也不必要条件，，③错误.

由逆否命题的写法可知，④正确.

正确的结论有3个.

二、填空题

13.设命题p：Va>0,aXl,函数侬=k—x—z有零点，则㈱p：

解析：全称命题的否定为特称（存在性）命题，p：3*0,物去1,函数而=宓-x-

的没有零点.

答案：3为>0,%*1,函数侬=/-x一阳没有零点

14.设全集C7=｛（x,力|xWR,”R｝,集合上｛x,y^-=11,P=｛（x,则产x

+1｝,则C.

解析：集合"A^={(x,则尸x+1,且k2,尸3},

所以MJP={(x,力|x€R,y€R,且xR2,尸3}.

则C从MU乃={(2,3)}.

答案：{(2,3)}

X

15.已知命题p：不等式口<0的解集为{x［O<x<l};命题g:在△4BC中，

是“sin/>sin"成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p真g假；②"pAg”为真；

③为真；④?假g真，其中正确结论的序号是________.

解析：解不等式知，命题p是真命题，在△48。中，"/是"sin/Asin*的充

要条件，所以命题g是假命题，所以①③正确.

答案：①③

16.a,b,c为三个人，命题4”如果6的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命

题"如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则2,6,c的年龄由小到

大依次是_______.

解析：显然命题/和3的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来

看.

由命题4可知，当6不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命

题也为真，即“若2的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>2>C.

同理，由命题B为真可得a>c>b或b»c.

故由4与8均为真可知6>a>c,所以2,b,c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之,

C最小.

答案：c,a,b

送分专题(二)平面向量

［全国卷3年考情分析］

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

卷I向量的垂直、向量的坐标运算-Ti3

1.平面向量是高考必考内容，每年每卷

平面向量数量积的运算、向量垂直的

2017卷口均有一个小题(选择题或填空题)，一般

判断

出现在第2~6或第13-15题的位置

卷m两向量垂直、向量的数量积•

上，难度较低，主要考查数量积的运

向量的坐标运算、向量垂直的性

2016卷I算、线性运算、两向量垂直与平行、

质

卷n向量共线的应用-Tis坐标运算等，数量积是其考查的热点.

卷I向量的坐标运算2.有时也会以平面向量为载体，与三角

2015函数、解析几何等其他知识相交汇综

卷口向量的坐标运算

合命题，难度中等.

考点一V平面向量的概念及线性运算

V

［题点-考法•全练］

1.（2017•贵州适应性考试）已知向量/与心不共线，且向量48=6+功0,AC=n^

+0，若Z,B,C三点共线，则实数m,刀满足的条件是（）

A.mn=lB.mn=­1

C.zn+n=lD.zn+n=­1

解析：选A法一：因为A,B,C三点共线，所以一定存在一个确定的实数心使得石

=JtAC,所以有ei+m0=zUo+3,由此可得所以mn=L

[m=4,

1m

法二：因为4，B,C三点共线，所以必有一=彳,

n1

所以Z2M=1.

2.如图所示，下列结论正确的是（）

_>33—>3―>31

①PQ=y+0；②PT=；a-b；③PS=于一中;

A.（D@B.③④

c.(D@D.(2X3)

33

解析：选C①根据向量的加法法则，得》=于+于，故①正确；②根据向量的减法

—>33—>—>—>3331

法则，得一次故②错误；③网=PQ+QS=5a+?-26=yFb,故③正确;

3331

®PR=PQ+QR=p+-6—6=-a+-Z>,故④错误.故正确命题的结论为①③.

―>—>—>|AB|

3.已知平面内不共线的四点O,4,8,C,若04—3OB+2OC=0,则=^-=.

\BC\

解析：由已知得后:一言=2(而一西，即京=2万,

_>_>\'AB\

：.\BA\=2\CB\,：.--=2.

答案：2

m

4.已知.，,是不共线向量，w=me+2%,b=萌一%,且皿KO,若allb,则一等于

n

解析：'.'allb,a—Xb,即/72.+2/=4(〃6一

Xn—m,m

则解得_=_2.

T=2,n

答案：一2

［准解•快解•悟通］

1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则.

快审题

2.看到向量平行，想到向量平行的条件.

1.掌握平面向量线性运算的2种技巧

(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运

用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算.

⑵在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两

向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当6Ko时，存在唯一实

数4,使得2=4e来判断.

2.记牢向量共线问题的4个结论

准解题

⑴若a与6不共线且则2=/z=0.

⑵直线的向量式参数方程，A,P,8三点共线O3=(1一。•万才+而(O为平

面内任一点，r€R).

(3)~0A=i0B+^0C(X,〃为实数)，若/,B,。三点共线，则4+〃=1.

与

⑷若a=(xi,jj),b=(x,yj,则all扶”m=秘，当且仅当时，all*>—=

2x2

工

yi

考点二平面向量的数量积

［题点-考法-全练］

1.已知向量切=(-1,1),/3=(H-2,2),若(m+力)_L(m—A),则胃()

A.0B.-3

C.3D.-1

解析：选B法一：由(m+z2)_L(m—功可得(m+n)♦(m—A)=0,即£=",故(-1产+

1=(62)2+4,解得胃一3.

法二：m+n=(2H-3,3),m—n=(―1,—1),*/(zn+ii)J_(zn—n),/.一(2H-3)—3=0,

解得胃一3.

2.(2017•洛阳统考)已知向量a=(l,0),|b|=、/5,a与6的夹角为45°,若c=a+b,

d=z-b,则c在，方向上的投影为()

C.1D.-1

解析：选D依题意得|a|=l,a-b—1X^2Xcos45°=1,|d\=[—a-b~=

N才+Z?-2a-b=l,c*d=孑一"=一1,因此c在d方向上的投影等于三[=一1.

v\d\

3.已知向量a=(2,1),b=(l,与，且2与b的夹角为锐角，则实数4的取值范围是()

A.(—2,9B.(一2‘同’+8)

C.(-2,+oo)D.[-2,+OO)

1

解析：选B当为6共线时，2A—1=0,k=3,此时为b方向相同，夹角为0,所以

1

要使a与6的夹角为锐角，则有a・6>0且26不共线.由a”=2+狂0得狂一2,又任亍

即实数左的取值范围是(一2,；)ug,+8),选B.

4.(2017•全国卷I)已知向量％6的夹角为60°,|旬=2,|切=1,则|2+26|=.

解析：法一：易知|a+2bl=N|2/+4a•6+4|6，=4+4X2Xlx；+4=2小.

法二：（数形结合法）由|a|=|2b|=2,知以2与2b为邻边可作出

边长为2的菱形O4CB,如图，则|a+2b|=|友|.又N423=60°,

所以|什26|=2动.

答案：273

5.（2017•山东高考）已知自，Q是互相垂直的单位向量.若、61一？与1+4/的夹角为

60°,则实数4的值是________

解析：因为一女二生一』十色一=玲,

H3e［一%|・|6+短|2勺1+"

1乖

故沂h5'解得43・

答案:平

［准解•快解•悟通］

1.看到向量垂直，想到其数量积为零.

快审题

2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.

两个向量夹角的范围是［0,可，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个

避误区向量夹角可能是0或兀的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求

其数量积小于零，还要求不能反向共线.

平面向量在几何中的应用

［题点•考法•全练］

1.在△ABC中，ZASC=90°,43=6,点。在边4c上，S.2AD=~DC,则京•~BD

的值是（）

A.48B.24

C.12D.6

解析：选B法一：由题意得，~BA­~BC=0,~BA-~CA='BA■(BA-BQ=\1BA\2

—>—>—>—>—>—>(—>2—>]2

=36,BA•BD=BA•(BC+CD)=BA-ICAl=0+-X36=24.

法二：（特例法）若△ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直

角坐标系，则4（6,0）,Q0,6）.

由2而=/，得。（42）.

.--'BA■说=（6,0）•（40=24.

2.如图所示，已知点G是△4BC的重心，过点G作直线与AB,AC

两边分别交于MN两点，且HAf=x4B,AN=yAC,则x+27•的最小

值为(

1

2B-

A.3

3

D

Z-

解析：选c

iiiifin

G,N三点共线，故短=1,.・・；+1=3,则X+2T=(X+2J).；+；.

nyxvyj

产（当且仅当许收时取等号）.

3.（2017•全国卷口）已知△43C是边长为2的等边三角形，?为平面48C内一点，则

~PA•（石+定）的最小值是（）

3

A.-2B--2

4

C--3D.-1

解析：选B如图，以等边三角形的底边3c所在直线为x轴,

以的垂直平分线为了轴建立平面直角坐标系，则/（0，S），B（—1，°），

6（1,0）,设牛，力，则/=（一与疡=（一1一与一另，~PC=

(1-x,-y),所以京.(PS+7?)=(-x,•(-2x,-2y)=2^+

当x=0,尸当时，~PA•(石+¥?)取得最小值，为一|.

4.如图，已知△ABC中，N34C=90°,25=30°,点P在线段

上运动，且满足苏=4屈，当京•元取到最小值时，4的值为

()

11

A2

1

解析：选D如图所示，建立平面直角坐标系.不妨设BC=4,

取0)(0«*<4),则4(3,仍)，C(4,0),AP4•~PC=(3-x,仍)•(4

O(B)

-^0)=(3—^(4—^=1?—7jr+12=

7—>—>1

当x=彳时，PA•尸C取得最小值一7

・；0=后，。卜(—4,0),

11

.*.-42=--,解得4=占故选D.

Zo

5.如图，在平行四边形48co中，已知4B=8,40=5,~CP=3PD,

~AP­~BP=2,则万•后的值是________

---->---->---->---->1---->

解析：因为4P=4?+。尸=&?+[40,

~BP^BCVCP=AD-^AB,

—>—>(—»1—(—»3—

所以/p.BP=\AD+-AB\-\AD--AB\=

|AD|2-^|AS|2-1AB■