广东省2021年数学中考真题（含答案解析）

2021年广东省初中学业水平考试

数学

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1.（2021广东中考，1,3分，★☆☆）下列实数中，最大的数是（）

A.nB.V2C.|-2|D.3

2.（2021广东中考，2,3分，★☆☆）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、

市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示

为（）

A.0.510858X109B.51.0858X107

C.5.10858X104D.5.10858x10s

3.（2021广东中考,3,3分，★☆☆)同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为7的概

率是（）

1111

A.—B.-C.一D.-

12632

则32*3”=()

4.（2021广东中考,4,3分，★☆☆)已知9"'=3,27"=4,

A.1B.6C.7D.12

5.（2021广东中考,5,3分，★☆☆)若I。-g1+{9a*-I2ab+4b*=0,则ab=()

7.（2021广东中考,7,3分，★☆☆）如图，AB是。。的直径,点C为圆上一点，AC=3,/43C的平

分线交AC于点。，CZ）=1,则。。的直径为（）

A.V3B.2V3C.1D.2

8.（2021广东中考，8,3分，★☆☆）设6-M的整数部分为。，小数部分为b,则（2。+亚）匕的值

是（）

A.6B.2丽C.12D.9V10

9.（2021广东中考，9,3分，★☆☆）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，

此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记p=”|”，

则其面积S=Jp（p—d）（p—b）（p—c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三

角形面积的最大值为（）

A.75B.4C.275D.5

10.（2021广东中考，10,3分，★★☆）设。为坐标原点，点A、B为抛物线y=/上的两个动点，且OA

±OB.连接点A、B,过。作OCLAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

1V2V3

A.-B.C.D.1

222

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.

fx+2y=—2

11.（2021广东中考，11,4分，二元一次方程组1的解为_____________.

2x+y=2

12.（2021广东中考，12,4分，☆，把抛物线y=2?+l向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位

长度，得到的抛物线的解析式为.

13.（2021广东中考，13,4分，★☆☆）如图，等腰直角三角形A8C中，ZA=90°,BC=4.分别以点B、

点C为圆心，线段8c长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点。、E、F,则图中阴影部分的面积

为.

14.（2021广东中考，14,4分，★☆☆）若一元二次方程/+6x+c=0（b,c为常数）的两根xi,%2满足-

3<xi<-1,1<X2<3,则符合条件的一个方程为

I13I

15.（2021广东中考，15,4分，★★☆）若x+—=—且OCxVl,则/-=.

x6x

4

16.（2021广东中考，16,4分，★★☆）如图，在uABCZ）中，AQ=5,AB=12,sinA=-.过点。作。E

5

■LA8,垂足为E,则sin/BCE=____________________.

17.（2021广东中考，17,4分，在AABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=3.点。为平面上一个

动点，ZADB=45°,则线段CD长度的最小值为

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

f2尤—4）3（%—2）

18.（2021广东中考，18,6分，★☆☆）解不等式组,14x-r7-

19.（2021广东中考，19,6分，★☆☆）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样

的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图:

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.

20.（2021广东中考，20,6分，★★☆）如图，在RtaABC中，ZA=90°,作BC的垂直平分线交AC于

点。，延长4c至点E,使CE=AB.

(1)若AE=1,求△A8。的周长；

(2)若A£)=1B。，求tan/ABC的值.

3

四、解答题(二)：(本大题3小题，每小题8分，共24分)

21.(2021广东中考，21,8分，在平面直角坐标系X。)，中，一次函数)，=履+6(后＞0)的图象与

4

x轴、y轴分别交于A、2两点，且与反比例函数＞=—图象的一个交点为P(1,m).

X

(1)求,"的值；

(2)若PA^2AB,求/的值.

22.(2021广东中考，22,8分，★★☆)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽

子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进

的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可

售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50SE65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x

的函数解析式并求最大利润.

23.（2021广东中考，23,8分，★★☆）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为的中点.连接

BE,将"BE沿BE折叠得到△FBE,B尸交AC于点G,求CG的长.

五、解答题（三）：（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24.（2021广东中考，24,10分，★★☆）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB^CD,ZABC=90°,

点E、F分别在线段8C、上，且E尸〃CO,AB=AF,CD=DF.

（1）求证：CF.LFB；

（2）求证：以AD为直径的圆与8C相切；

（3）若EF=2,NDFE=120°,求AAOE的面积.

25.（2021广东中考，25,10分，★★★）已知二次函数y=a/+历c+c的图象过点（-1,0）,且对任意实

数x,都有4x-12^/?+版+W2/-8x+6.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点〃是（1）中二次函数图象

上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，

求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2021年广东省初中学业水平考试数学试题

答案全解全析

1.答案：A

解析：因为-2的绝对值是2,所以这4个数都是正数.又..UV%.•.近＜2,.♦.、历＜2＜3＜兀，...最大

的数是兀

考查内容：实数大小比较.

命题意图：本题考查了实数的比较大小，知道后＜2是解题的关键.难度较小.

2.答案：D

解析:51085.8万=510858000=5.10858x1()8.

考查内容：科学记数法一表示较大的数.

命题意图：本题考查科学记数法的表示方法，关键是确定。的值以及〃的值.难度较小.

方法规律：科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中此同＜10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

3.答案：B

解析：画树状图为：

开始

123456123456123456123456123456123456

1234567345678456789567891067891011789101112

共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，,两枚骰子向上的点数之和为

7的概率为9=4.

366

考查内容：用列表法与树状图法求随机事件发生的概率.

命题意图：本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合于两步及两步以上完成的事件；解题时还

要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.难度较小.

4.答案：D.

解析：分别根据嘉的乘方运算法则以及同底数累的乘法法则进行解答.即：•：”=32m=3,27"=33"=4,

...32*3"=32mx33"=3x4=12.

考查内容：同底数基的乘法；塞的乘方与积的乘方.

命题意图：本题考查了同底数塞的乘法以及事的乘方，掌握累的运算法则是解答本题的关键.难度较小.

5.答案：B

解析：根据非负数的性质列方程求出外匕的值，然后代入代数式进行计算.即：由题意得，a-也=0,

9a2-I2ab+4Z?2=O,解得a=百，。=二3百，所以帅=百x3—百=9—.

222

考查内容：非负数的性质.

命题意图：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.难度较小.

6.答案：C

考查内容：儿何体的展开图.

命题意图：本题考查了几何体的展开图.解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，难度较

小.

7.答案：B

解析：如图，过点。作OT_LAB于T.是直径，AZACB=90°,：.DC±BC.;DB平分NCBA,DC

Ar

_L8C,DT.LBA,：.DC=DT=\.VAC=3,：.AD=AC-CD=2：.AD=2DT,：.ZA=30°,：.AB=

9cos30

J3

T

考查内容：解直角三角形：圆周角定理的推论；垂径定理；角平分线的性质.

命题意图：本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题，难度中等.

8.答案：A

解析：根据算术平方根得到3<屈<4,所以2<6-M<3,V6-回的整数部分为小小数部分为b,

.,.a=2,h=6-V10-2=4-V1O,(2a+V^)b—(2x2+710^)x(4-VlO)=(4+V1O)(4-)

=6.

考查内容：估算无理数的大小.

命题意图：本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进

行估算，难度中等.

9.答案：C

〃+力+c

解析：根据公式算出。+方的值，代入公式进行求解.即：-p=-2p=5,c=4,

.。+〃+4.

・・5=----------,••ci~^b=6,•・a=6-b,

2

S—'p(p—G(p-b)(p—c)—J5(5—a)(5—1)(5—4)=q5ab-25—^5(6—/?)/7—25=

J-5(4-3)2+20.当6=3时，S有最大值为亚=2行.

考查内容：二次根式的应用.

命题意图：本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积，难度中等.

1().答案：A

解析：分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F,设OE=a,。尸=6,由抛物线解析式y=f,可得AE=/,

BF=层,作AHLBH于H,交y轴于点G,连接A2交y轴于点。，设点。(0,m)，易证△4OG〜△ABH,

所以生=皎，即〃一一二，L.可得巾=浦.再证明AAEO〜△。尸B,所以空=取，即＜==，

BHAHb2-a2a+bOFBFbb2

可得必=1.则机=浦=1,说明直线AB过定点。，。点坐标为(0,1).进而可推出点C是在以。。为直

径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即当点C到y轴距离为;Z)O=；时，点C到y

轴距离的最大.

图1

考查内容：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值.

命题意图：本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难

度较大，关键是要找出点O为定点，确定出点c的轨迹为一段优弧，再求最值.难度较大.

谷4fx=2,

H.答案：-2

解析：n，

2x+y=2②

①x2-②，得3y—-6,即y=一2,

将y=-2代入②，得2r+(-2)=2,

解得x=2,

所以方程组的解为2，故填F=2，

b=-2b=-2

考查内容：解二元一次方程组.

命题意图：本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元一次方程是解答此题的关

键.难度较小.

12.答案：y=2x2+4x.

解析：可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答.即：把抛物线y=27+l向左平移1

个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=2(x+1)2+1-3,即y=27+4x.

考查内容：抛物线的平移.

命题意图：本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移

后的函数解析式，难度较小.

13.答案：4-7t.

解析：阴影部分的面积等于AABC的面积减去空白处的面积即可得出答案.即：等腰直角三角形ABC中，

V2厂

ZA=90°,BC=4,.../B=NC=45°,：.AB=AC=——8c=2J2.

2

]]ll45乃x22

•:BE=CE=—BC=2,...阴影部分的面积S=SAABC-SBDE-SCEF=-x2V2x2<2--------x2

22360

=4-n.

考查内容：等腰直角三角形；扇形面积的计算.

命题意图：本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度中

等.

14.答案：/-4=0（答案不唯一，只要符合题意即可）.

解析：由题意，可设%=-2,%=2,则满足条件的方程可为：/-4=0（答案不唯一，只要符合题意即可）.

考查内容：一元二次方程根与系数的关系.

命题意图：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,

难度中等.

0田65

15.答案：———.

36

•・313.1)2-169即/+2+4="，二/-2+二_1692

解析:(x+---------4,・・(x-1)

x6x36%236/36X

25

=--,根据平方差公式求出?--4=12

-,根据题意得到X--<o,.-.X---=(x+一)(%---)

36XX6xXX~~6

5、65

X(-—)=-—•

636

考查内容：分式的化简求值.

命题意图：本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键.难度中等.

i9回

16.答案：——.

DE4

解析：如图，过点B作于点八根据OEJ_A8,AD=5,sinA=——=一，可得OE=4,根据勾股

AD5

定理可得AE=3,再根据平行四边形的性质可得A£）=5C=5,AB=CD=12,BE=AB-AE=\2-3=9.由

BFDE4

CD//AB,可得N£)EA=NE£)C=90°,NCEB=NDCE,：.tanZCEB=tanZDCE,：.——=——=一

EFCD12

EF=3BF.在RtZkBEF中，根据勾股定理，得E产+8产=8后，（3BF）2+BF2^92,解得，BF=^^~

10

BF9V10

sinZBC£=-

BC50

根据tan/CE8=tan/OCE,可得EF=3BF,再根据勾股定理可得8尸的长，进而可得结果.

考查内容：平行四边形的性质；解直角三角形.

命题意图：本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出EF=3B尸是解决

本题的关键.难度中等偏上.

【核心素养】本题通过作辅助线，利用所学过的平行线四边形的性质、勾股定理以及锐角三角函数等知识

进行推理，得出结论，体现了对数学推理能力和运算能力等核心素养的考查.

17.答案：V5-V2.

解析：根据2408=45。，AB=2,如图，作AAB。的外接圆0,连接0C,当。、D、C三点共线时，C£）的

值最小.；/4£>8=45°,二乙4。8=90°,二2\4。8为等腰直角三角形，，4。=8。=近11450'48=拒.作

0ELBC于点E,同样可证A0BE也为等腰直角三角形，0E=BE=l,在RS0EC中，由勾股定理可求得

0C的长为石.当0、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-0。=石-.

考查内容：勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系.

命题意图：本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理

等基础知识点,难度较大，需要根据条件进行发散思维.解题关键在于确定出点O的运动轨迹为一段优弧.难

度较大.

18.解析：解不等式2x-4>3（x-2）,得x<2,

r-7

解不等式4x>——，得x>-1,

2

则不等式组的解集为-l<x<2.

考查内容：解一元一次不等式组.

命题意图：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到'’的原则是解答此题的关键.难度较小.

19.解析：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90,

由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据

的中位数应该是90,

丁…日80?285?390?895?5100?2

平均数是：-----------------------------------=90.5

20

（2）根据题意得：600x8+5+2=450（人）.

20

答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人.

考查内容：用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数.

命题意图：本题考查中位数、用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答问题.难度中等.

【核心素养】本题以统计图的形式展示信息，考查学生的数学观念和运算能力等核心素养.

20.解析：(1)如图，连接设BC垂直平分线交BC于点尸，.•.BOnCD△ABD的周长=AB+AZ)+B。

^AB+AD+DC=AB+AC.'：AB=CE,△ABO的周长=AC+CE=AE=1.

(2)设AO=x,:.BD=3x.又,：BD=CD,：.AC=AD+CD=4x.在RlA/lBD中，AB=

VBD2-AD2=J(3x)2-x2=2s/lx.tanZABC=——==四.

、AB2岳

考查内容：线段垂直平分线的性质；解直角三角形.

命题意图：本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，难度中等.

关键点解读：抓住正切的定义是解决本题的关键.

44

21.解析：(1)VP(1,/H)为反比例函数y=—图象上一点，，代入得加=—=4,・,•根=4.

x1

(2)令y=0,即kx+b=U,•»x=-一，A(-一，0),令x=0,y=b,B(0,b),

•••必=2AB,由图象得，可分为以下两种情况:

①8在y轴正半轴时，b>0,：B4=2A8,过P作P”_Lx轴交x轴于点H,又B\OVA\H,/抬1O=NB1A1O,

AB,A,0B,0111

AAAZ.—,：.B\O=-PH=4x-=2,:・b=2,：.A\O=OH=\.

APAHPH222

h

A|--|=L：.k=2,

k

②B在y轴负半轴时，b<0,过P作PQ_Ly轴，^PQLBiQ,A2O,LB2Q,AA1B1O=AABiQ,：.^AiOBi

140丛Ob1111

s/\APQB2,/.—-=-=-=—=——,：.AO=\--1=-PQ=-,BiO=-BiQ=—OQ=\b\=2:.b=

B?P3PQB&k3332t

-2,:・k=6,综上，k=2或k=6.

考查内容：反比例函数与一次函数的交点问题.

命题意图：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相

似的判定和性质，求得A0的长度的解题的关键.难度中等以上.

22.解析：(1)设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价(a-10)元，则啊2=8她，

aa-10

解得：“=40,经检验a=40是方程的解，.•.猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

(2)由题意得，当x=50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元(50心65)时，每天可售[100

-2(%-50)]盒,.,.j=x[100-2(x-50)]-40x[100-2(x-50)]=-2?+280x-8000,配方,得：y=

-2(x-70)2+1800.：xV70时，y随x的增大而增大，.•.当x=65时，y取最大值，最大值为：-2(65

-70)2+1800=1750(7C).

答：y关于x的函数解析式为y=-2?+280x-8000(50SE65),且最大利润为1750元.

考查内容：分式方程的应用；二次函数的应用.

命题意图：本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法.难度中等以上.

关键点解读:根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式是解决本题的关键.

【核心素养】依据每天销售猪肉粽的利润)'与猪肉粽每盒售价x元的函数关系之间联系，建立二元一次方程

组模型，体现了对数学模型思想核心素养的考查.

23.解析：延长8F交CD于H,连接EH.二•四边形A8CD是正方形，.,.ABaCZ),ZD=ZDAB=90°,AD

=CZ)=AB=1,；.AC=,4)2+q)2=4+p=夜由翻折的性质可知，AE=EF,NEAB=NEFB=

90°,：点E是AC的中点，.,.AE=OE=£7;'...•N£>=NE/:7/=90。.在RtAEHD和RsEHF

1EH=EH

中，《，:.RsEHD/RtAEHF(HL),：.ZDEH=ZFEH,：.ZHEB=90°.VZDEF+ZAEF=

ED=EF

180°,2ZDEH+2ZAEB=180°,：.NDEH+NAEB=90°.VZAEB+ZABE=90°,：.ZDEH=ZABE,：.

13CGCH3

△EDHSABAE,：.—,:.DH=-,CH=-.,:CH//AB,.二

ABEA2

AC——~J^2,.

7

DH

考查内容：正方形的性质；翻折变换(折叠问题).

命题意图：本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知

识，难度中等.

关键点解读：解题的关键是求出。从CH,利用平行线分线段成比例定理解决问题.

24.解析：(1)证明：CD=DF,：.ZDCF=ZDFC.'：EF//CD,ZDCF=ZEFC,：.ZDFC=ZEFC,

：.ZDFE=2ZEFC.'：AB=AF,：.ZABF=ZAFB.,JCD//EF,CD//AB,：.AB//EF,：.ZEFB=ZAFB,

：.ZAFE^2ZBFE.VZAF£+ZDF£=180°,.,.2ZBF£+2Z£FC=180°,：.ZBFE+ZEFC=90°,：.ZBFC

=90°,：.CFLBF.

(2)证明：如图1,取AO的中点。，过点。作O//LBC于”，.•.NOHC=9()o=NABC,

J.OH//AB.'.'AB//CD,：.OH//AB//CD."：AB//CD,AB^CD,，四边形ABC。是梯形，

二点”是BC的中点，即CW是梯形ABC。的中位线，二。，=’(AB+CD).凡CD=DF,：.OH

2

=-CAF+DF)=-AD.'：OH±BC,以AO为直径的圆与BC相切.

22

(3)如图2,由(1)知，NDFE=2NEFC,VZDFE=120°,/.ZCFE=60°.在RlACE/中，EF=2,

ZECF=900-ZCFE=30°,：.CF=2EF=4,：.CE=yJCF2-EF2=273.,：AB//EF//CD,ZABC=90°,

：.Z£CD=ZCEF=90°,过点。作。M_LE凡交E尸的延长线于M,NM=90。，二/ECZ)=NCEF

=90。，.•.四边形CEMQ是矩形，...QM=CE=2g.过点A作ANLEF于N,...四边形ABEN是矩形，，

AN=BE,由(1)知，

2

ZCFB=90°.VZCFE=60°,：.ZBFE=30°,在