高考数学（文科）总复习考点解析及习题第八章概率与统计

高考数学（文科）总复习考点解析及习题（附解析）

第八章概率与统计

考点1随机事件的概率

考点2古典概型

考点3几何概型

考点4随机抽样

考点5用样本估计总体

考点6变量间的相关关系与统计案例

考点7坐标系与参数方程

考点8不等式选讲

考点1随机事件的概率

高考概览：高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度

考纲研读

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率

与概率的区别

2.了解两个互斥事件的概率加法公式

一、基础小题

1.从一批产品（其中正品、次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，

下列事件是互斥事件的是（）

①恰好有1件次品和恰好有两件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正

品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品.

A.①0B.①③C.③④D.①④

答案D

解析根据互斥事件概念可知选D.

2.下列说法:

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；

②做〃次随机试验，事件｛发生卬次，则事件4发生的频率n-就是事件/发生的概率；

③百分率是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离"次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论

值；

⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确的是（）

A.@@③④B.①④⑤

C.①®③④⑤D.②③

答案B

解析由概率的相关定义知①④⑤正确.故选B.

3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件1=｛抽到一等品｝,事件8=｛抽到二等品｝,

事件C=｛抽到三等品｝,且已知PG4）=0.65,P（协=0.2,1,则事件“抽到的

不是一等品”的概率为（）

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3

答案C

解析事件“抽到的不是一等品”与事件力是对立事件，由于f（4）=0.65,所以由对

立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为々1一？（冷=1-0.65=0.35.选C.

4.甲、乙两位同学在国际象棋比赛中，和棋的概率为今乙同学获胜的概率为，，则甲

同学不输的概率是（）

1112

民

--一-

A.403C.6D.3

答案D

119

解析因为乙获胜的概率为所以甲不输的概率为1—故选D.

5.正三棱锥/一腼的所有棱长均相等，从此三棱锥6条棱的中点中任意选3个点连成

三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）

11

OCD

一-

A.B.32

答案D

解析从三棱锥6条棱的中点中任意选3个点能组成两类三角形：一类是等边三角形,

另一类是等腰三角形.若任意选3个点连成等边三角形，则剩下的3个点也是等边三角形,

且它们全等；若任意选3个点连成等腰三角形，则剩下的3个点也是等腰三角形，且它们全

等.这是必然事件，其概率为1.故选D.

6.设条件甲：“事件1与事件8是对立事件”，结论乙：“概率满足？（?!）+?（历=1”，

则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若事件A与事件6是对立事件，则AU6为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）

+0（而=1,充分性成立.设掷一枚硬币3次，事件及“至少出现一次正面”，事件8：“3

71

次出现正面”，则。（4）=O9。（0=0O,满足PG4）+P（益=1,但力，6不是对立事件，必要

性不成立.故甲是乙的充分不必要条件.

7.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向

上抛掷1次，设事件/表示“向上的一面出现奇数”，事件"表示“向上的一面出现的数字

不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的数字不小于4"，则（）

A.4与8是互斥而非对立事件

B.力与6是对立事件

C.8与C是互斥而非对立事件

1）.B与。是对立事件

答案D

解析/C6=｛出现数字1或3｝,事件48不互斥更不对立；80。=。，BUC=

为必然事件），故事件8C是对立事件.故选D.

8.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设力=｛两次都击中飞机｝,8=｛两次都

没击中飞机｝,｛恰有一次击中飞机｝,〃=｛至少有一次击中飞机｝,其中彼此互斥的事件

是，互为对立事件的是..

答案A与B,/与C,B与C,6与。B与D

解析设/为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为/C6=。，AQC=0,BQC

=0,6ng0,故/与8,｛与C,B与C,6与〃为互斥事件.而8ngBUQI,故6

与〃互为对立事件.

9.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的

概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

答案B

解析设事件A为只用现金支付，事件6为只用非现金支付，事件，为既用现金支付也

用非现金支付，则尸（用+2（而+凡。=1,因为尸（0=0.45,尸（。=。15,所以产（⑸=0.4.故

选B.

10.有编号互不相同的五个祛码，其中5克、3克、1克祛码各一个，2克祛码两个,

从中随机选取三个，则这三个祛码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).

1

答

案5-

解析记5克、3克、1克祛码分别为5,3,1,两个2克祛码分别为2a,2b,则从这

五个祛码中随机选取三个，有以下选法：(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,26),(5,1,2a),

(5,1,26),(5,2a,26),(3,1,2a),(3,1,26),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10

种，其中满足三个祛码的总质量为9克的有(5,3,1),(5,2a,26),共2种，故所求概率

P=—2=-1

105.

11.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一

次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.

答案I

解析记两只黄球为黄4与黄6,从而所有的摸球结果为：(白、红)，(红、黄冷，(红、

黄历，(白、黄4),(白、黄6),(黄/、黄0,共6种情况，其中颜色不同的有5种情况，

则所求概率p=i

6

12.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a,b,则log,力为整数的概率是

答案I

解析所有的基本事件有基,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),

(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个，记“log》为整数”为事件4则事

21

件4包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个，.•/([)=而=、

1Z0

13.从含有质地均匀且大小相同的2个红球、〃个白球的口袋中随机取出一球，若取到

2

红球的概率是则取得白球的概率等于()

5

1234

----

A.5B.5C.5D.5

答案c

23

解析取得红球与取得白球为对立事件，.•.取得白球的概率人1—£5=54故选C.

3——

14.已知随机事件46发生的概率满足条件0=『某人猜测事件An6发生,

则此人猜测正确的概率为()

11

1民-c-Do

A.A24

答案C

解析•.•事件7C2与事件/U6是对立事件，，事件7发生的概率为P（7

31I

=1一"au⑤=1一彳="则此人猜测正确的概率为不故选c.

15.甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是（）

111

A_c--

B.,62D.3

答案D

解析甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲

21

乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，.•.甲排在左边的概率是5=不故选D.

16.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的

名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没

得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第一名的概率是

111-1

---一

A.5B.3C.4D.

答案B

解析•.•甲和乙都不可能是第一名，，第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限

制条件对丙、丁、戊都没有影响，，这三个人获得第一名是等概率事件，，丙是第一名的概

率是1故选B.

17.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的

概率为京3乙夺得冠军的概率为1『那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.

19

答案

Zo

解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军"和‘‘乙

夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公

311Q

式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为5+3=孤.

二、大题

1.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6

元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天

需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果

最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为

了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为H单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货

量为450瓶时，写出了的所有可能值，并估计V大于零的概率.

解(D这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表格数据

知，最高气温低于25的频率为2+2+36=0.6)所以这种酸奶一天的需求量不超过300

瓶的概率的估计值为O6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25,则「=6X450-4X450=900；

若最高气温位于区间［20,25),则勺6X300+2X(450-300)—4X450=300；

若最高气温低于20,则V=6X200+2X(450—200)-4X450=-100,所以，F的所有

可能值为900,300,-100.

「大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为

36+2；1+4=O.8)因此y大于零的概率的估计值为0.8.

2.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人

本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出

险次数0123425

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数0123425

频数605030302010

(1)记4为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求尸(用的估计值；

(2)记8为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求

产(面的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解(1)事件4发生当且仅当一年内出险次数小于2.

由所给数据知一年内出险次数小于2的频率为嘴4=0.55,故以/)的估计值为0.55.

(2)事件8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知一年内出险次

30+30

数大于1且小于4的频率为r一=0.3,故/面的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费0.85aa1.25d1.5a1.75d2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为

0.85aX0.30+aX0.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75aX0.10+2aX0.05

=1.1925a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为L1925a.

3.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

排队人数012315人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？

(2)至少3人排队等候的概率是多少？

解记“无人排队等候”为事件4“1人排队等候”为事件5,“2人排队等候”为事

件&“3人排队等候”为事件〃，“4人排队等候”为事件发“5人及5人以上排队等候”

为事件凡则事件4B,C,D,E,尸互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=/J+6+G

所以尸(6)="(用+尸(而+尸(0=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P[H)="(9+P(£)

⑺=0.3+0.1+0.04=0.44.

解法二：记“至少3人排队等候”为事件〃，则其对立事件为事件G,所以PU/)=1-

P(0=O.44.

4.某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1kg的包裹收费10元；质量超

过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每1kg(不足1kg,按1kg

计算)需再收5元.

该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：

包裹件数范0〜101〜201〜301〜401〜

围100200300400500

包裹件数(近

50150250350450

似处理)

天数6630126

(1)某人打算将4(0.3kg),5(1.8kg),C{\.5kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，

求该人支付的快递费不超过30元的概率；

(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，

剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有

工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？

解(D由题意，寄出方式有以下三种可能：

第一个包裹第二个包裹

支付的

情

况质量快递质量快递总快

礼物礼物

(kg)费(元)(kg)费(元)递费

1A0.3103.(,3.32535

2B1.8151.81530

3C1.515A.B2.12035

所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求

概率为］

(2)由题H中的天数得出频率，如下:

包裹件数范0〜101〜201〜301〜401〜

围100200300400500

包裹件数（近

50150250350450

似处理）

天数6630126

频率0.10.10.50.20.1

若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下:

包裹件数（近似处理）50150250350450

实际揽件数50150250350450

频率0.10.10.50.20.1

平均揽件数50X0.1+150X0.1+250X0.5+350X0.2+450X0.1=260

故公司每日利润为260X5—3X100=1000（元）；

若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下:

包裹件数（近似处理）50150250350450

实际揽件数50150250300300

频率0.10.10.50.20.1

平均揽件数50X0.1+150X0.1+250X0.5+300X0.2+300X0.1=235

故公司平均每日利润为235X5-2X100=975（元）.

综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.

5.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年

的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度

车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动

情况如下表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素浮动比率

4上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%

Ai上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%

4上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%

4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%

4上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%

月6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满

三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型A]444As4

数量105520155

（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；

（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保

费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且

各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：

①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆

车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；

②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.

1耳-1-51

解（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为

603

（2）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故

车，设为力，M四辆非事故车设为国，&,33,&.从六辆车中随机挑选两辆车共有S，

M9（Ai,5i）,（Ai,④，（A,aJ,（力i,a）,（金，国），a）,（&,加，（&,&）,（a”

/）,（句，生），（ai,品），（&,外），（改,aj,（国,国），总共15种情况.

其中两辆车恰好有一辆事故车共有（力，a.）,（小，/）,（Ai,&）,S，多）,d，d）,

（&,/），（施&）,如，a）,总共8种情况.

O

所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为主.

②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车

40辆,非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为卷X[（-5000）X40+10000X80]=5000

元.

考点2古典概型

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度

考纲研读

1.理解古典概型及其概率计算公式

2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率

一、基础小题

1.某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0〜9这10个数字

中选取.某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密

码的概率是（）

1111

A.而B.kC.不D.而

答案D

解析只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为

2.一只蚂蚊在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一

条路径，则它能获得食物的概率为（）

3食物

1135

C

---一

A.2B.38I).8

答案B

21

解析该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为1=『

63

3.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法估

计这三天中恰有两天下再的概率.可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我

们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907966191925271932812458569683

631257393027556488730113137989

则这三天中恰有两天下雨的概率约为()

137911

A—R——C——D——

20202020

答案B

解析由题意知这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,

7

631,393,137,共7组随机数，二所求概率为而.

4.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电话的概率

是()

1112

A.-B.-C.-D.-

OJ乙J

答案B

解析给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故

21

所求概率为片£=不

b3

5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是1,A'中的一个

字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

()

8111

A—R-C—[)—

1581530

答案C

解析•.■启={(材，1),(初2),(机3),Of,4),(业5),(/,1),(I,2),(1,3),

(/,4),(/,5),(M1),(/V,2),(M3),(A；4),(N,5)},...事件总数有15种.二,正

确的开机密码只有1种，二―1•故选C.

10

6.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否

准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是

()

3

A.一定不会淋雨B.淋雨机会为a

C.淋雨机会为，D.淋雨机会为[

答案D

解析用48分别表示下雨和不下雨，用a,6表示帐篷运到和运不到，则所有可能情

形为(4a),(4b),(6,a),(8,6),则当(46)发生时就会被雨淋到，，淋雨的概率为

片彳.故选D.

7.某汽车站每天上午均有3辆开往/景点的分上、中、下等级的客车.某天王先生准

备在该汽车站乘车去/景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上

上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三

辆，那么他乘上上等车的概率为（）

1112

-C--

B.2D.3

-

答案C3

解析共有6种发车顺序：①上、中、工；②上、下、虫；③中、上、下；④中、下、

上；⑤下、生、上；⑥下、上、中（其中画线的表示王先生所乘的车），所以他乘上上等车的

Q1

概率为故选C.

b2

8.一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一

个，它恰有一个面涂有红色的概率是.

2

答案9-

解析研究涂红后的正方体的六个曲，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色,

故所求概率为:a

9.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的

概率为（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案D

解析设2名男同学为4,儿3名女同学为劣，良，从以上5名同学中任选2人总

共有44,AB,A\B“AB,A-M,AB,AB,BB,5名，BB共10种可能，选中的2人都

3

是女同学的情况共有台良，R&,氏氏共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为片本

=0.3.故选D.

10.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中

任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）

4321

-

A.5B.C.D.

---

答案c555

解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、

黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有

42

红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率々犷，故选C.

11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()

12

二--

A.B.5D.5

10

答案D

解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数为5X5=

102

25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,...所求概率々於=三故选

D.

12.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩

具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.

答案i

解析先后抛掷2次骰了，所有可能出现的情况共36个，其中点数之和不小于10的有

(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个，从而点数之和小于10的有

30个，故所求概率366

13.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数

的概率是()

1113

A,-B.-C.-D.-

答案A

解析在1,2,3,6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1,2,3),(1,2,6),

(1,3,6),(2,3,6),共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1,2,

3),共1种.由古典概型概率公式可得所求概率为故选A.

14.某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个

形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则

不中奖，则中奖的概率为()

112

C

A.R.5-D.5-

10

答案C

解析由题得试验的所有基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,

4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事

3

件有(1,3),(1,5),(3,5),共3个，由古典概型的概率公式得尸=右.故选C.

15.一"三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时，

称这样的数为“凸数”（如243）,现从集合｛1,2,3,4｝中取出三个不相同的数组成一个三

位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）

2111

A.~B.~C.~D.—

Jo01.乙

答案B

解析从集合｛1,2,3,4｝中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,

124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,

342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,

243,341,342,共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为故选B.

16.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小

球，则两个小球同色的概率是（）

2121

--a

A.3B.2D.

--

答案c53

解析记3个红球分别为a,b,c,3个黑球分别为X,y,z,则随机取出两个小球共

有15种可能：ab,ac,ax,ay,az,be,bx,by,bz,ex,cy,cz,xy,xz,yz,其中两

个小球同色共有6种可能，ab,ac,be,xy,xz,yz,根据古典概型概率公式可得所求概率

）■='!，故选c.

155

17.在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻，有放回地取阳爻

和阴爻三次合成一卦，共有2^=8种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两

仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻

和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况即为八卦，在

一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（）

131

BaD1

A.8-8--

答案c

解析由题意知，所有可能出现的情况有：（阳，阳，阴），（阳，阴，阳），（阴，阳，

阳），（阴，阴，阳），（阴，阳，阴），（阳，阴，阴），（阳，阳，阳），（阴，阴，阴），共8

种，恰好出现两个阳爻、一个阴爻的情况有3种，利用古典概型的概率计算公式，可得所求

3

概率为『故选C.

O

18.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）

答案B

解析记三本不同的书为a,b,c,两人分书的基本结果用(x,力表示，有(0,abc),

(a,be),(b,ac),(c,ab),(ab,c),(ac,6),(Ac,a),(abc,0),共8种情况,其中

一人没有分到书，另一人分得3本书有两种情况，所以•人没有分到书，另一人分得3本书

21

的概率为£=彳，故选B.

o4

二、大题

1.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分

层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用4B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承

担敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设材为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,由于采用分

层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3

人，2人，2人.

(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{4囱，{4d,{A,

〃},{A,£},{4,用，{A,。，{B,Ci,{B,Di,{6,,{B,用，{B,6},{C,〃},{C,

£},{C,{C,G},{〃，8，{〃，打，［D,6),{£,F\,{E,。，㈤G},共21种.

②由(1),不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是4B,C,来自乙年级的是〃，E,

来自丙年级的是凡G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可

能结果为{力，而，5,{6,0,也公，㈤G},共5种.所以事件物发生的概率户(粉

__5_

=2\'

2.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家4,4,4和3个欧洲国家3,Bz,名中选择2个

国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括4但不包括氐的概率.

解(D由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{At>A2}，{A\,A3］>{Ait4}，{Ai,Bi}，{4,R］，{4,Bsi，{.,B\］，(An&}，{4,

&},{Au&},{A3,阕,{4,B}},出,方},{&,闻,{&,&],共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{4,4},{4,4},{4，4},

共3个.

则所求事件的概率为4卷R==1