现代数学观点下的中学数学

现代数学观点下的中学数学

?前言

?第一章绪论

?第二章集合和映射

?第一节集合和集合论

?第二节关系和映射

?第三节从集合论观点看中学数学

*第四节集合的序数和基数

?研究与思考题

?第三章代数

?第一节代数运算

?第二节与中学数学有关的代数系统

?第三节归纳原理和数学归纳法

?*第四节有限群和代数方程根式解

?研究与思考题

?第四章数系

?第一节自然数和数的扩充

?第二节整数环和有理数域

?第三节实数域和复数域

第四节代数数、超越数和作图不能问题

研究与思考题

?第五章几何

?第一节欧氏几何与非欧几何

?*第二节几何基础

?*第三节几何学的向量结构和度量结构

?第四节中学几何的几个问题

?研究与思考题

?第六章图形

?第一节图形的一般性质

?第二节曲面和闭曲面

?第三节关于图形的组合问题

?第四节图及其应用

?研究与思考题

?第七章实值函数

?第一节数列

?第二节基本初等函数和函数方程

?第三节周期函数和分段函数

?第四节市场经济中几个函数问题

?研究与思考题

?第八章不等式

?第一节从集合论观点看不等式

第二节证明不等式的函数方法

第三节函数极值

第1页，共293页

?第四节线性不等式组和线性规划

?研究与思考题

?第九章概率统计

?第一节随机现象的数学描述

?第二节概率和概率分布

?第三节统计推断

?第四节数理统计的简单应用

?研究与思考题

?问题答案和提示

前言

在我国高等师范院校包括教育学院中，无论是文、史、地、还是理、

化、生等各专业，所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深、加

广，螺旋式上升.因此，这些专业的毕业生到中学任教后，能够较好地解

决“居高临下”的问题.而数学专业则是个例外.除微积分外，大学数学

课程所讲的高等数学，与中学数学的研究对象、研究方法都有本质的不同,

中学数学到大学数学是直线上升.大部分高等数学课程与中学数学严重脱

节，学生所学高等数学与中学数学联系不上，“居高”而不能“临下”.以

致数学专业毕业生到中学后，往往需要重新学习相当长一段时间，才能熟

悉和掌握中学数学教材，胜任教学工作.

因此，高师数学专业教学改革的一个迫切任务，就是要解决如何在现

代数学观点指导下，加强高等数学与中学数学的联系.

本书是我国高师八五教材规划中数学教育系列选修课教材之一.它的

主要任务就是，在现代数学观点下，沟通高等数学与中学数学的联系.它

的内容主要有三个方面：一是将现代数学的思想和方法渗透到中学数学中

去；二是用具体材料来说明高等数学对中学数学的指导意义；三是指出中

学数学某些难以处理的问题的高等数学背景.

本书假定读者已学过大学数学专业基础课程一一数学分析、高等代

数、高等几何、概率统计等.书中所联系的中学数学，是指现行中学数学

教材和竞赛数学中的某些内容.

全书共九章，除绪论外，以中学数学内容除微积分外为线索，分别

讲述集合与映射、代数、数系、几何、图形、数值函数、不等式和概率统

计.各章之间，既注意到一定的逻辑联系，又具有相对独立性.每章编有

研究和思考题，书末附有这些问题的提示和答案，以及参考书目.

考虑到高师数学本科、专科和继续教育的不同需要，其中部分可作选

读的内容加了“*”号.全书安排教学课时在54〜72之间.

在本书编写和审稿过程中，得到过下列各位先生的帮助和指导：张奠

宙教授、邹一心教授华东师大、李长明教授贵州教育学院、唐复苏教

第2页，共293页

授苏州大学、戴再平教授浙江教育学院、赵振威教授常熟高专、沈

幼璋、沈传龙、卢冠军、王岳庭副教授杭州教院、任毅副教授芜湖教

院、孙熙椿副教授江西师大和丁万鼎教授安徽师大等.谨向他们表

示衷心的感谢.我们还要特别感谢高等教育出版社的高尚华副编审，他在

本书编写的全过程中，始终给以极大的关心、支持和指导.

本书是在初稿《中学数学的现代理论基础》讲义的基础上修改而成

的.初稿由下列先生提供：胡炳生第一、二、十章，第七章第三节，第

八章第一、五节，吴俊第三、四章，孙国汉第五、六章，王佩瑾第

九、十一章，第七、八章其余部分.胡炳生根据审稿会意见和建议，并

参考其他作者的意见，对全书进行全面修改，将原稿十一章精简成九章.吴

俊参加了全稿的修改工作，并对书中术语、外国人译名和符号，进行了统

一和标准化工作.

编写本书是作者的一个尝试，是关于这个课题研究的初步结果.尽管

我们作了种种努力，广泛吸收国内外有关研究成果，但限于知识水平和教

学经验，许多问题还未很好研究，对某些问题的看法也未必妥当，书中一

定还存在不少缺点和错误.诚恳希望广大读者予以批评和指正.

作者于安徽师大

1997年12月

第一章绪论

本书的主题是，在现代数学观点指导下，研究高等数学与中学数学的

联系.因此，我们首先要说明什么是现代数学，什么是中学数学，以及高

等数学与中学数学联系的途径和方法.

1.现代数学及其特点

一般说来，现代数学是指19世纪30年代以后诞生的数学.它的主要

标志是：Lobatchevsky1792-1856、Gauss1777-1855和

J.Bolyai1802-1860创立非欧几何，Galois1811-1832创立群论,

Hamilton1805-1865创立四元数，以及Cantor1845—1918创立集合

论.从那以后发展起来的非欧几何、抽象代数、集合论、拓扑学、泛函分

析、数理逻辑、数学基础等，都是现代数学内容.

现代数学，跟以微积分、解析几何为基本内容的古典高等数学相比，

在研究对象和研究方法上都与初等数学有显著的不同.

在研究对象上，初等数学以数和三维空间的图形为主要研究对象，现

代数学则以任意集合及其间的种种关系为研究对象在现代数学中，数推广

成一般集合的元素；数的计算推广为集合中元素的一般运算；函数推广为

集合的映射；曲面、曲线推广为一般空间的任意流形，等等.

第3页，共293页

如果说，恩格斯在一百多年前所说，纯数学的对象是现实世界的空间

形式和数量关系，主要是对集合论产生以前的数学研究对象的科学概括的

话，那么，对现代数学而言，今天就要对“空间形式”和“数量关系”作

本质上的推广.“空间形式”应理解为抽象空间的任一子集；“数量关系”

应理解为集合与集合之间的一般关系.

在思想观念和方法上，现代数学以集合论为基础，普遍采用公理化方

法和数学结构观点进行统一处理.如Kolmogorov1903-1987所说：现

代数学的观念就是：

1纯集合论是所有数学的基础.

2数学的各专门分支研究某一特殊类型的数学结构，每一结构类型

由相应的公理体系确定.数学所感兴趣的仅仅是结构的一些性质，它们是

由所采用的公理体系导出的，即研究结构仅仅精确到同构.

因此，集合论观点、公理化观点、结构观点和同构观点，是现代数学

的基本观点.

此外，电子计算机进入数学研究领域，“机器证明论”的兴起，正在

改变以前人们只承认逻辑证明的传统观点.

在数学语言上，现代数学全面使用集合论符号和数理逻辑符号，使其

语言更加统一和形式化，因此，也更加准确和简炼.

在应用上，不仅现代数学在力学、物理、天文、化学、机械学等传统

领域中的应用不断拓广和加深，而且对于生物学、地学、经济学，甚至语

言学、历史学和社会学等原来不用或少用数学的学科领域，数学的应用也

越来越广泛，越来越显得重要.

现代数学发展到今天，它已经划分为基础数学、应用数学和数学技术

三大部分，而数学技术是“未来高科技的核心”.

2.中学数学改革的新要求

中学数学，是指在中学数学教材和课外活动数学竞赛等中所包含的

数学.因此，随着中学教材的改革和更新，随着数学竞赛活动的发展，中

学数学的内容也在不断变化和发展.

从现在起到21世纪初，正是我国中学数学教学改革、教材全面更新

的时期.九年义务教育初中数学教材已经普遍使用；与此相衔接的新编高

中数学教材试验本1997年已经在部分省市试用，并将于1999年在全国

使用与原有中学数学教材相比，新教材在编写思想和内容选择等方面，有

很大的进步.

第4页，共293页

首先，新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中次要的、用

处不大的，或学生学习有困难的内容，如皋函数、指数方程、对数方程、

一些三角恒等式、反三角函数、三角方程，以及立体几何中的梭台、圆台

等；新增了向量、简易逻辑、概率统计和微积分初步.

其次，改革了传统数学知识的处理方式和数学语言，广泛地使用集合

符号、逻辑符号和标准计量单位和符号，使用向量代数方法证明余弦定理,

处理空间线、面关系等.

第三，高中数学不再分科编写，而是把多科数学内容综合为一门数学

教材，注意沟通各科知识之间的内在联系，注意数学知识的实际应用.

与此同时，全国中学生数学竞赛，主要是全国高中数学联赛、中国数

学奥林匹克和国际数学奥林匹克IMO的水平不断提高，现代数学的思想

和方法的渗透越来越普遍和深入.

这就要求中学数学教师拓宽知识面，提高综合素质.因此，高师数学

专业不仅要有足够多的现代数学课程，而且要有相应的课程指导学生用现

代数学思想、观点和方法，将高等数学与中学数学结合起来，同时要培养

学生的数学应用意识和应用能力.

3.高等数学联系中学数学的途径和方法

尽管现代数学的高度抽象性，使它与中学数学拉大了距离，但从数学

发展的历史来看，现代数学是多级抽象的结果.它的原型和特例大都来自

变量数学，变量数学的原型和特例又来自常量数学，而数学无疑最终还是

扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中.

中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是现代数学的

基础，是现代数学中许多不是全部概念和理论的原型和特例所在.因此,

从现代数学观点来看中学数学，首先就要把现代数学中的某些概念和理论

与中学数学里相应的原型和特例联系起来.这样，就不仅能够加深对现代

数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键.从而高屋建

新地处理中学教材，用现代数学的思想方法指导中学数学教学，提高教学

质量和教学水平.

第5页，共293页

例如，数集和点集平面的和空间的是集合的特例.在高一讲述“集

合”之后，在代数、立体几何和其他数学内容的教学中，可以而且应当普

遍使用集合符号，逐步使数学语言规范化.

整数环是可换环的原型，有理数域是域的原型，数的四则运算是二元

运算的特例，数值函数是映射的特例，变换又是特殊的函数.它们都是集

合元素之间的对应，而对应法则并不限于解析表达式.由此，对于非常规

运算和非常规函数如取整函数［X）等的理解，就不会发生困难.

平面和三维欧氏空间，是一般度量空间的原型，平面和立体几何中有

关概念、公式，如两点间距离、三角形不等式、邻域、开集、闭集等，都

可以向高维空间、一般空间推广.而距离空间又是拓扑空间的特例.反过

来，从现代数学观点来看欧氏空间，三角形不等式是一个基本不等式，邻

域是一个基本概念.

其次，对于中学数学中某些不易交待清楚的问题，要了解其在数学史

上产生和解决的过程，弄清楚它们在高等数学里的背景.例如，为什么把

“0”作为第一个自然数？自然数与有理数、实数相比较，孰多孰少？何

谓作图不能问题？如何来判定它们……这些对于中学生未必要搞清的问

题，中学数学教师则必须弄清楚其中道理.这就要求我们利用数学史和高

等数学知识，对这些问题予以说明.当学生提出这些疑问时，能够通俗地

给以科学的回答.

第三，用现代数学思想方法，指导中学的问题解决.例如，根据同构

观点，利用“关系映射反演原则”RMI对数学问题进行等价变换和求解.利

用逻辑真假值表来检验命题证明过程的正确性.利用向量代数方法证明平

面和立体几何题.利用射影变换、仿射变换方法对某些几何题寻求证明思

路等.

又如，从公理化观点来看，任何一门学科都要有一些基本概念和公理

作为理论的出发点；各个命题之间，都要有逻辑的先后顺序，中学数学当

然也不能例外.现在高中数学教材是各科知识的综合和融会，更要注意此

点.既不能对其中基本概念如集合等给以“定义”，也不能犯“循环定

义”的毛病.既不能对已明确为“公理”的命题如“边角边”公理等

给以“证明”，也不能犯“循环论证”的错误.

总之，要力求将现代数学思想全面渗透入中学数学，要在高等数学概

念、理论的通俗化，与中学数学概念、理论的抽象化上，寻找现代数学与

中学数学的结合点.以下各章，就是这种努力的一些初步结果.我们希望

读者能从这些材料中得到若干启示，在现代数学观点下，继续深入研究和

发掘高等数学与中学数学更普遍、更深入的联系.

第6页，共293页

第二章集合和映射

集合论是现代数学的理论基础，映射是集合论中用以建立现代数学概

念和理论的基本工具和手段.不仅如此，集合和映射作为现代数学的一种

重要思想方法，一种简单而明确的数学语言，有效地适用于数学的各个分

支.自然，集合和映射，也是整个中学数学的理论基础.

集合和映射，现已列入中学数学教材，这是实现中学数学教材现代化

的必要条件之一.但是，这并不等于说，集合论的思想方法就已融入了整

个中学数学教材，贯彻于中学数学教学之中.

要做到这一点，需要中学数学教师从现代数学观点出发，深刻理解集

合和映射的意义，掌握集合论的方法和语言，并用来处理教材，指导教学.

第一节集合和集合论

1.朴素集合论

集合，是一个不加定义的基本概念.我们说给定了一个集合A,就是

给定了一个明确的标准，根据它可以确定哪些东西是A的元素，哪些东西

不是A的元素.如集合论创始人Cantor所说，“集合”是指人们直观上

或思想中完全确定的、不同事物x合成的一个整体A.这些事物x称为A

的元素，或者说x属于A,记作xGA.

但Cantor的话并不能作为集合概念的定义，因为“整体”一词并不

比“集合”更浅显明白.还有人试图作如下定义：”集合就是具有某种共

同属性的事物的全体”.这也不行.例如，集合｛1,2,H｝中的两个

元素一一数对1,2和氢原子H,很难说它们有什么共同的属性.而4与

1、2、3都是自然数，但4却不是集合｛1,2,3）的元素.

事实上，集合作为一个抽象概念，它概括的内容非常广泛，很难给它

下一个定义使之适合每一种具体情况.而且在演绎数学体系中，为避免循

环定义，总要选定一些不加定义的基本概念作为理论的出发点，如在几何

中以“点”、“线”、“面”、“体”作为基本概念那样.有鉴于此，方

便的做法是，把“集合”作为整个数学的一个基本概念而不加定义.

对于基本概念，我们虽然不加定义，但可以用与它邻近的概念或形象

的比喻来描述它，说明它.如把集合说成是一些东西的“汇集”、“总汇”、

“整体”，就是对集合这一概念的描述.通过描述，可以帮助我们对这一

概念加深理解.

19世纪70年代Cantor创立的集合论，虽然在上世纪末已被数学家

广泛接受，并用它作为构筑整个数学大厦的基础，但是它本身却是用说明

的方式建立的，未被严格理论化，因此被后人称为“朴素”的集合论.尽

管如此，在我们中学数学教科书或一般高等数学非数学基础学科书中所

第7页，共293页

讲、所用的集合论知识，正是这种朴素的集合论.关于它，我们作几点说

明.

集合外延性原则集合由它所含的元素而唯一确定.两个集合A与B

相等，即人=8,当且仅当

集合中的元素不重复计算，即一个集合中任意两个元素都是彼此不同

的.

空

集是唯一存在的.例如，｛北极企鹅｝是一个元素十分明确的集合，但未

经实证以前，其中有没有元素存在并不知道，也就是说它可能是个空集.要

保证任何两个集合都可以作交集运算，也需要承认空集的存在.

只含一个元素a的集合{a},称为单元素集合或单子集.这时要注

意a与{a}的区别：a是个体，{a}是整体，两者是不同层次的概念.

一个集合的元素可以是集合.有时为方便起见，把集合的集合称为集

族.

例如，设A是直线x+y=l上所有点的集合，B是平行线x+yp的

集合，于是集合A是集合B的一个元素，AEB.

概括性原则可以用一类事物的某一共有的特殊性质p,来规定一个集

合：凡具有性质p的事物x记为px合成一个集合p{xIpx}.

这样，上面两个集合就可写成

A{x,y|x+y1}

B(I11:x+yp}

PP

子集把集合A中一部分元素合成一个整体所形成的集合M,称作

元素，但

不是B的子集，因为A的元素x,y不是B的元素.

特别地，对任何集合A而言，都有

第8页，共293页

即任何非空集合都有两个当然子集：自身和空集.空集则只有唯一的

子集一一它自身.空集是任何集合的子集.一个集合的非当然子集，称为

真子集.

在一般情况下，无需区别一个集合的当然子集和真子集，因此用一

读作A

真包含于B.

个

体与集合整体之间的关系；后者是集合与集合之间的关系.另外，两

者的性质也不同.

例如，集合的包含关系具有反身性和传递性，即对任意集合A、B、C,

都有

但属于关系e却不具有上述性质

的

集合，称为A的哥集，记为PA.若A是有限集，元素个数为n,那么

n

PA也是有限集，且有2个元素.

2.集合的运算

设A、B为两集合，则如下规定它们的并集、交集和差集：

AUB{x|xGA或XGB}

AAB{x|xGA且XGB}

特别地，若在我们考虑范围中，A是所有对象合成的集合一一全集I,那

么它与集B的差集，称为B的补集或余集，它由所有不属于B的元素组

成：

第9页，共293页

利用Venn1834—1923创造的文氏图，可以把集合运算的结果直观

地表示出来，并可证明如下运算律:

I.等稚律AUB=A,AHAA

II.交换律AUBBUA,ACIBBHA

III.结合律AUBUCAUBUC

AHBncAnBCIC

IV.分配律AnBUCAHBUAAC

AUBACAUBnAUC

V.吸收律AUAHB=A,AnAUBA

VI.对合律CCAA

vn.德??摩根律CAUBCAHCB

CAAB=CAUCB

该公式可以推广到任意多个集合的并与交的情况.

例1IM0-14给出一个集合，它由10个互相不同的两位十进制的

正整数组成.证明：这个集合必有两个无共同元素的子集，这两个集中各

数之和相等.

证设此10元素集为5={a,a,…，a},其互不相同的子集共有

1210

2101024个.但每个ai1,2,―,10W99,故每个子集

因此，必有两个不空子集A、B,二者之中各数之和相等.

AA\AHB,BB\AHB

11

第10页，共293页

总之，在S的子集中，一定存在两个无共同元素的集合，它们之中各

数之和相等.

3.集合的笛卡儿积

设X、Y为任两非空集合，把所有以X中元素x为第一元，Y中元素y

为第二元的序对x,y组成的集合，称为X与Y的笛卡儿积，记为

XXY{x,y|xex,yGY}

2

特别地，当XY时，XXX记为X.

例2设X(1,2,3},Y{0,1},贝1|

XXY(1,0,1,1,2,0,2,1,3,0,3,1)

例3设XY{x|lWxW2},则

XXY{x,ylWx,yW2}

它表示xOy平面上的正方形区域G.

笛卡儿积的性质一般地说，XWY时，XXYWYXX,即集合的笛卡儿

积不满足交换律.但是它满足对于并、交、差的左、右分配律：

XUXXY=XXYUXXY

1212

YXXUX=YXXUYXX

1212

反之亦然.

笛卡儿积容易推广到任意多个集合的情形.设X,X,…，X是nn

12n

》2个集合，它们的笛卡儿积定义为

第11页，共293页

XXXX•••XX{x,x,,,,,x|xex,i1,2,…，n)其中

12n12nii

x,x，…，x为n元有序组，x为它的第i个元，il,2,•••,n.

12ni

在多元有序组中，诸如X,X,X、X,X,X与x,x,x

123123123

被认为是相同的有序组.因此，集合的笛卡儿积满足结合律.

22

例4设G{x,y|x+yWl},H={z|OWzWl},贝！］

22

GXH(x,y,z|x+yWLOWzWl}

表示底面半径为1,高为1的圆柱体.

例5设XYR,Z{1},则

XXYXZ={x,y,1|x,yCR}

表示O-xyz空间中一个与坐标平面xOy平行的平面a,它与Oz轴的截距

为1.

4.公理集合论

上世纪末，当数学分析实现了严密化，并把集合论作为数学的统一基

础之后，Poincare1845-1912在1900年的第二届国际数学家大会上满

怀信心地宣布：“现在我们可以说，数学完全的严格性已经达到了

但仅事隔两年，他的美梦就被打破了.

1902年，英国哲学家兼数学家Russell1872—1970提出的“罗素悖

论”，揭示出集合论本身存在的矛盾，动摇了整个数学大厦的基础.

罗素悖论的通俗说法，就是这样一个理发师悖论：一个乡村理发师宣

称，他只给自己不刮脸的人刮脸，不给自己为自己刮脸的人刮脸.有一天

人们问他：你本人的脸由谁来刮呢？一一如果由他本人自己刮脸，按他的

声明，他便不该给自己刮脸；如果由别人给他刮脸，那么他又应该给他本

人刮脸.于是这个理发师陷入了逻辑矛盾之中.

人们发现，产生悖论的原因在于集合概念范围任意扩大和随意使

用.因此数学家们设法用公理化方法对集合概念加以限制，将那些产生悖

论的集合排除在外.

由Zermelo1871—1953首先提出、经Fraenkel1891—1965等修改

补充的策梅洛-弗伦克尔公理体系ZF,因易于理解而成为影响最广的集

合论公理体系之一.在这个体系中，集合和属于关系G作为原始概念，由

以下一组公理加以刻画：

第12页，共293页

EB,而且若XGB,则XEA.

II.空集合存在公理存在一个没有任何元素的集合一一空集，记

III.无序对集合存在公理对于任意集合x,y,都存在集合乙它仅

有两个元素x、y,记为Z{x,y},其中x、y是无序的.如果xy,

则Z{x}是单元素集.

有序对则规定为x,y(x,{x,y}}.显然x,yWy,x.这

样就给定了x,y中元素的顺序：x为第一元，y为第二元.

IV.并集合公理对于任意集合x,都存在一集合y,y的元素恰好是

x的所有元素的元素.此时称y为x的并集合，记为Ux.

由此公理，任意两个集合A与B的并集AUB,就是U{A,B）.对

于集族（BIaGA},它的并集记为

a

V.嘉集公理对于任意集合X,都有一个集合y,y的元素恰好是X

的子集合.此时V称为x的累集，记为Px.

VI.无穷公理存在一个集合，它的元素恰好是所有自然数.根据外延公

理，这个集合是唯一的，记为N.

这里的自然数是用下述方法归纳定义的：

一般地，若n已被定义，则

n+1（0,1,2,•••,n}n+n的后继

自然数集N{0,1,2,…，n,•••）

第13页，共293页

在这里，数0是第一个自然数.之所以这样做，是因为从集合论的观

点来看，把空集定义为第一个自然数0,是再自然不过的了.

所有非零自然数，称为正整数，正整数集常记作Z或N.

++

W.分离公理对于任意给定的集合论公式命题Az和任意集合X,

都存在一集合y,使得

y{z|zdx且Az}

由此公理，可以肯定两个集合A、B交集的存在.这只须令xA,

Az为xGB即可：

AHB{z|zGA且ZGB)

同样，也可以肯定两个集合的差集和集合补集的存在.

这里要注意的是，并不是对任何公式Ax,{x|Ax}都

有当它与一个给定的集合相交时，才确定出一个集合.

一般说，分离公理是在公式Az限制下，确定出集合x的一个子集

y.所以分离公理又称子集公理.

VH1.替换公理对于任意公式Ax,y,如果对任意集合x,都有唯一

的集合y,使得Ax,y成立，那么对任意集合S,有一集合s,使得S

122

{u|tes,且At,u}.

1

第14页，共293页

这就是说，对一个具有一对一性质的Ax,y,可以由集合S关于

1

某些x的集合,经Ax,y确定其对应值的集合S2关于某些y的集合.

公理VII与皿都是对某个公式而言的，对每一个公式，可得一条公理.所

以又称它们为公理模式.

IX.正则公理基础公理对于任一非空集合S,都有一集合y存

正则公理指出，任何非空集合都有极小元.

一个集合中非集合的个体元素，称为该集合的本元，一个集合中的本

元一定是极小元；此外还可能有其他的极小元.

例如，集合S{0,2,{2,3}）有两个极小元：0和2；而

由正则公理可以直接推得两个主要结论：

2°对任意集合S、S,sGS与Ses不能同时成立.

121221

X.选择公理AC对于任一由不空集合组成的集合S,存在一个集

合A,它与S的每一个元素都恰好有一个公共元.

换句话说，对于任何集族S,可以从它的每个元素集合x中选出一

个元素axex,组成一个集合称作S的代表集或采样集.

上

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第二节关系和映射

资源

第二节关系和映射

1.关系

第15页，共293页

前面所说关于集合的运算、子集、暴集和笛卡儿积，都是以集合为对

象，从已有集合得出新的集合.至于一个集合中元素之间，这个集合元素

与那个集合元素之间有什么联系，尚未涉及；而这对于具体问题的研究，

往往更有意义.这就是本节所要讲的关系和映射.

从集合论观点来看，集合X上一个关系R,是由全体满足关系R的

XX的任一子集R,也确定了X上一个关系.这就是关系R与它对应

的XXX的子集，用同一个字母来表示的道理.

按此观点，可以方便地将“关系”推广到不同集合上去.

关系设X,Y是两个任意集合.笛卡儿积XXY的子集，称作集合X

到Y的一个关系，或简称关系.若有序对X,yGR,则写作Rx,y或

xRy,其中x称为关系R的第一元，y称为第二元.

这样的关系R,也称为集合D与V之间的二元对应，或简称对应.一

个关系或对应R,也可以用其中序对x,y所具有的性质p来确定：

R{x,y|px,y)

对于有限集或可数集上的关系，可以用矩阵的形式来表示.

设A{a,…，a),B{b,…，b},R是A至！JB的一个关系.令

1n1m

于是得到关系R的表示矩阵：

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例1设A(1,2},B{1,2,3},则A到B的“小于”关系〈的

表示矩阵是：

例2A(2,3,5,6,15}上整除关系R的表示矩阵是：

对应和逆对应关系和逆关系设R是集合X到Y的一个对应，我们可

以定义一个新的Y到X的对应R-1如下：

对应R-1称为对应关系R的逆对应逆关系.

对于任一元aex,集合{bIbdY,aRb}称为a的象，记作

Ra；对于任一元bGY,集合｛alaex,aRb｝称为b的原象，记

作R-lb.

例3设X为平面上所有直线的集合，Y为同一平面上所有圆的集合，

那么直线与圆相切是X到Y的一个关系R：

R｛I,c|ICc为单子集，lex,cEY)

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-1

这个关系对应的逆关系逆对应R是：

-1

R(c,II圆c与直线I相切｝

这时，对一条确定的直线loex,I的象RI就是所有与I相切的圆

000

-1

族；对一个给定的圆cGY,c的原象Rc就是圆的所有切线组成的包络.

00

关系的某些性质设R是集合X上的关系：

关系R称为非自反的，当且仅当对任意xGX,都有X,

X

关系R称为非称的，当且仅当若x,yER,贝Uy,xER.非称关系

一定是非自反的.Q上小于关系也是非称的.

关系R称为反称的，当且仅当若X,yWR且y,xGR,则x=y.例

如，Q上的不大于关系“W”是反称的.

如果对任意x、yex,或xy,或xRy,或yRx,三者必居其一，贝！I

称R是X上的联络.

下面我们研究两种重要关系：等价关系和序关系.

2.等价关系

如果集合X上的关系R是自反的、对称的、传递的，则称为等价关系.这

时aRb,亦说a与b等价.例如：

I.任何集合X上的恒等关系Ax{a,aIaex}是等价关系；

II.设X是平面上所有三角形的集合.R是“全等”关系，则R是X

上的等价关系；

III.设X是整数集Z,关系R：aRba-b为偶数.容易验证，R是Z

上的等价关系.

等价分类设R是集合X上的一个等价关系，把与某一元素a等价的

所有元素归为一类，合成一子集Xa,a为其代表元.这样，便可把X中元

素进行分类：X的每一个元素都属于且仅属于一类Xa.这些类彼此不交，

其并集为

其中A是所有代表元组成的集合代表集.集合X称为X关于R的等价类.

a

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商集设R是集合X上的一个等价关系，由R的全体等价类X组成的

集合{Xa|aGA},称为X关于R的商集，记作X/R.

商集是一个重要的数学概念，许多数学对象都可用此概念来构建.

为两个等价类：凡与0等价的归为一类X.为偶数集；凡与1等价的归为

0

一类X,为奇数集.于是得到Z关于R的商集{X,X},它是以2为模

101

的剩余类集.

一般地，设m为正整数，关于模m的同余R,是整数集Z上的等价关

系.这时关于m的剩余类C,C,…，C就是相应的等价类.集合{C,

01m-10

C,―,C}就是相应的商集；集合{0,1,2,—,m-1）就是其代表集.

1m1

集合的覆盖与划分设X为一集合，H{8a|aEA）为非空集合族，

如果

则称集族H为X的覆盖.

由集合X彼此不交的非空子集Xa组成的X的覆盖H{Xa|

集合X的一个划分H{Xa},可以确定x中的一个等价关系.事

实上，若令

便确定了X中一个关系.不难验证，R是一个等价关系.而划分H,恰是X

关于R的商集：HX/R.

利用集合X中等价关系构造商集，利用集合X的划分确定等价关系，

在以后两章中将多次用到.

3.序和序集

序，是从“数的大小”抽象出来的现代数学概念.所谓“数的大小”，

是相对于数的某种顺序而言的.当一个集合中所有元素排列成一行时，便

形成一种顺序.这时，不妨将排在前面的元素，视作比排在后面的元素“小

或者“大”.反之，若对集合X上每两个元素a、b都规定了“大小”

关系：aRb或a<b,那么集合X的所有元素之间，便规定了一种顺序.

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偏序设R是集合X上的传递关系，如果它是反称的，则称为弱偏序，

或不严格的偏序；如果它是非称的，则称为强偏序，或严格的偏序.弱偏

序和强偏序，统称为偏序.

定义了偏序R的集合X,称为偏序集.

序.整数的k>1倍关系，则是强偏序.

全序设R是集合X上的偏序弱或强的，如果R又是X上的联络，

那么就称R是X上的弱或强的全序.

例如，实数集R上的“<”、"W”关系，都是R上的全序；前者是

强全序，后者是弱全序.

定义了全序的集合，称为全序集.

偏序集、全序集，统称序集.赋予集合X以序关系R,则将二元序组

X,R称为一个序结构.

设R是集合X上的全序，那么R的逆关系R-1也是X上的全序.例如,

实数集上的和“W”是全序，其边关系和也是全序.

在不致引起混乱的情况下，常用表示严格的序关系，并读作“小

于”；用“W”表示不严格的序关系，读作“不大于”或“小于等于”.

良序和良序集如果序集X的任何一个非空子集M,都有最小元，那么

称此序集为良序集，其中的序关系称为良序.自然数集N关于通常的小于

关系是良序集的典型例子.

从序的概念出发，可以把实数集的稠密性、连续性等概念，推广到一

般有序集上去.

设X是有序集，序关系为<,如果对X的任意两元素a<b,都至少

存在一个元cex,使a<c<b,则称集X的序是稠密的，或集X关于序

<是稠密集.

设A、B是X的两个子集，如果对任意aGA及任意beB,都有aWb,

则说A在B的左边，B在A的右边.如果对任意adA,b£B,有某一元c

ex,使aWcWb,则称c是A与B的一个划分元.显然，若A、B有一划

分元，则A在B的左边或右边.

集X的一个稠密序，如果对X的任两个非空子集A、B,且A在B左

边，都至少有一个划分元，则称集X的序是连续的容易证明，有理数集Q

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关于通常的大小顺序〈是稠密的，但不是连续的；实数集R关于通常的大

小顺序（不仅是稠密的，而且还是连续的.

4.映射和函数

设R是集合X到丫的一个关系，如果对任一xGX,象集Rx都是单

元素集，则称R为集X到Y的映射.若对每个ydY,R-ly都非空，则称

R是X到Y上的满射；若对每个yGY,R-ly都至多含一个元素，则称R

是X至UY的单射.如果X到Y的映射R既是满射，又是单射，则称R为

X到Y的双射.

集合X到Y的双射R,又称为X与Y之间的---映射，即对任一xGX,

有且仅有一个元yCY,使xRy；反之，对任一yGY,也有且仅有一个元x

-1

ex,使yRx.

映射，作为集合X到Y的一种特殊关系，一般记作f：X-Y,并用

fab来代替a,bef或afb.这时我们规定X是f的定义域：DfX.

映射的这种表示，与中学函数符号一致，这不是偶然的.从现代数学

观点来看，函数就是映射.

历史上，函数概念有一个发展和演进的过程.1673年，“函数”一

词，首先由Leibniz1646—1716提出，并用它来表示与自变量或自变

数同时变动的变数.Euler1707—1783发展了这种函数“变量说”，并

创用函数符号yfx,其中f解释为由变数与常数组成的解析表达式.

Dirichlet1805-1859提出函数“对应说”,把函数yfx视为x

取值与y取值之间的对应关系，而这种对应关系并非一定要有解析表达

式.他举出著名的“狄利克雷函数”

来说明这一点.

相比之下，“变量说”对函数概念的外延限制过大，“对应说”则抓

住了函数的本质.但是，当时所说的函数，还只考虑数集之间的对应.19

世纪末以后，函数的定义域和值域都突破了数集的限制，函数理解为集合

X到Y的一种特殊的关系一一映射.这种“关系说”，就是现代数学的函

数观.符号f：X-Y,全面、准确地反映了函数的“三要素”，优于其他

函数记号.

为了方便，同时也为了符合习惯，有时对某些特殊函数采用专门名

称.例如，当函数定义域X是实数集时，称之为实函数；当值域Y是实

第21页，共293页

的或复的数集时，称之为实的或复的数值函数；当X为函数集时，称

之为泛函数等.

本书对函数与映射不加区别，认为是一个概念.但在谈及中学数学里

的函数时，多采用“函数”一词.

映射的复合设有两个映射f:X-Y,g：Y-Z.f与g的复合g°f

是X-Z的映射：对于xex,g°fx=g(fx)E

则g°f就称为复合函数.

-1

逆映射和反函数单射f：X-Y的逆对应f,称为f的逆映射，这时

-1-1-1

也称f为函数f的反函数：f:Y-X.如果f：X-Y是双射，那么f:Y

一X也是双射.

{a,falaGXAA}称为函数f在集合A中的限制.如果

扩充.此时f是f的限制：f=fA.

11

例4设f：Rf乙使对任意XGR,fx〔X)取整函数；fl:N-N,

使对任意nGN,flnn.

则f是函数f在N中的限制：ffN；而f是函数f在R中的扩充.

111

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第三节从集合论观点看中学数学

资源

第三节从集合论观点看中学数学

1.中学数学里的关系

第22页，共293页

中学数学里常见的关系很多，有的是序关系，有的是非序关系；有的

是等价关系，有的不是等价关系，各具个性.现将它们列表如下：

续表

2.中学数学所涉及的映射函数类型

第23页，共293页

I,数集到数集的函数，即数值自变量的数值函数，这是中学数学研

究的主要函数类型，所有初等函数都是这一类。

II.数有序数组集到点集、点集到数有序数组集的映射.如数轴

上点与实数的对应，坐标平面上点与实数对的对应，坐标空间点与三元实

数组的对应，复平面上点与复数的对应等.

III.点集到点集的映集，如几何变换平移、旋转、位似等。

IV.几何图形集到数集的映射，如几何量长度、面积、体积等的度

量.

此外，还有函数集到函数集的映射，如求导数:

fx-f'X

求不定积分：

函数集到数集的映射，如求定积分：