2022-2023学年山西省朔州市应县高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省朔州市应县高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合力={久|y=7久-1},B={y|y=—x+3,久e4},贝！MPIB=()

A.[1,+8)B.[1,2]C.(―8,2]D.(1,2)

2.如图，一个圆台的下底面半径为2,上底面半径为1,高为2.以圆台的

上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分的体积为（）

A117T口107T

A•亍B--C.47rD.3n

3.函数/（©=?的大致图象是（）

4.如图，在圆锥S。中，4B是底面圆。的且径,S。=AB=4,AC=DC,

。为。S的中点，N为4D的中点，则点N到平面SBC的距离为（）

C.1

D.2

5.已知数列满足的+。2+…+他=1，且等1=笠5（九=12…7）,则a1=（）

A.2B.白C.D.

16161616

6.在三棱锥P—ABC中，P4_L底面ABC,4B=2,AC=AP,BC1C71,若三棱锥P—ABC外

接球的表面积为5兀，贝|BC=（）

A.1B.CC.AT3D.7-5

7.函数/'（x）=/—久伉（口久）一二_（a>0）在（o,+oo）内存在零点，则实数a的取值范围是（）

A.[e,+oo）B.[1,e）C.（0,1]D.[1,+oo）

8.已知a,bER,则喘>1”是“a>b”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知函数/'（%）=V_5cosx+s讥%.曲线y=/（久）在点6,/©））处的切线方程为（）

A.y=2久—§+B.y=2x―^--\f-3

/3/3

C.y=-x+1+V_3D.y=-x+^-V-3

10.已知0<a<b<2,则下列关系正确的是（）

A.aa<bbB.aa>bbC.ab<baD.ab>ba

11.已知随机变量X服从正态分布N（2,屋），若P（1<X<3）=O.4,则P（XW1）=（）

A.0.2B,0.3C.0.4D,0.6

12.2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，

神舟十五号航天员安全返回地球.为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞

赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书.为了鼓励学生参加，

学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励50元奖品，参加了复赛的学生再奖励100

元奖品.现有4B,。三名学生报名参加这次竞赛，己知4通过初赛，复赛的概率分别为，|：

B通过初赛，复赛的概率分别为|,i；C通过初赛，复赛的概率与8完全相同.记这三人获得奖

品总额为X元，则X的数学期望为（）

C2000n1000

A.350B.300C3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量为=«,1—。，b=(t,4)，若五13，贝！k=.

14.已知椭圆C；盘+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，6，尸2过6且斜率为正的

直线I与C交于4B两点，且点4在久轴下方,设△ABF?,ABF1F2,△ABF2的内切圆的半径分

别为q,上，Q,若椭圆。的离心率为，且6+乃=2「2，则直线/的斜率为.

15.已知THeR,若直线+y+1=0与直线6：9%+my+2m+3=0平行，则m=_.

16.已知偶函数f(%),对任意的％都有2/(%)+%/，(%)>6,且/(1)=2,则不等式第2/(%)>

3—-1的解集为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数f(%)=alnx—ax—3(a6/?).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若函数的图像在点(2"(2))处的切线斜率为：，设90)=/(%)—?,若函数g(x)在区

ZX

间［1,2］内单调递增，求实数机的取值范围.

18.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，AB=AD=1,BC=DC=C，PA=2,PC=26，PA1平

面力BCD.

(1)求证：BC_L平面P4B；

(2)求四棱锥P-4BCD的表面积.

19.(本小题12.0分)

已知集合4={x\x2—3x—10<0},B-{x\2—m<x<2+m,m>0].

(1)若根=4,求力UB及(CR/DDB；

(2)若“xeA”是"xGB”成立的,求实数m的取值范围.

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线上并进行作答.注:

如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.(本小题12.0分)

若数列｛斯｝满足厮+1=成，则称数列｛即｝为“平方递推数列”.已知数列｛即｝中，的=8,点

2

(an,an+i)在函数/(久)-x+4x+2的图象上，其中？i为正整数.

(1)证明：数列｛即+2｝是“平方递推数列”，且数列｛lg(an+2)｝为等比数列；

(2)设6n=lg(a„+2)，cn=2n+7,勰=■[""。]事?，求数列｛dn｝的前10项和邑().

(",九为偶数

21.(本小题12.0分)

某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生

中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩

口1T

优秀不优秀

优秀453580

数学成绩

不优秀4575120

合计90110200

(1)根据a=0Q1的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用L(B|4)=鬻^表示在事件4发生的条件下事件B发生的优势，在统计学

中称为似然比现从该校学生中任选一人，设4="选到的学生语文成绩不优秀”，B="选到

的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计L(B|4)的值.

n(ad—bc')2

附：%2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=(x—a—l)ex—1x2+ax,aER.

(1)当Q>0时，求函数/(%)的单调区间;

3

(2)若/(x)有极小值点X1，极大值点%2,且对任意a〉0,/(%1)-f(x2)<ka,求实数k的取

值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：,•・A={%|%21},B={y\y<2},

AC\B=[1,2].

故选：B.

可求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了集合的描述法和区间的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算，考查了计算能

力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：根据题意，一个圆台的下底面半径为2,上底面半径为1,高为2.

则圆台的体积匕=1(4兀+7T+V4TTX7T)X2=手，

挖去半球的体积匕萼=等，

4233

则剩余部分的体积U=匕一/=孚一号=4兀.

工433

故选：C.

根据题意，求出圆台和半球的体积，进而计算可得答案.

本题考查组合体的体积计算，涉及圆台、球的体积计算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：当久<0时，/(%)=^<0,故3,D错误；

又/''(%)=攵要竺，当。<尤<1时，f(x)<0,当x>l时，f'(x)>0,

故x>0时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确.

故选：C.

利用x<0时，/(%)<0,可判断B,D；利用函数的导数判断x>0时图像变化情况，可判断2,C.

本题主要考查函数图象的判断，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：，.7。=AB=4,。为。S的中点,

OA=OD,又AC=DC,OC=OC,

•••△COD=LCOA,・••Z-COA—乙COD=90°,

・•・OC1OA,

以。为坐标原点，OB,OC,OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(2,0,0),C(0,2,0),5(0,0,4).N(—1,0,1)，

贝廊=(-2,0,4)，BC=(-2,2,0)，丽=(-3,0,1),

设平面BCS的一个法向量为元=(久,y,z),

则产餐二：¥=：，令"2,则y=2,z=l,

(n-BC=-2x+2y=0

••・平面BCS的一个法向量为元=(2,2,1),

・••点N到平面SBC的距离为d=喀"=上舞=|.

\n\V4+4+13

故选：B.

利用已知可证0c104,以。为坐标原点，OB,OC,OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直

角坐标系，求得平面S8C的一个法向量，利用向量法可求点N到平面SBC的距离.

本题考查利用向量法求点到面的距离，属中档题.

5.【答案】A

【解析】解：.•.等i=M5=12…,7),

Cl/lIII乙

12TI—1

斯=a「瓦・瓦•….••…—

2I1

=E%=2a七-3)伽=1,2,…,7,8),

ai+a2++a8n2al[(1-1)+(j-1)++(§-5)]

=2a式1-1)=粤=1，解得的二卷

故选：A.

先利用题给条件求得厮=2%(；-左)(n=1,2,…,7,8),列出关于的的方程，求解即可得出答案.

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：PA1底面ABC,BCu底面2BC,

BC1PA,又•••BC1CA,CACiPA=A,

•••BC1面P4C,；PB是Rt△PBC^Rt△PBA的公共斜边，

・••PB是三棱锥的外接球直径，由S=4nR2=5兀今R=?，

设AC=AP=m,贝“PB=2R=Vm2+4=

则爪=1,BC=V4-1=

故选：C.

由已知可得PB是三棱锥的外接球直径，可得PB,设力C=4P=M,进而可得下口2+1=屋,

进而可求BC.

本题考查空间几何体的外接球问题，属中档题.

7.【答案】D

【解析】解：设g(x)=x-ln(a;c)-亡口则/(久)与g(x)的零点相同,

g'(x)=]——晨l)=?(a_竺二)，设八")=a_竺二

Xz'X

则=一尸)；一1)，

所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以八(©max=八(1)=a—1,

①当0<a<l时，/i(x)<0,所以当0<x<l.时，g'(x)>0,当x>l时，g’(久)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以。(久)7nax=5(1)=l-lna-

[11

令m(a)=1—Ina-则zn，(a)=--+

/n(a)在(0,1)上单调递增,

所以zn(a)<m(l)=0,所以g(%)无零点；

②当a=1时，g(%)=x—Inx—

因为g(l)=0,

所以g(%)在(0,+8)内存在零点，符合题意；

③当a>0时，/1(%)=。一?在(0,+8)内存在2个零点，设这2个零点分别为%1，%2,

则。一用一=0,不妨设%1<%2，

可以得出，当0V%V或％〉％2时，左(%)V0;

当％1<%V%2口寸，/l(x)>0,

因为靖0)=?%(>)，

所以g'(x)=0的根为1,汽1，上，且

当0<x<%]时，，(%)>0,当%1<x<1时，“(%)<0,当1<x<g时，g'(x)>0,当％>x2

时，g'(x)<0,

所以或%)在(0,%1)上单调递增，在。1,1)上单调递减，在(1,犯)上单调递增，在。2,+8)上单调递

减，

因为g(%i)=X]—ln(a%i)——lne%1-1—1=0,

同理可得g(%2)=。，所以此时g(%)在(0,+8)内存在2个零点.

综上所述，a>1.

故选：D.

设g(x)="-ln(ax)-蜷，由f。)与g(x)的零点相同，利用导数法求解判断.

本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及导数的综合运用，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：由”>1”推不出“a>b"，例如a=-2,b=-1,

由“a>b”也推不出噜>1"，例如a=Lb=-2,

所以喟>1"是“a>6”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

9【答案】C

【解析】解：因为/（久）=+s讥久，所以f（与）=/3cos与+sin与=

所以/''（X）=—yT^sinx+cos久,f'G）=-V^sin^+cos|=-1,

所以切点为G，C）,切线的斜率k=-1,

所以切线方程为y-C=一（久一》即，=-万+9+，3

故选：C.

首先求出/。），再求出函数的导函数，即可得到/'©）,最后利用点斜式求出切线方程.

本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：根据0<a<6<2,取a=l,6=|,则可排除B、D；

取a=0.1,b=0,2,则由（（XI。」）】。=0.1,（O.202）10=0.04,可排除4.

故选：C.

根据0<a<b<2,取a=L6=^和（1=0.1,b=0.2,即可排除错误选项.

本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

11.【答案】B

【解析】解：根据题意可知正态分布曲线关于直线尤=2对称，

...p（XW1）=^=0.3,

故选:B.

根据题意可知正态分布曲线关于直线x=2对称，据此可解决此题.

本题考查正态分布曲线中概率计算问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题.

12.【答案】D

【解析】解：由题知X的所有可能取值为150,250,350,450,

2侬=150)1=1*91寺=21,

1111215

XXXX-

P(X=250)3-3-2-3-

18

n-7CLC、-121122-4

P(X=350)=2n2x-x-x-+-x-x-3=-,

1222

P(X=450)=ix|x|=|.

所以X的数学期望E(X)=150x白+250x亮+350x^+450、|=竿(元).

ioioyyo

故选：D.

求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望.

本题考查了离散型随机变量期望的计算，属于中档题.

13.【答案】2

【解析1解：a1

a,b=/+4(1—t)=(t-2)2=0，t—2.

故答案为：2.

根据五1亩导出五不=0,然后进行数量积的坐标运算即可求出t的值.

本题考查了向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.

14.［答案］2。

【解析】解:设4(久1，月)，B(x2,y2),由题意可知为<0,y2>0,

设椭圆方程为m+4=1,焦距为2c,

由题意可知，-=即Q=2C,所以炉=q2—=3。2,

a2

根据几何关系可得q=那=a1

一而％=一处

「2=急=热%=3如73=素、2_yi)=；(乃一%)，

_1]2

由+73=2厂2可得=g71+[(、2-71)=§丫2,

化简得普=一:,

所以红以=—=i

7+5

y2-yi6

22

所以生吗=(密"_=1①

%一y。Qz+y1—4y*236

设直线48方程为y=k(x+c),

将其与椭圆方程a+*=1联立可得(3+4/c2)y2—6kcy—3k2b?=0,

所以有为+%=舟，y，2=—2笺，

3+4/c八九3+4k‘

将其代入①化简得三=亲解得k=士2C，

又k>0,所以k=2A/-2.

故答案为：2A/~攵.

设2Q1，比)，B(x2,y2),而后根据已知条件建立等式得出4与B坐标之间的数量关系，

再设直线48的斜率为k,利用韦达定理建立方程解出k即可.

本题主要考查椭圆相关性质，设4B点坐标并利用韦达定理得出关于直线4B斜率的方程是解决

本题的关键，属中档题.

15.【答案】3

【解析】解：meR,若直线1］：nu:+y+1=0与直线"：9%+my+2?n+3=0平行，

则小大。且2大竽，

m11

则TH=3,

故答案为：3.

由题意，根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，计算求得小值.

本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属

于基础题.

16.【答案】{x|x<—1或x>1或久=0}

【解析】解：令g(x)=x2f(x)-3x2,

,•,对任意的％都有2/Q)+xf'(x)>6,

二当x>0时,g'(x)—x(2/(x)+xf'(x)—6)>0,

・•.g(x)在(0,+8)为增函数，

为偶函数，

g(x)=x2/(x)-3〉也是偶函数.

又/(1)=2,

・•.x2/(x)>3x2—1Qg(%)=x2/(x)—3x2>—1,

①当％=0时，原不等式成立；

②当％H0时，•・•-1=l_2f(1)一3X1?=g(i),原不等式可化为g(%)>g(l),

由g(%)在(0,+8)为增函数今|x|>1,即％>1或久<-1；

・,・不等式%2/(%)>3x2-1的解集为{%［%>1或％<-1,或％=0},

故答案为：{%|%>1或％<-1,或久=0}.

令g(%)=//(%)—3/,由题意，可得g(%)为偶函数，且在(0,+8)上单调递增，所求不等式

//(%)>3/一1可等价转化为g(x)>g(l),继而可得无的范围，注意分析％=0的情况.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力运算求解能力，易漏掉％=。的情况,

是易错题，属于中档题.

17.【答案】解：(l)f(x)=^-a=^^(x>0),

当a>0时,/(%)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+8)；

当Q<0时，/(%)的单调增区间为(L+8),减区间为(0,1)；

当。=0时，/(%)不是单调函数.

1

(2)：-(2)=p

a-殍=解得a=-1,

f(x)=-Inx+x-3,g(x)=/(*)-£=—Inx+x—3-^(x>0),

又“(比)=Y+1+段=^^(x>0)，

gO)要在区间［1,2］上单调递增，只需g'Q)>。在［1,2］上恒成立，

2

即/—%+m>。在［1,2］上恒成立，即zn>(%—x)max,

2

又在［1,2］上(久-x}max=0,

・••山的取值范围为［0,+8).

【解析】(1)求导，分类讨论a>。，a<0和a=0三种情况讨论单调性即可；

(2)根据导数的几何意义求出a,然后根据贝久)在［1,2］单调递增，得到g'Q)>。在［1,2］上恒成立,

然后求最值即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨

论思想及运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：在四棱锥P—ABC。中，因为24_L平面ABC。，8Cu平面48CD,ACu平面

ABCD,

所以PAIBC,PA1AC,因为PA=2,PC=所以AC=2.

因为48=AD=1,BC=DC=

所以AB?+BC2=力。2+。。2=4。2,所以ADi£)c,

AB1BC,由PAIBC,AB1BC,PAHAB=A,可得BC_L平面P4B.

(2)解：四棱锥P-4BCD的表面积，是四个侧面积的面积与底面积的和.

由题意可知S-Dc=S-BC=|x/[5xBC=|xlx^=^,

11

XABXX产X1X21

2--2--

由(I)可知，PBu平面PAB,

BC1平面P4B,

所以BC1PB,同理可得DC1PD,

又BC=DC=PB=PD=712+22=6,

所以S&CBP=S^CDP

所以四棱锥尸-4BCD的表面积s=2x(?+1+竽)=2+v-3+<15.

【解析】(1)证明P21BC,AB1BC,然后证明BC1平面248.

(2)推出BC1P8,DC1PD,然后转化求解四棱锥P—4BCD的表面积.

本题考查柱、锥、台体的表面积的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与计算能力,

是中档题.

19.【答案】解:(1)由已知得4=(—2,5),CR2=(―8,—2]U[5,+8),

当m=4时，B-[—2,6],

所以4UB=[—2,6],

所以©4)08={-2}U[5,6]；

(2)若选①：“Xe4”是“久eB”成立的充分不必要条件，则4£B,

>n>0

所以2-血工一2,

2+m>5

解得m>4,

所以实数血的取值范围是［4,+8);

若选②：因为“％GA”是“xGB”成立的必要不充分条件，所以BS4

>n>0

所以2—zn>—2,

2+zn<5

解得。<m<3,

所以实数m的取值范围是(0,3).

【解析】(1)根据集合的基本运算求解；

(2)若选①，贝IJZ是B的真子集，从而得到关于血的不等式，求出血的取值范围即可；若选②，所

以8是4的真子集，从而得到关于m的不等式，求出血的取值范围即可.

本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：因为点(册,。九+i)在函数/(%)=/+4%+2的图象上，

所以出=欣+4an+2,

即Q九+1+2=(ctn+2)2,

即数列｛。九+2｝是“平方递推数列”，

又％=8,

则IgQi+2)=lg(8+2)=1>0,

对册+1+2=Q尤+2)2两边同时取对数得IgQ九+1+2)=21g(c1n+2),

二数列｛坨5+2)｝是以1为首项、2为公比的等比数列；

(2)解：由(1)知砥=1g(册+2)=2九t,

所以Sio=(瓦+外+优+与+力9)+(C2+。4++。8+C10)

1-45,(2x2+7+2x104-7)x5

=----------------------

1-42

1

=1x(1024-1)+95

=436.

2

【解析】(1)由数列递推式可得%i+i+2=(%+2),两边同时取对数得+2)=21g9n+

2),得证；

(2)结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可.

本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列及等比数列的求和公式，属

中档题.

21.【答案】解：(1)零假设为:数学成绩与语文成绩无关，

2

根据表中数据计算得，X2=200X(45X75-45x35)=在=

90x110x80x12011

根