CH7 高等数学第七章

习题7-11—5题写在书上，6题写在作业本上习题7-21题，2题一半，3题一半，4题，5—8题写在书上。习题7-32、3题写在书上，4题全部习题7-41题，3题的6个小题，4题，6题习题7-51题一半，2题一半第七章的习题希望认真地做一些作业，以便更好地理解所学内容2024/5/121同学们，你们好！How’severythinggoing，

Mychildren！2024/5/122第六章无穷级数数项级数函数项级数幂级数傅立叶级数2024/5/123正如有限中包含着无穷级数，而无限中呈现着极限一样，无限之灵魂居于细微之处，而最紧密地趋近却并无止境．区分无穷大之中的细节令人喜悦！小中见大，多么伟大的神力．—雅克·贝奴里Jakob．Bernoulli，1654—1705，瑞士数学家2024/5/124第一节常数项级数有关概念级数性质2024/5/125什么叫做级数？设有一个无穷数列则表达式就称为常数项无穷级数．称为级数的一般项或通项．叫级数的部分和或前n项和．称为级数的余项(和）或余级数．部分和构成的新数列称部分和数列．2024/5/126对于级数，我们能做些什么？第一，首先应看这样的和是否存在，即级数的收敛性问题．如何判别这样的和是否存在？第二，如果级数的和存在，如何求出？第三，级数技术的简单应用．2024/5/127一．数项级数的收敛性概念定义

若级数的部分和序列的极限存在，即存在，则称级数（※）收敛，相应的极限值称为级数的和．否则就说级数是发散的．收敛级数的和可记为注１发散的级数没有和；注２收敛级数中如果用作为S的近似值，则产生的误差为再次看到极限的威力了吧！2024/5/128例１讨论级数的收敛性．解因为级数的部分和序列的项随n的增大在0和1之间摆动，故不存在．从而级数发散．此级数被称为“魔鬼级数”，在数学的发展史上曾迷惑了众多著名的数学家．比如有人得出而贝奴里家族有3人,Leibnitz,Euler,Lagrange等一代大家用各种各样的方法得到该级数的和是1/2.这就是发散级数的魔力所在.(当然还有另外的例子)2024/5/129例２判定级数的收敛性解级数的前n项和故仅当|q|<1时，存在，且从而级数称为等比级数或几何级数．q

称为公比．牢记结论当q=1时，当q=－1时，或0当时收敛，且级数当时发散。2024/5/1210等比级数是经常使用的，因此要牢记结论．如果不注意条件，就会闹出许多奇怪的结果．比如，Leibnitz就曾经得到过历史上最多产的数学家Euler也曾有的荒唐结果．这说明级数的收敛性是多么的重要！关于“魔鬼级数”及本屏的例子可参见M.Klein著《古今数学思想》第二册。2024/5/1211几何级数是收敛级数中最重要的一个级数．阿贝尔曾经指出：“除了几何级数之外，数学中不存在任何一种它的和已经被严格确定的无穷级数”．几何级数在判别级数收敛性、求级数的和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有着广泛而重要的作用．Niels

HenrikAbel，1802—1829，挪威数学家2024/5/1212例3讨论级数的收敛性解因为级数的前n

项和而所以2024/5/1213例4讨论的收敛性而所以2024/5/1214例5讨论调和级数的收敛性．解作函数的图象123456xy再以[n,n+1]为底,f(n)为高作矩形,则其面积于是，有2024/5/1215一般地，有但从而，调和级数发散．因此调和级数也是非常重要的一个级数．2024/5/1216当

n

越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而,慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任何有限值.调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷.它的发散性是由法国学者尼古拉.奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的.下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数.这个级数的前一千项相加约为7.485；前一百万项相加约为14.357；前一万亿项相加也不过仅仅28而已；而如果要调和级数的和超过100，有人估计需要前10的43次方项相加，即使每一项只占1毫米的位置，要把这些项写出来，也要10的25次方光年，而宇宙的已知尺寸据估计也就不过10的12次方光年。数学史料2024/5/1217二．级数的性质下面介绍级数的简单性质，主要是收敛级数的性质，这是我们在处理级数问题时经常用到的性质１(级数收敛的必要条件)如果级数收敛，则此性质是级数收敛的必要条件，而非充分条件．比如调和级数因此，用它并不能判断级数是收敛的，但有时可非常容易判断级数的发散．例如，魔鬼级数的一般项其极限不存在，从而魔鬼级数发散．当等比级数的公比的绝对值不小于１时，有类似的情形．例7-1-5也是如此。2024/5/1218性质2如果级数都收敛，则级数也收敛，而且性质３是说，两个收敛级数的一般项的和(差)为一般项的新级数不仅收敛，而且新级数的和为原来两级数的和（差）．即可以逐项相加减。性质3用非零常数k

乘级数的每项后得到的新级数与原级数有相同的敛散性．即的敛散性相同．但注意k

不能为０．性质４告诉我们，不管级数是否收敛，分配律总是成立的．2024/5/1219性质4级数前面增加或减少有限项，不改变级数的收敛性．即级数(m

为确定的正整数)与有相同的敛散性.此性质是说,为了讨论级数的收敛性问题,可以加上或去掉有限项.这样就给我们的讨论带来了方便.性质5对收敛的级数，结合律成立！即收敛的级数可以任意加括号！对发散的级数则不可！！想想“魔鬼级数”？因此我们讨论级数收敛与否，不必考虑前有限项！2024/5/1220以下问题提供给同学们思考：问题１：性质4中的有限项的条件是否可以去掉？问题２：对于性质2，如果去掉条件两个级数都收敛，你可以得到什么样的结论？问题３：如果和级数收敛或发散，有何结论？2024/5/1221对于问题２和３，可完成下列表格：收敛收敛收敛发散发散发散收敛发散收敛发散收敛发散填入收敛，发散，不定等想想极限的相关事实？！参考例7-1-62024/5/1222第二节正项级数2024/5/1223一．正项级数的收敛性如果级数的每一项都是非负的，则称为正项级数．对于正项级数，其部分和序列是单调不减序列故若再有界，根据极限存在的单调有界准则，则部分和序列的极限存在，从而级数收敛；如果部分和序列无界，则，那么级数发散．因此我们有基本定理正项级数收敛的充要条件是其部分和序列有界．之所以叫做基本定理是由于它是推导其它判别准则的基础．正项级数要么收敛，要么趋于正无穷大！2024/5/1224例1讨论p－级数的收敛性．解当p＝1时，级数是调和级数，对应p级数发散．当p＜1时，由于由于调和级数发散，知p级数发散．当p＞1时，123456xy如图构造函数和矩形，则有一般地，2024/5/1225故p

级数的前n

项和即有上界,据基本定理,收敛.总之,当p＞1时，收敛.发散．记住此结论！使用比较判别法时常用一些熟悉的级数．2024/5/1226当记住了p级数的收敛性之后，可思考以下问题：若正项级数收敛，那么以下级数哪个收敛？哪个发散？假如发散，情况又怎样呢？未来的重要思考：如果不是正项级数，你的结论还成立吗？！2024/5/1227基本定理是判别正项级数收敛与否的重要依据，但有时候部分和是很难化简的，从而判断有界性也是很困难的。因此我们需要一些“形式”上比较简单的、容易使用的判别正项级数收敛性的法则。特别要注意的是：这些法则大都是以基本定理为前提证明的。二、几个常用的正项级数审敛法1.积分判别法(Cauchy)若存在某个正数a

，使f(x)在区间上是连续单减的正值函数，则与同时收敛，同时发散。本判别法将正项级数的收敛性与广义积分的收敛性联系在一起了。2024/5/1228例2讨论的收敛性。解设则在区间上，且连续单减，而据积分判别法时，原级数收敛；时，发散2024/5/12292．比较判别法(James贝奴里,1692)(1)如级数收敛,设是两个正项级数，且则收敛;(2)如级数发散,则也发散．简单地说：小的发散，则大的发散”．“若大的收敛，则小的也收敛；使用比较判别法的关键是找到一个合适的用以比较的级数，这需要经验及积累，记住一些常见的级数的收敛性．重要思考问题：如果不是正项级数，此判别法是否还成立？！如几何级数和p级数？2024/5/1230例3判别下列级数的收敛性由p

级数的收敛性和比较判别法，知（1）发散，而（2）收敛简单分析：2024/5/1231（3）使用积分判别法极易，使用比较法稍繁。利用熟知的事实：当当n

很大时，即然后利用比较法和p

级数的收敛性，知原级数收敛2024/5/1232先对级数的通项进行估计：然后利用比较法和p

级数的收敛性，知原级数收敛注意不能放得过大！2024/5/1233下面介绍比较判别法的极限形式：设都是正项级数，如果(C是常数)，则两个级数的敛散性相同．从以上的例子中，有时利用比较判别法是不容易的也许好用？注意这是教材推论的主要部分！！其特点是可以利用无穷小比较的知识！2024/5/1234例4判别收敛性．解由比较判别法的极限形式，知与有相同的敛散性．但后者是p＝2的p

级数，收敛．所以，原级数收敛．思考：你能用比较判别法完成此题吗？聊举一例．当p

满足何种条件时，级数收敛2024/5/1235还记得等价无穷小吗？结合等价无穷小以及p级数的收敛性，利用比较法的极限形式，可以解决一些级数的收敛问题！比如：这些级数的收敛性如何？教材例7-2-42024/5/12363．比值判别法(D’Alembert,1768)比值判别法是另一种方便的判别正项级数收敛性的方法．相对于比较判别法，它无须寻找另外的级数．因此在某些意义下，是更简单的判别法．定理设是正项级数，而(1)若ρ<1，则收敛；(2)如ρ>1，则发散；(3)若ρ=1，此判别法失效．注：ρ>1，可以是正无穷大！2024/5/1237例5讨论下列两个级数的收敛性：解由达朗贝尔比值判别法，第一个级数发散，而第二个级数收敛。2024/5/1238例6判别的敛散性．解由于由比值判别法，所给级数发散．极限是多少？2024/5/12394．根值法(Cauchy)定理对正项级数，若(1)若ρ<1，则收敛；(2)如ρ>1，则发散；(3)若ρ=1，此判别法失效．注：如同达朗贝尔比值法，当ρ>1，可以是正无穷大！从使用角度看，根值法与比值法是等效的，但根值法用得较少，比值法用得较多！2024/5/1240例7判定的收敛性.解由柯西的根值法，级数收敛.判定的敛散性。由柯西的根值法，级数收敛.2024/5/1241一般地，我们要判定一个数项级数是否收敛，第一步检查一下级数的一般项是否趋于0．若不趋于0，则由级数收敛的必要条件，级数发散；若趋于0，再检查是否正项级数(注意:只需某项之后的所有项非负即可);如果是,则可应用比较法,比值法,根值法等判定.如果不是正项级数,则需要用其它的方法.2024/5/1242第三节一般项级数2024/5/1243当一个数项级数含有无穷多个正项和无穷多个负项，则称为一般项级数。首先我们讨论特殊的一般项级数—交错级数：正项和负项交替出现的级数。一．交错级数，Leibnitz准则所谓交错级数，是各项正，负相间的级数．一般形式为或其中这不是正项级数，其收敛性不能用上节的判别法判定．如果只有有限个正项或只有有限个负项怎么办？2024/5/1244Leibnitz在1713年10月25日给约翰.贝奴里的一封信中，对交错级数的收敛给出了以下判别准则：如果(1)那么交错级数收敛，而且级数的和的绝对值余项的绝对值Leibnitz准则注意：1.满足Leibnitz准则的交错级数可被称为“Leibnitz级数”。2.准则中的第二个条件是必要条件，而第一个却不是。换句话说，即使第一个条件不满足，交错级数也可能收敛！2024/5/1245例1判别以下级数的收敛性：解显然两个级数都是交错级数．对第一个级数，因为且故由Leibnitz准则，级数收敛．如果用前10项的和作为级数的和的近似值,则误差不超过1/11.至于第二个级数，由于故根据级数收敛的必要条件知，该级数发散．更一般些，当p>0时，收敛2024/5/1246二．任意项级数的收敛性—绝对收敛与条件收敛对任意项级数，并没有一个统一方法解决收敛性问题，但我们有一个办法解决其中的一批级数．即定理如果级数收敛，则级数必收敛．这个定理把许多任意项级数的收敛性的判别问题化为了正项级数的收敛性判定问题．我们把级数叫做的绝对值级数上面的定理可叙述为：“若绝对值级数收敛，则原级数必收敛”。2024/5/1247如果级数收敛，则级数必收敛，此时，称是绝对收敛的；如果收敛，但发散，则称条件收敛．这样，上面的定理又可以说成：“绝对收敛的级数必是收敛的”定义2024/5/1248例2讨论以下级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)但收敛；由比较判别法收敛，故绝对收敛。由于x

可以取任何实数，级数是一般项级数2024/5/1249（2）级数是莱布尼兹级数，故收敛；但其绝对值级数发散，故原级数是条件收敛的。问题：若收敛，则必收敛吗？2024/5/1250（3）这也是一个交错级数，但由于故由级数收敛的必要条件，知发散。2024/5/1251（4）x>0时，级数是正项级数，x<0时是交错级数。首先考虑其绝对值级数由达朗贝尔比值法时，原级数绝对收敛；时，发散；时为什么？2024/5/1252故原级数发散。总之，时，原级数绝对收敛；时，原级数发散。2024/5/1253最后，我们指出以下几个关于运算律的事实：(1)无论级数是否收敛,分配律总是成立的;(2)收敛的级数满足结合律,发散则不可(参见“魔鬼级数”)(3)绝对收敛的级数满足交换律.再次强调一下判定级数收敛性的一般步骤:(1)检查一般项是否趋于0?(2)是否为正项级数?(3)是否交错级数?是否可使用Leibnitz准则?(4)绝对收敛还是条件收敛?抑或发散?2024/5/1254第四节幂级数什么是幂级数收敛范围如何有何运算规律如何求其和2024/5/1255前面几节的级数中的每项都是常数，而下面级数的通项是函数。一、函数项级数的概念是定义于区间I

上的函数的无穷序列，则称为函数项级数，而称为函数项级数的前n

项和或部分和2024/5/1256对于区间

I

内的点若数项级数收敛，则称为函数项级数的一个收敛点，否则叫做发散点。函数项级数的所有收敛点的集合D

叫收敛域。对于收敛域内的每个点x

，都有函数项级数的一个和值与之对应，这样就确定了一个定义在收敛域上的函数S(x)，叫做函数项级数的和函数。函数项级数的和函数S(x)与部分和的差，叫余项，记作显然对收敛域内的每个点x，2024/5/1257例如：函数项级数是公比为x

的几何级数。我们已经知道：当且仅当时，级数收敛，故收敛域为对收敛域内的点x

，故几何级数的和函数为我们讨论函数项级数的主要任务就是确定收敛域，并设法求出和函数！2024/5/1258二．幂级数及其收敛半径幂级数是最简单的函数项级数，也是最重要的，可以看作是多项式的推广．１．什么是幂级数？形如或的级数．我们仅讨论前者，至于后者是不难化为前者的．因此，以后我们说到幂级数总指前者．2024/5/1259２．幂级数的收敛域对于幂级数其收敛域一定是非空的，起码x=0属于收敛域！一般地如何求幂级数的收敛域呢？我们可以使用以下的Abel定理：若是的收敛点，则对满足条件的一切x

，幂级数都绝对收敛；若是的发散点，则对满足条件的一切x

，幂级数都发散。2024/5/1260几何说明收敛区域发散区域发散区域由Abel定理，立知：幂级数收敛域必是以原点O为中心的区间故收敛域可分为以下三种情形：3.只有一个点：x=0。1.有限区间：2.无限区间：叫收敛半径，叫收敛区间。2024/5/1261看起来，只要求得了收敛半径R，立即可得到收敛区间，确定收敛域就只剩下个别点了！那么如何求得幂级数的收敛半径R呢？可依据以下定理：对于幂级数则请与正项级数的比值判别法比较，若2024/5/1262关于定理的几点说明：1.定理可改为：2.考虑到柯西根值法与达朗贝尔比值法的等效性可以改为：3.如果是缺项的幂级数，可不用定理，直接使用比值法（或根值法）求得收敛区间！即解不等式得收敛区间4.如果幂级数形如则收敛区间为2024/5/1263求下列幂级数的收敛域:解例1收敛区间为在区间端点，级数分别成为前者收敛，后者发散，故幂级数的收敛域为2024/5/1264例2解故幂级数的收敛域只含一个点幂级数的收敛半径2024/5/1265例3收敛区间解收敛区间为在区间端点，级数分别成为都收敛，故幂级数的收敛域为2024/5/1266解由缺少奇次幂的项例4直接使用比值法！解得收敛区间区间端点使得原级数发散，故以上区间就是收敛域。能否用根值法？事实上，注意到此级数是公比为的几何级数，收敛区间立即可得。2024/5/1267三．幂级数的运算１．代数运算性质幂级数的收敛区间分别为则在他们的公共区间内可进行下列计算：①和差运算②乘法运算其中Cauchy乘积除法几乎没用！2024/5/1268２．分析运算性质④幂级数在其收敛区间内，可逐项求导，且收敛半径不变．③幂级数在其收敛域内连续。因此即⑤幂级数在其收敛区间内，可逐项积分，且收敛半径不变．2024/5/1269例如：已知两边求导，得即如果对已知级数两边积分令则可得这就是教材的例7-4-5积分区间是？2024/5/1270例5求幂级数的和函数。解由知收敛半径为故级数的收敛域为设和函数求导得两边积分但所以2024/5/1271解两边积分得2024/5/1272例7求数项级数的和解构造幂级数易知收敛域是故所求数项级数之和为所以利用幂级数的和函数求数项级数之和的方法叫做Abel法几何级数2024/5/1273常用的幂级数的和函数：思考：还有一个“二项式”级数，这五个是需要记下的！！注意：这样的记法并不完整，一定要写出收敛域！！2024/5/1274第五节函数的幂级数展开三个问题：１．什么是函数的Taylor展开式？２．泰勒展开式是否就收敛于某指定的函数？３．如何展开？（重点）2024/5/1275多项式是具有良好分析性质的简单函数，那么能否把一个较复杂的函数表达成一个多项式来讨论？一般来说，这不容易办到．但是能否用幂级数呢？在某些条件下这是可能的，也是在实际应用中非常重要的方法．如果函数f(x)在以为中心的一个区间内可以用收敛的幂级数表示，即则称函数可展开为幂级数，而等式右端的幂级数叫做函数的幂级数展开式。2024/5/1276一、泰勒级数如果函数可展开为幂级数，则该幂级数是什么形式的？即系数应该是什么？定理1如果则也就是说定理表明函数的幂级数展开式是唯一的！蓝色式子右端的幂级数称为函数f(x)的Taylor级数特别地，当时，叫做Maclaurin

级数。好苛刻的条件！！Taylor系数2024/5/1277Taylor级数的前n+1项之和叫做函数

f(x)在点的n

阶Taylor多项式，记作而称为n

阶Taylor余项余项的作用是用以控制截断误差的！2024/5/1278对一个函数，只要其任意阶导数存在，就可以写出它的泰勒级数，那么这个幂级数收敛于原来的函数吗？答案是：不一定．这就是说，写出的泰勒级数也不能用．只有在收敛的部分（收敛到已知函数）才有意义．那么在什么样的条件下，一个函数能用其泰勒级数表示呢？我们有下面的收敛定理：例子定理2若f(x)在点有任意阶的导数，则在内，f(x)的Taylor级数收敛于f(x)的充要条件是2024/5/1279只有在此时，才有下面的等式成立！我们在把一个函数展开为幂级数时，必须要验证余项趋于零这一步！！二、泰勒中值定理根据定理1和定理2，已经可以把函数展开为泰勒级数，但是还有困难：余项的形式是一个级数形式，验证趋于零很不容易！另外从使用的角度，要求函数具有任意阶的导数，这样的条件也太苛刻了点。2024/5/1280为此，我们给出下面的Taylor中值定理设

f(x)在的附近的点有直到n+1阶的导数，则对附近的任一点x

，至少存在一个介于和x

之间的点，使得n

阶泰勒多项式Lagrange型余项2024/5/1281几点说明：1.定理的条件要比定理2的条件弱的多，故使用范围得到了扩大；2.Lagrange型余项替代了级数形式的余项，验证更方便；3.定理中出现的公式叫做n

阶Taylor中值公式，而0阶Taylor公式正是Lagrange中值公式。因此Lagrange公式是特殊的Taylor公式！有时候偶尔也会用到Peano

型的余项：2024/5/1282介于0与x

之间这是常见常用的公式4.时，公式是Maclaurin

公式：2024/5/1283三、如何把一个函数展开为其泰勒级数把一个函数展开为幂级数（麦克劳林级数）有二法：直接法和间接法．１．直接方法：１）求各阶导数２）写出泰勒级数，并求出收敛区间；3）在收敛区间内，验证余项趋于０。2.间接方法：利用已知函数的幂级数展开式、收敛域及幂级数的运算性质，写出函数的幂级数展开式的方法。2024/5/1284例１求的Maclaurin展开式．解故已知函数的泰勒级数为此级数的收敛区间是而泰勒余项的绝对值所以的幂级数展开式为注意补充必要的步骤直接方法哪种类型的余项？？2024/5/1285例2解在讨论余项时，可简化为讨论是否存在M,使直接方法2024/5/1286例3解牛顿二项式的推广直接方法2024/5/1287例子中我们略去了讨论余项的步骤！注意:你能利用二项式级数写出的马克劳林展开式吗？此级数称为二项式级数这几点不需要记！2024/5/1288间接法的例子利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.这是常用的方法，但前提是必须记住一些常见的