ch8 高等数学第八章

空间解析几何SpatialAnalyticGeometry第七章空间直角坐标系向量代数平面与空间直线简单曲面与曲线5/12/20241解析几何是几何与代数相结合的典范，自从１７世纪中叶诞生，数学进入了变量时期。因此它的发明人笛卡儿和费尔马被称为“近代数学的先驱”，而解析几何的发现也被称做“数学史上的里程碑”．我们为了讨论多元函数，也有必要对空间解析几何的简单知识有所了解．这些知识对培养空间想象能力有着非常重要的作用．§8．1空间直角坐标系中学我们学过当在平面上建立直角坐标系后，平面上的点就与有序的数对建立了一一对应，而空间直角坐标系只须增加一条坐标轴。在建立了空间直角坐标系后，空间的点就与有序的三个实数建立了一一对应．5/12/20242横轴纵轴竖轴原点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间点的直角坐标空间直角坐标系的定义（见教材）右手螺旋管法则5/12/20243Ⅶ面面面三个坐标面将空间分成了八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ一个原点；三条坐标轴；三个坐标平面5/12/20244易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。八卦定吉凶，吉凶生大业（八卦演万物）。（八八六十四卦，卦卦定乾坤）—伏羲《易传-系辟上传》5/12/20245空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点原点5/12/20246x0zyM点关于坐标平面、坐标轴、原点的对称点关于xoy面:(x,y,z)

(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)

(x,-y,-z)Q0关于原点:(x,y,z)

(-x,-y,-z).M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)5/12/20247二、空间两点间的距离5/12/20248空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为5/12/20249解原结论成立.阅读教材第3页的例子．怎样验证是否直角三角形？5/12/202410§8．1结束5/12/202411§8．2向量及线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、向量的坐标表示5/12/202412向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或或（矢量、矢量长度、幺矢）是什么意思？5/12/202413自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.什么是反向量，逆向量，矢径？也作位置向量。5/12/202414１．加法：平行四边形法则：特殊地：若‖分为同向和反向二、向量的线性运算三角形法则：多角形法则5/12/202415向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）２．减法5/12/202416３．数乘向量5/12/202417数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系5/12/202418按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.同时也表明：任一个向量都可以写成该向量的模(数)和与该向量同向的单位向量的乘积．5/12/202419例1

化简解5/12/202420三、向量的坐标表示zOxyijkaMAB设是一向量，把它平移使其始点与坐标原点O重合．如图则易知：如果分别是与坐标轴同向的单位向量，则基本单位向量5/12/202421故向量分解式或记为向量的坐标(注意括弧)由此可以看到：一点的向径的坐标与该点的坐标是相同的．注意有些教材有不同记号．向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式用向量分解式怎样表示？思考：怎样用坐标判断二向量平行？5/12/202422例２如果两点，则即向量的坐标为终点坐标减去始点坐标．例３推导线段的定比分点公式．ABM为两已知点，Ｍ点分有向线段AB的比为λ，求Ｍ点的坐标．设设Ｍ点的坐标为叫分割比5/12/202423由题意知：平面解析几何的定比分点公式为何？5/12/202424非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.向量的模与方向余弦的坐标表示式5/12/202425由图分析可知方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量的方向余弦5/12/202426向量的方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为若5/12/202427例如：则方向余弦注意要阅读教材的几个简单例子(10—12页）下面的例4稍复杂点。5/12/202428解5/12/2024295/12/202430第三节向量代数——乘法向量的乘法有两种：数量积和向量积5/12/202431一、两个向量的数量积物理背景：功．定义设两向量夹角为则称为两向量的数量积，记作由于用这种方法作出的乘积的结果是一个数量，故称为数量积．也叫内积、点积。由定义，立即可得：5/12/202432特别注意：零向量垂直于任何向量！数量积符合下列运算律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：特别地，基本向量组是正交组：即5/12/202433两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为利用数量积的定义及运算律可以推出：数量积的坐标表示式若则5/12/202434一向量在另一向量上的投影（射影）为例如向量：在三个基本向量方向上的投影分别为想想：何时投影大于零？等于零？小于零？5/12/202435例1已知向量求：（1）两向量的内积；（2）两向量夹角；（3）一向量在另一向量上的射影。解（1）（2）（3）5/12/202436二、两个向量的向量积物理背景：力矩．定义两个向量的向量积是一个向量，其大小方向由向量积亦作外积、叉积．关于定义的说明：外积的结果是向量，故名向量积；的模是以为邻边的平行四边形面积．构成右手系而决定．且5/12/202437由定义，立知：特别地，考虑零向量与其它向量是否平行？对于向量积，下列运算律成立：１）反交换律：２）分配律：３）数量对外积的结合律：利用定义可知三个基本向量的向量积为：5/12/202438设利用向量积的性质，可以得到向量积的坐标表示式为便于记忆，可写作：或者更整齐些二阶行列式三阶行列式5/12/202439例2你能求出与都垂直的单位向量吗？答案：5/12/202440解三角形ABC的面积为Why?注：5/12/202441三、向量的混合积定义是一个数，叫这三个向量的混合积，常记作我们不加证明地给出以下的事实：向量混合积的几何意义(?)：如图的平行六面体的体积．由此，有：共面5/12/202442例4已知求解１解２若已知四点的坐标，怎样求以这四点为顶点的四面体体积？（参考例8-3-7）5/12/202443§8.4

平面与空间直线平面的方程：点法式方程一般方程截距式方程三点式方程直线方程：点向式方程对称式（标准式）方程参数式方程两点式方程一般方程5/12/202444一、平面的方程１．点法式方程所谓平面的方程是指平面上任意点满足的代数等式．设平面过已知点且与非零向量垂直，求平面的方程．设平面上任一点的坐标为用坐标表示这就是平面的点法式方程．求平面方程的基本方法则向量5/12/202445其中叫做平面的法向量，它垂直于平面内的任一向量．注意：阅读例8-4-1、8-4-2、8-4-3．（p．22—23）２．一般方程把点法式方程改写为其中则是平面的一般方程．平面方程的最常用形式5/12/202446取法向量解所求平面方程为化简得做几何题目要想到图形！5/12/2024475/12/202448设平面方程为由平面过原点知解所求平面方程为5/12/202449平面的一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.可类似地讨论或5/12/202450设平面为将三点坐标代入得解３．平面的截距式方程5/12/202451将代入所设方程得平面的截距式方程xyzPQR5/12/202452例4求过三点的平面方程．（三点不共线）解设是平面上任意点则三向量共面，故由三向量共面的条件，有这是平面的三点式方程．5/12/202453例5求过三点的平面．ABCM解设是所求平面上任意点，故所求平面的方程为即取则用点法式5/12/202454定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.４．两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式5/12/202455两平面位置特征：//例

6研究以下各组里两平面的位置关系：解5/12/202456两平面相交，夹角两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.5/12/2024575.点到平面的距离点到平面的距离公式为：自己阅读推导过程例7一轨迹上任意一点到两已知平面的距离相等，求此轨迹的方程解由点到平面的距离公式，知化简这是两个平面5/12/202458二、空间直线的方程直观上看，两点确定一直线、两平面相交于一直线、过已知一点沿已知方向有且只有一直线．我们建立直线的方程就依据这些事实．１．直线的点向式方程设一直线过已知点而平行于已知向量求出该直线方程．设直线上任一点的坐标为易知用坐标表示注意比例式的理解！！5/12/202459这就是直线的方程，叫做空间直线的对称式方程或标准方程（最常用的形式！）如果令方程可化为叫做直线的参数方程，t是参数．例如x轴的标准方程是参数式方程是那么,你知道表示哪条直线吗?其中的非零向量叫直线的方向向量．5/12/202460从上例可知，直线的方向向量是不唯一的（但必须平行）；而且直线的方程也是不唯一的，请大家切记！直线的标准方程、参数方程都是点向式方程．下例如何？例8求通过两点的直线．用点向式方程的方法，所求直线过已知点方向与向量平行，故直线的方程为参数方程为何？这叫做直线的两点式方程．5/12/202461解所以交点为取所求直线方程5/12/202462解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程5/12/202463２．直线的一般方程我们知道．若两个平面不平行，则交于一直线．如果这两个平面的方程分别为则直线的方程可表为这就是空间直线的一般方程．例11化直线为一般方程表示．即5/12/202464例12化直线的一般方程为标准方程。解二平面的法向量分别为故直线的方向向量可取下求直线上一点的坐标：令则由即是直线上一点，故标准方程为5/12/202465３．直线间夹角、直线与平面的夹角两直线间的夹角就是直线的方向向量的夹角，故注意：一般指锐角！如：直线与的夹角的余弦为5/12/202466你可以得到二直线垂直或平行的充要条件吗?答案下面看一下直线与平面的夹角问题.所谓直线与平面的夹角就是直线与它在平面上的投影间的夹角(锐角)即直线的方向向量与平面的法向量间的夹角的余角.(如图)5/12/202467则利用两向量间的夹角公式,知例如:直线与平面间的夹角满足思考：直线与平面垂直或平行的条件是什么?5/12/202468答案：则前面我们已知点到平面的距离公式，那么你能求出一点到已知直线的距离吗？答案：5/12/202469§8.5简单曲面与空间曲线B、二次曲面的方程与图形C、简单空间曲线的方程与图形A、一些特殊曲面的方程5/12/202470A、简单曲面及其方程在平面直角坐标系下，含两个变量的方程一般地表示一条平面曲线；类似地，在空间直角坐标系下，含三个变量的方程一般地表示一个曲面，该方程叫曲面的一般方程．比如最简单的曲面—平面的一般方程是由于此方程关于变量都是一次的，故平面被称为一次曲面．平面的讨论我们上节已作过介绍．5/12/202471二次曲面的一般方程为三元二次方程其中二次项的系数不能全为零．我们下面要介绍一些特殊的曲面，大部分是标准方程下的二次曲面．１．球面在空间，到一定点距离相等的点的轨迹叫球面，定点叫球面中心，相等的距离叫球面半径．设球心半径为r，球面上任一点的坐标为5/12/202472则由两点间距离公式，知等式两边平方，得这就是球面的标准方程．特别地，如果球心是坐标原点，则球面方程为球面的一般方程为那么你可以求出球心坐标和球面半径吗？5/12/2024732．柱面一般柱面的定义：平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.如果柱面的母线平行于坐标轴，则该柱面方程有较简单的形式．比如，母线平行于z

轴的圆柱面方程为一般地，方程表示母线平行于z

轴的柱面．在平面直角坐标系下表示什么图形？5/12/202474xzy0母线准线M(x,y,z)N(x,y,0)S观察柱面的形成过程:5/12/202475在空间直角坐标系下，缺一个字母的方程表示的曲面是柱面，且柱面的母线平行于所缺字母表示的坐标轴！柱面方程的特征：椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴柱面母线如5/12/202476一些常见的二次柱面：椭圆柱面：abzxyo5/12/202477zxyo抛物柱面：5/12/202478zxy=0yo双曲柱面5/12/2024793．锥面准线顶点x0z

y通过定点的动直线沿着一条定曲线移动所形成的曲面叫锥面，其中的定点叫锥面的顶点，定曲线叫准线，而每一条动直线都叫母线．可以证明：以原点为顶点的锥面的方程是一个关于变量x，y，z

的齐次方程；反之也对．想想如果准线是一条直线，则锥面是什么形状？5/12/202480两条相交直线绕x

轴一周x

yo最简单的二次锥面是圆锥面5/12/202481两条相交直线绕x

轴一周x

yoz最简单的二次锥面是圆锥面5/12/202482x

yoz两条相交直线绕x

轴一周得圆锥面常见二次锥面的标准方程是最简单的二次锥面是圆锥面5/12/2024834.特殊旋转曲面的方程一般地，一条空间曲线Ｃ绕一条定直线旋转一周生成的曲面叫做旋转曲面，其中的定直线叫旋转轴，而曲线Ｃ被称为曲面的母线．特别地，如果一条空间曲线C在坐标面内，而且旋转轴是该坐标面内的某坐标轴，旋转曲面的方程是非常容易写出来的．规则就是：坐标面内的一条曲线Ｃ绕该坐标面内的某坐标轴旋转时，只要在曲线方程中与坐标轴同名的字母保持不变，而以其他两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐标即得旋转曲面的方程．5/12/202484例如：面内的曲线绕x

轴旋转生成的旋转曲面的方程为绕y

轴旋转生成的旋转曲面的方程为再如：面内的曲线绕z

轴旋转生成的旋转曲面的方程为5/12/202485绕x

轴旋转：绕y

轴旋转：绕z

轴旋转：绕x

轴旋转：直线即绕y

轴旋转：5/12/202486下面的问题是反过来的！答案可能不唯一哦！那么你能从一个旋转曲面的方程中看出该曲面的旋转轴吗？该曲面又可能是由哪条特殊的平面曲线生成的呢？旋转轴：生成曲线：轴轴或或5/12/2024875．椭球面由方程表示的二次曲面叫椭球面．其中叫做椭球面的半轴．在空间解析几何中，为了了解一个方程所表示的空间图形，常采用“截痕法”或“截口法”，也叫“平行截割法”。具体点讲，就是用平行于三个坐标面的一些平面截割，了解各条平面截线的形状，从而知道图形是怎样的曲面。在作图之前，通过方程的表达式充分了解图形的性质，对作图及了解形状非常有帮助。5/12/202488以下性质是常用到的：１．图形的对称性：有无对称平面、对称轴、对称中心？２．特殊点：特别是与坐标轴的交点３．图形与三个坐标面的交线形状（标准方程下叫主截线）４．图形的范围最后再根据这些性质及截线形状，比较准确地画出方程表示的图形．……5/12/202489abcyx

zo首先用平行于xoy

面的平面截曲面，得到的截口曲线方程为这是一族大小不一的、但所在平面均平行的椭圆．如图中绿色曲线5/12/202490然后再用平行于zox

的平面截曲面，截口为也是一族椭圆．（图中的黄色曲线）最后用平行于yoz

面的平面截得曲线仍是椭圆．这样的方法叫平行截口法，是讨论曲面的常用方法之一．用此方法，即可了解曲面的轮廓．下面我们用同样的方法讨论双曲面和抛物面5/12/2024916．双曲面双曲面有单叶与双叶之分．单叶双曲面：思考：后两个方程的图形如何？5/12/202492ayxo双曲线绕y

轴一周例如5/12/202493axyoz.绕y

轴一周双曲线例如5/12/202494a.xyoz..双曲线绕y

轴一周例如5/12/202495双叶双曲面：xyo5/12/202496关于方程的讨论：如果A、B、C都是正数，则方程表示椭球面；特别地，若A＝B＝C＞０，表球面；如果A、B、C中两正一负，则方程表示单叶双曲面；如果A、B、C中两负一正，则方程表示双叶双曲面；如果A、B、C中都是负数，则方程的图形不存在．5/12/2024977．抛物面有椭圆抛物面和双曲抛物面之分．xzy0截痕法用z=h截曲面用y=k截曲面用x=m截曲面5/12/202498用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（马鞍面）双曲抛物面

5/12/202499截痕法.（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面双曲抛物面

5/12/2024100截痕法（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面双曲抛物面

5/12/2024101空间曲线的一般方程空间