Ch9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位

第九章振动2任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化.复杂振动=

简谐振动是最基本、最简单的振动理想模型.物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。物体在它的平衡位置附近所作的往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。机械振动振动简谐运动3机械振动、电磁振荡机械波、电磁波德布罗意波——几率波振动学是波动学的基础振动——波动的成因振动和波动的关系:4——始终指向平衡位置一、动力学特征两个典型模型：（A）弹簧振子以物体受力为零的平衡位置为坐标原点Okm水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力FFkx5以铅垂方向为摆角参考轴线，OOOO单摆在任一角位置所受的重力矩为q则MmglqMmglsinq~sinq~q取摆幅很小（B）单摆OOOOllqqmgmgMM——始终指向平衡位置6振动的成因回复力+惯性力或力矩的大小与质点的位置坐标或角位置坐标量值成正比并反号。共同特征：—线性回复力动力学特征7二、运动学特征XFFmOOxxmFFkxFFaamFFxkmxxddt22+kmx0对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令mkw2km则aw2x即aw2x+0得8xxddt22+x0w2kmw2简谐振动微分方程得由应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动微分方程ddt22+0w2qq具有加速度与位移的大小

成正比,而方向相反特征的振动称为简谐运动xxa具有加速度与位移的大小

成正比,而方向相反特征的振动称为简谐运动xxaFFkxaw2x+0动力学特征运动学特征总结9简谐振动微分方程得为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程xxcosA()wtj+该微分方程的解通常表成余弦函数三、简谐振动方程xxddt22+x0w2Aj

运动方程周期振动特征等幅振动10简谐振动的加速度2wcosA()wtj+avddt2wxxxcosA()wtj+简谐振动的振动方程简谐振动的速度vdtdxxAsinw(wtj+)tttXvaOOOAA2wAw0AAXv最大a0a最大v0a最大v0图示法11弹簧振子wmk单摆glw振幅：的最大绝对值Axx周期T：完成一次振动需时频率nT1：n角频率w：w2pn四、描述简谐振动的物理量——表征振动的强弱，其大小由初始条件确定——表征振动的周期性，由振子固有性质确定kmTπ2π2==w弹簧振子周期周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关12频率为例如，心脏的跳动80次/分周期为大象25~30马40~50猪60~80兔100松鼠380鲸8动物的心跳（次/分）

13

昆虫翅膀振动的频率（Hz）

雌性蚊子355~415

雄性蚊子455~600

苍蝇330

黄蜂22014对于乐器，频率高，音调高；频率低，音调低。人发音的音调是不同的，一般来说，小孩的音调比成人高；女人的音调比男人高。同样是成年的男人(或女人)，音调也有不同。人的发声频率，大约在85Hz到1100Hz左右。15xxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw是界定振子在时刻的运动状态的物理量t运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于

vxxvF相位：F()wtj+tO，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始条件即为初相：jtO是

时，振子的相位

——确定物体振动状态单位：弧度（rad）16

相位的物理意义o-AtxbAa•a与b点的位移相同，但速度状态不同。

•a与b点的相位不同。

讨论相位的意义:

表征任意时刻（t）物体振动状态（相貌）.物体经一周期的振动，相位改变

.17•比较两个谐振动的步调相位差

当

=

2k

,(k=0,1,2,…),两振动步调相同——同相

当

=

(2k+1)

,(k=0,1,2,…),两振动步调相反——反相

x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相18为其它超前落后反相对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异同相（注意相位差取值）19由和求给定振子的振幅xxOvOAAxxO2+w2vO2cosAjxxOAsinwjvO消去得j初相j由和求给定振子的xxOvOcosAjxxOAsinwjvOA消去得tanjvOwxxO五、常数的确定A和j

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.结论2021例

试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡点mgxfmm在受力平衡点m小球f0mgkrl受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力xkxkrl+krlFmgxk()+rl+合外力振动方程xcosA()wtj+kxx动力学方程mddtx22k0k+微分方程ddtx22mx的解：均与水平弹簧振子结果相同解法提要22（为什么

不取π

？)(2)由(1)中结果依题意，v＜0例1:

一轻弹簧的一端固定，另一端连接一定质量的物体.整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0s-1.今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：(1)简谐运动表达式；(2)物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度.解：(1)23例2一船模浮在水中，其平均水平截面积为

材料平均密度为,竖直高度今将其竖直压入水中，然后放手。求振动方程？解：初始时，浮力与重力平衡当船模运动在任意位置，受力zCol(SI)线性回复力24例3竖直方向的弹簧振子，求振动方程。解分析系统受力线性回复力•该运动是谐振动•重力改变平衡位置•初始条件：•旋转法分析25例4:

证明图示系统的振动为简谐运动.其频率为

xk1k2Ｏ

x证：设物体位移x，弹簧