高中数学第三章直线与方程1.1倾斜角与斜率课件新人教A版必修

3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率的定义当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴①

正向

与直线l向上方向之间

所成的角α叫做直线l的倾斜角.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为②

0°

.因此,直线的倾斜角

α的取值范围为③

0°≤α<180°

.一条直线的倾斜角αk表示,即k

=tanα(α≠90°).斜率表示直线的倾斜程度.倾斜角不同,直线的斜率也不同,倾斜角是90°的直线没

有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.

直线的倾斜角与斜率的关系直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系如下表:直线情况垂直于y轴由左向右上升垂直于x轴由左向右下降图示

倾斜角(范围)α=0°0°<α<90°α=④

90°

90°<α<180°斜率(范围)⑤

k=0

⑥

k>0

k不存在⑦

k<0

过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=⑧

.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.l与x轴垂直时,其倾斜角为90°,斜率k不存在.

(√)2.当直线的斜率小于0时,其倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

(√)3.过任意两点的直线的斜率都能用斜率公式求解.

(

✕)当过两点的直线垂直于x轴时,其斜率不存在,不能用斜率公式求解.4.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.

(

✕)若两直线的倾斜角均为90°,则它们的斜率均不存在,故错误.°.

(

✕)直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,故错误.°的直线只有一条.

(

✕)所有垂直于y轴的直线的倾斜角均为0°,故错误.α构成的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一对应

的关系.

(

✕)不同的直线可以有相同的倾斜角.

直线的倾斜角与斜率的关系

所有的直线都有倾斜角,但并非所有的直线都存在斜率.当直线不垂直于x轴时,直

线的斜率与倾斜角为一一对应关系.(1)当直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大;(2)当直线的倾斜角α的取值范围为90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越

大.

已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.思路点拨作出图形并观察,即可求解.解析

如图,由题意可知kPA=

=-1,kPB=

=1.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.(2)直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),又

直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,∴直线l的倾斜角α的取值范围是

45°≤α≤135°.

误区警示k的取值范围为-1≤k≤1,结合图形考虑,直线l的倾斜角

应介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),要特别注意,当l的倾斜角小于90°时,有k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,有k≤kPA.2.如图,过点P的直线l与线段AB相交时,因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率

不存在,而PC所在的直线与线段AB不相交,所以满足题意的斜率夹在中间(包括kPA,kPB),即kPA≤k≤kPB,否则满足题意的斜率在两边.解决这类问题

时,可利用数形结合思想直观地判断满足题意的斜率是夹在中间还是两边.

直线的斜率公式的应用

1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则其中任意两点的坐标都可以确定这

条直线的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC,kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC,kAC=kBC),则直线

AB与AC(或AB与BC,AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B,C),因此点A,B,C在

同一条直线上.2.

可以看成点(x,y)与点(a,b)所在直线