概率论与数理统计知识点总结

NO.1概率论基本概念

一、随机试验

1.确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。

2.随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现

象.

3.随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量

重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研

究随机现象统计规律性的一门学科.

4.随机试验：为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需要对随机现象进行

重复观察,我们把对随机现象的观察称为随机试验,并简称为试验，记为E.

随机试验具有下列特点：

(1)可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；

(2)可观察性：试验结果可观察，所有可能的结果是明确的；

(3)随机性(不确定性)：每次试验出现的结果事先不能准确预知.，但可以肯

定会出现所有可能结果中的一个.

二、样本空间、随机事件

1.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本

点，记作0.

2.样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为人.(或

S).即/\={域,牡，1，4,1}

3.随机事件：我们称试验E的样本空间A的子集为E的随机事件，简称事件，

在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.

一般用…等大写字母表示事件.设A为一个事件，当且仅当试验中出

现的样本点时，称事件A在该次试验中发生.

注：要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才

能知道.

(1)基本事件：仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.

(2)必然事件：样本空间A本身也是A的子集，它包含A的所有样本点在

每次试验中A必然发生，称为必然事件.即必然发生的事件.

(3)不可能事件：.空集①也是A的子集，它不包含任何样本点，在每次

试验中都不可能发生，称为不可能事件.不可能发生的事件是不包含任何样本

点的.

三、事件间的关系与运算

记号概率论集合论

人样本空间，必然事件全集

0不可能事件空集

一.击

0)基本事件儿系

A事件子集

AA的对立事件A的余集

AcB事件A发生导致8发生A是8的子集

A=B事件A与事件3相等A与8的相等

A!B事件A与事件5至少有一个发生A与5的并集

AB事件A与事件B同时发生A与5的交集

A-B事件A发生而事件5不发生A与5的差集

AB=0事件A和事件5互不相容A与6没有相同的兀素

1子事件、包含关系Au3

事件A是事件B的子事件含义：事件A发生必然导致事件B发生,0uAu人

2相等事件A=8:若事件A发生必然导致事件B发生，且若事件8发生必然导

致事件A发生，即BnAHAnBoA=B

注：事件A与事件8含有相同的样本点

3和事件或并事件

A[8={xxGA或xG8},事件A!8是事件A和事件3的和事件

事件A!8发生。事件A发生或事件8发生。事件A与8至少有一个发生

称为〃个事件4,A,1,4的和事件

A=1

00

称“4为可列个事件4,4,!，4,，的和事件

k=i

4积事件或交事件

A!3={xxGA且xGB],事件A!3是事件A与事件3的积事件

事件A!B发生o事件A与事件B同时发生

积事件A!3可简记为A3

n

称“4为〃个事件A，A，!,凡的积事件

k=\

00

称“4为可列个事件A，4,1,4,1的积事件.

k=\

5事件的差

4-8="X€4且):任B},事件A-8称为事件A与事件3的差事件

事件A-8发生O事件A发生而事件3不发生.

注：A-B^A-AB

6互斥或互不相容

A[8=①则称事件A与事件8是互不相容的，或互斥的.

A!B=O=事件A和随机B不能同口寸发生.

注：任一个随机试验E的基本事件都是两两互不相容的.

推广：设事件A，&】，4满足44=<!>(/,；=1,2,!,«,/>力称事件

4,4，1,4是两两互不相容的.

7对立事件或互逆事件

若事件A和事件B中有且仅有一个发生，即A!3=八,A8=①

则事件A和事件B为互逆事件或对立事件。记A的对立事件为A

事件A发生O事件A不发生A!A=①,A"A=/\

故在每次试验中事件A,A中必有一个且仅有一个发生，A也是加勺对立事件

所以称事件A与A互逆

注:互逆事件必为互斥事件，反之，互斥事件未必为互逆事件

事件的关系与运算可用图来直观的表示.

AQB^AB

A—Q—A

注：事件的运算满足如下基本关系.

CDA!A=0A!A=A>A=/\—A

②若AuB,则AUB=B,AAB=A.

③A-B=AnB=A-AnB,AUB=AU(B-A).

8完备事件组:设A，4,1是有限或可列个事件，若其满足

0A!A=0,

②AuA?!''uA〜”=人，

则称A,a,l,A„,，是样本空间的一个完备事件组或一个划分.

注:A与A构成一个完备事件组.

四、随机事件的运算规律

幕等律：A!A=A,A"A=A

交换律：A!3=8!AA"B=B"A

结合律：(A!B)!C=A!(B!C)(A!B)!C=A!(B!C)

分配律:A!(B"C)=(A!B)"(A!C)A!(B"C)=(A!8)”(A!C)

德摩根DeMorgan定律：A\B=AB,AB=A\B

"产''A,,''A'=!Aj

iiii

五、频率及其性质

1.频率定义：在相同条件下重复进行了〃次试验，如果事件A在这〃次试验中

发生了〃次，则称比值%为事件A发生的频率，记作/(A)-它具有下述性

4n”

质：(1)非负性0W(A)W1；(2)规范性乙⑸=1；(3)有限可加性

若4，4，是两两互不相容事件，则

£3！"！4)=%(A)+%(A2)+“+%(4)

频率力(A)的大小表示了在几次试验中事件A发生的频繁程度.频率大，事件

A发生就频繁，在一次试验中A发生的可能性就大，反之亦然.因而直观的想

法是用频率来描述A在一次试验中发生的可能性的大小.

2频率的稳定性

随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发A生的频率在一个固定的数值

〃附近摆动，随机试验次数的增加更加明显，事件的频率稳定在数值“，说明了

数值〃可以用来刻划事件A发生可能性的大小，可以规定为事件A的概率

六、概率的定义

1统计定义：对任意事件A,在相同的条件下重复进行〃次试验，事件A发生攵

次，从而事件A发生的频率％,随着试验次数〃的增大而稳定地在某个常数p附

n

近摆动，那么称p为事件A的概率P(A)="

2概率的公理化定义：设E是随机试验，A是它的样本空间，对E的每一个事

件A赋予一个实数，记为尸(A),若P(A)满足下列三个条件：

①非负性：对每一个事件A,有P(A)>0；

0规范性：对于必然事件人，有尸(人)=1

®可列可加性：设442,1是两两互不相容的事件，有

f(A!!A2!■')=/(At)+f(A2)+'‘则称P(A)为事件A发生的概率•

七、概率的性质

性质1P(0)=0

性质2.有限可加性：设4,4,1,4是两两互不相容的事件，则有

P(A!&!,,[4)=P(A)+P(4)+''+P(4)

nn

即若44=0(1<i<j<力则p([4)=ZP(A)

/=1/=1

性质3.对任一随机事件A,有P(A)=1-P(A)

性质4.设A,B是两个事件，若Au3则P(B一A)=P(B)-P(A),P(B)>P(A)

性质5：对任意事件A,P(A)<1.

性质6(减法公式):对事件A,B,则P(B-A)^P(B)-P(AB)

性质7:对任意两个事件A,8,有P(A!B)=P(A)+P(B)-P(AB)

推广:P(A\B!C)=P(A)+P(B)+P(Q-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

八、古典概型与几何概型

1.古典概型

我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型(等可能概型).

(1)随机试验只有有限个可能的结果；

(2)每一个结果发生的可能性大小相同.

计算古典概率的方法

(1)基本计数原理：加法原理、乘法原理

(2)排列组合方法：

排列公式：从〃个不同元素中任取左个的不同排列总数为

.力！

一1)(〃一2)，(〃一%+1)=A：=n{n-1)(〃-2)!2.1=n\

(n一女)！

组合公式；从〃个不同元素中任取女个的不同组合总数为

d=A，=⑶

〃k\{n-k)\k\

2.几何概型

定义:如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域。任取一点，而

所取的点落在Q中任意两个度量(长度、面积、体积)相等的子区域内的可能

性是一样的，则称此试验模型为几何概型，对于任意有度量的子区域，

AUA,定义事件“任取一点落在区域A内”发生的概率为

A的几何度量

P(A)==i)

A的几何度量L(A)

九、条件概率

1条件概率定义：设48是两个事件，且P(A)>0,称"A8)为在事件人发生

P(A)

的条件下，事件B发生的条件概率，记为尸(BA),即P(8A)=P(A8)

P(A)

同样,可以在尸(8)>0的条件下，定义在事件B发生的条件下，事件A发生

的条件概率为P(A|B)=P(A8)

P(B)

注：条件概率满足概率公理化定义中的三个基本性质

2计算条件概率P(BA)有两种方法：

①在样本空间。中，先求尸(AB),P(A),再按定义计算P(BA)

0在缩减的样本空间〜中求事件B的概率，可得到P(BA)

十、乘法公式

1定理(乘法公式)设P(A)>0则有P(A8)=P(A)P(8|A)

设尸(B)>0则有P(AB)=P(B)P(A|B)

2三个事件的乘法公式：设为三个事件，且P(AB)>0,

P{ABC)=P(A)P(BA)P(C\AB)

3多个事件乘法公式的推广:设AA?!A”为〃个事件，当P(A|41A,T)>0时,

有P(A414)=尸(A)P(4A)P(AA4)…尸(AA44)

十一、全概率公式与贝叶斯公式

1定理(全概率公式)：设随机试验E的样本空间为。，B为E的任意事件，

2定理4(贝叶斯公式)设A*2,为一完备事件组，且

P(A)>0(1=1,2,!n).则对任一事件B,P(B)>0,有

P(A|8)="A@=%A.)p⑹A,)j=1,2J,〃

'P(B)ZP(4)P(8ld)'

J

十二、事件的独立性

L两事件独立定义:若两事件A,8满足尸(A8)=P(A)P(8)成立则称事件A,B相互

独立，或称A,8独立.

注：(1)两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个

不同的角度表达了两事件间的某种联系，互不相容是表述在一次随机试验中两

事件不能同时发生，而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另

一事件是否发生互无影响.

(2)当P(A)>0,P⑻>0时,A,B相互独立与C,B互不相容不能同时成立.

但0与S既相互独立又互不相容.

2.相关定理

定理:设A,B是两事件，若A,B相互独立，且尸（A）>0,尸（B）>0则

P（A8）=P（A）,P（8A）=P（8）.反之，P（AB）=P（A）,或P（BA）=P（B）则

A,B相互独立.

定理：若事件A与事件8相互独立，则A与BA与BA与8也分别相互独立

3.有限个事件的独立性

定义：设4是三个事件，如果满足等式

P（A,A2）=P（A）P（4），P（A2A3）=P（A2）P（4），p（AA）=p（A,）P（AJ,

P（A|A24）=P（A1）P（A2）P（A3）,则称事件A1.A2，A3相互独立.

定义：设A，4,1,4是"个事件，如果其中任意2个，任意3个，…，任意〃个

事件之积的概率，都等于各事件的概率之积，则称事件4,4,1,4相互独

立.另外，称无穷多个事件4,42,!，4,1相互独立，是指其中任意有限多个

事

件都相互独立.

或设A，A，1,4为〃个事件。如果对于所有可能的组合lWi<j<k<l<n

*P（A4）=P（A）P（4）

下列各式同时成立:P（4誉C；）：?）：（&）

♦————...................

♦P（4414）=P（A）P（4）1p（4）

那么称A,4,1,4是相互独立的。

定义4设4,4,1,4是〃个事件，若其中任意两个事件均相互独立，则

称A，4,1,4两两相互独立.

注：〃个事件相互独立，可推得〃个事件两两相互独立，反之未必.

4.多个相互独立事件性质

性质1：若事件A，4,1,4相互独立，则其中任意加(1<加〈〃)个事件也相互独

立.

性质2：若事件A，相互独立，则将A，4,1,4中任意加(1<加。)个

事件换成它们的对立事件，所得的〃个事件仍相互独立.特别是，若

A,4,1,4“相互独立，则4,4,1,4也相互独

立.利用多个事件的独立性，可以简化概率的计算.

(1)计算〃个相互独立的事件4,4,的积的概率，可简化为

p(A,4,5,A,)=W),P(A)!P(4)

⑵计算〃个相互独立的事件的和的概率，可简化为

n

P(A!4!-!4)=l-n^(A)

/=1

十三、伯努利概型

定理1：(伯努利定理)设在一次试验中，事件A发生的概率为p(Q<p<1),则在

“重伯努利试验中，事件A恰好发生％次的概率为P(外

=„Ckpk(1-p)"T,(k=O,l,9,n).q=\-p

定理2:设在一次试验中，事件A发生的概率为p(O<p<l),,则在伯努利试验序

列中，事件A在第k次试验中才首次发生的概率为pqi,(k=T21,),q=l-p

NO.2随机变量及其分布

一、随机变量

定义：设随机试验的样本空间为A,对每个。€人,都有一个实数X(⑷与之应，

则称X(⑷为随机变量.简记为X.

随机变量通常用英文大写字母x,y,z或希腊字母，〃等表示。

随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。

2随机变量的特征：(1)它是一个变量；(2)它的取值随试验结果而改变；

(3)随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件，具有一定的概率。

3随机变量的类型

离散型：随机变量的所有取值是有限个或可列个

连续性：随即变量的取值是某个区间或整个数轴

二、离散型随机变量的概率分布

1离散型随机变量定义：如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称

X为离散型随机变量.

2概率分布定义：设离散型随机变量X的所有可能取值为

%,为，!,4,•,X取各个可能值的概率，即事件{X=xJ的概率为

P{X=1,2,1则称其为离散型随机变量X的概率分布或分布律.

常用表格形式来表示X的概率分布：

Xx2!xn!

!

PiPl〃2!Pn

&离散型随机变量可完全由其分布律来刻划.即离散型随机变量可完全由它的

可能取值以及取这些值的概率唯一确定.

3离散型随机变量分布律的性质

(DP{X="}=pk>0,

oc00

⑵Zp{x-Xj}=zp«=1

4常用离散型随机变量的分布

(1)0-1分布或两点分布或伯努利分布.

如果随机变量X的分布律为P{X=0}=1-〃，P{X=1}=〃或

kk

p{x=k}=P(i-Py~(p=o,i,o<p<i),则称随机变量x服从参数为〃

的0-1分布或两点分布，记作x~b(\,〃)(其中0Wp«1为参数)

(2)二项分布

如果随机变量X的分布律为P{X=A}=C：p*(l-p)"Y(A=0,1,1,n)

则称随机变量X服从参数为(〃，p)的二项分布，记作X~伙〃，p)

(其中〃为自然数，1为参数)

注：(1)P{X=Z}20,Z=0,l,2In

(2)"6kkn-kn

Ep{x=k)=£cnp(i—P)=(P+I—P)=I

k=0k=0

显然，当〃=1时p)说明，贝努里分布是二项分布的一个特例

(3)泊松分布

1k

如果随机变量X的分布律为：P^=k^e-N"=0,1,2,!)

k!

(其中2>0为常数)，则称随机变量X服从参数为入的泊松分布记为X~;r(；l)

注:(1)P{X=k}>0,k=0,1,2!

(2)YP{X=k}=y"%"j=//=1

L|KLI

k=0k=()K-k=0•

二项分布的泊松近似

定理(泊松定理)：在〃重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为Pn

(注意这与试验的次数”有关)，如果〃―8时，印,-2(/1>0为常数)，则对任意

给定的女，有limb(匕〃,p")=7e'.

"f8k!

三、随机变量的分布函数

1定义：设X是一个随机变量，称F(x)=P(XVx)(YO<X<ZO)为X的分布函

数.

注：分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴.

在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数x左边的概率，对于任意的

x

实数无।,x2(i<W)，有P{%i<X<x2}=P{X<x2}-P{X<%1)=F(x2)-F(%))

2分布函数的性质

(1)单调非减:若xt<x2,则F(X,)<^(x,);

(2)规范性：0<F(x)<bF(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

AT—>-00x—H-00

(3)右连续性：即limF(x)=F(x0).

反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是

分布函数的充分必要性质。

3离散型随机变量的分布函数

设离散型随机变量X的概率分布为

Xx}x2Ix„!

PiP\P21Pn!

则X的分布函数为F(x)=P(X4x)=ZP(X=x,)=ZP,

Xj^X

一般地，对离散型随机变量P(X=%)=&(%=1,2,1),其分布函数为

/㈤=P{XVX}=Z口X0}=

Xk<XXk<X

四、连续型随机变量及其概率密度

1定义：如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数“X),使得对于任意实

数x有尸(x)=P{XW幻=J[/⑺山则称X为连续型随机变量,称/(%)为X的

概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.

2概率密度/㈤性质：1°/(%)>0；2°['J(x)dx=1

3°P{x<XWx}=F(x)—E(x)=右.(x〈x)

1221L-,一

4°若了(%)在点x处连续，则有F*(x)=/(%).

3关于概率密度的说明

®对一个连续型随机变量X，若已知其密度函数/(X),则根据定义，可求得其分

布函数F(x),同时,还可求得X的取值落在任意区间(0切上的概率：

b

P[a<X<b}=F(h)~F(d)=Jf(x)dx

0连续型随机变量X取任一指定值Xo(XoWH)的概率为。P{X=x0}=0

因P{X=x}=limP[x-0x<X<x}=limpof(x)dx-0

A001a

注：概率为0的事件不一定是不可能事件.同样，概率为1的事件也不一定是必

然事件。

b

从而P[a<X<b}=P[a<X<b}=P{a<X<b}^P[a<X</?}=£于。)心

4一些常用的连续型随机变量的分布

(1)均匀分布

*1a<x<h

1)定义:若连续型随机变量X的概率密度为/(x)=a-a'，则称X在

g其它

区间3,力上服从均匀分布,X~U(a,b).

2)均匀分布的密度函数满足性质

1)/00

2)「8/(x)dx=J"1dx=\

yab-a

3)均匀分布的分布函数

第0x<a

余

若随机变量X服从在［a,b］上的均匀分布，则分布函数为尸(X)=记一"a<x<b

■b-a

.1b<x

(2)指数分布

**tx>0,

D定义若随机变量x的概率密度为/*)=.2>0,则称x服从

声f匕.

参数为2的指数分布.简记为X~e(A).

2)指数分布的分布函数

*0

若随机变量X服从参数4指数分布，则X的分布函数为F(x)=x<0

(3)正态分布

1(A”

1

1)定义：若随机变量X的概率密度为fM=e",_8<x<8.其中〃和

271(7

b(b>o)都是常数，则称X服从参数为〃和丁的正态分布.记为X~N〈Q.

2)正态分布密度函数的图形性质：

(1).曲线关于直线x=〃对称，这表明：对于任意的〃>0,有

P{jU-h<X<^i}=P{jU<X<ju+h}

(2).当x=〃时，*x)取到最大值/'(〃)=1，x离M越远，“X)的值就越小•

这表明，对于同样长度的区间，当区间离//越远时，随机变量X落在该区间

中的概率就越小.

(3).曲线)，=/(x)在x=〃±o'处有拐点；曲线y=/(x)以Qx轴为渐近线

(4).若b固定，而改变〃的值，则/(x)的图形沿x轴平行移动，但不改变其形状

因此y="X)图形的位置完全由参数〃所确定.

(5).若〃固定，而改变b的值，由于/Xx)的最大值为/•(〃)=，可知

2TT(7

当b越小时，y=/(x)图形越陡，因而X落在〃附近的概率越大；反之，

当b越大时，y=/(x)的图形越平坦，这表明X的取值越分散.

3)正态分布的分布函数：

x

F(x)=I%2/5

2ncrJ-00

F(x)的图形是一条上升且关于点(〃,1)的曲线

2

(4)标准正态分布

定义:正态分布当〃=0C=1时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常

1-X21X~2

用低幻和皿X)表示:叭X)=e①(x)=Ie~dt

2兀2兀f

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化

为标准正态分布.

定理1：设则y=x-〃~N(o,i).

a

定理2：如果X~N(〃,/),分布函数/㈤二①'一"，对任意区间［a,。］

□

有P(a<X<份=①("一〃)一①("一〃)

aer

标准正态分布表的使用：

(1)表中给出了x>0时中㈤的数值，当x<0时，利用正态分布的对称性，有

①(T)=1-①(X)；

(2)若X~N(O』),则=①S)-①⑷；

(3)若则y=x-〃~N(o,i),

故X的分布函数

X-4〃□

F(x)=P{X<x}=P*%-//<=①□;

□□

X-

2□艇

Vo方4□□4□

①①-

P[a<X<b]=P*"T'<Y<=-

□.□□O

口

。

。□□□

▼o

五、随机变量函数的分布

1.随机变量的函数

定义如果存在一个函数g(X),使得随机变量X,Y满足：Y=g(X),

则称随机变量丫是随机变量x的函数.当x取值工时，丫取值y=g。)

注：，由于x是随机变量，其取值事先不确定，因此y的取值也不确定，也是

随机变量.本节主要解决的问题是，已知随机变量x的分布，求其函数

y=g(x)的分布，这里g(・)是已知的连续函数.

2.x是离散型随机变量

求离散型随机变量函数的分布的一种方法：记丫的所有可能取值为y”i=l,2,1

对每个y来说至少有一个须，使y=g(z)成立，将所有满足y=g(z)式子中

的4对应的概率pk求和，作为事件{丫=y,}/=1,2,1的概率

3.X是连续型随机变量

设已知X的分布函数Fx(x)或概率密度函数/x(x),则随机变量函数Y=g(X)的分

布函数可按如下方法求得：

(1).先求y=g(x)的分布函数

a(y)=P{y"}=p{g(x)”}=Jfx^dx

(2).利用y=g(x)的分布函数与密度函数之间的关系

求y=g(x)的密度函数4(y)=埒()，)

4.定理：设随机变量X具有概率密度人(幻,方€(-8,+8),又设》=8(幻处处可导且

恒有g*x)>0(或恒有g《x)<0),则y=g(x)是一个连续型随机变量,其概率密度为

a<y<P其中X=〃(y)是y=g(x)的反函数，且

Jy'一：0,其它

a=min(g(-oo),g(+w)),/?=max(g(-8),g(+8)).

NO.3多维随机变量及其分布

一、二维随机变量及分布函数定义

1二维随机变量定义:由随机变量x,y构成的有序数(x,y),称(x,y)为二维随机

变量或二维随机向量.

注：在几何上，二维随机变量(x,y)可看作平面上的随机点的坐标

2联合分布函数定义:设(X))是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数

F(x,y)=P{(X<x)}!P{(y<y)}WjP{X<x,y<y)称为二维随机变量(X,丫)的分布函

数或称为随机变量X和y的联合分布函数.

3二元分布函数的几何意义：若将二维随机变量(XI)看成是平面上随机点(XI)

的坐标，则分布函数F(x,y)就表示随机点(X,y)落在以点(x,y)为顶点的左

下方的无限矩形域内的概率

4随机点(X,y)落在矩形区域：距<X«X2,必<丫4必内的概率为

尸{2<X<X2，yx<Y<y2]=F(x2,y2)~F(xt,y2)~F(x2,y)+F(x1,%)

5分布函数尸(x,y)的性质

(1)且对任意固定的y,F(Yo,y)=0,对任意固定的x,F(x,-oo)=0,

F(-co,-oo)=0,尸(+00,+00)=1；

0Rx,y)关于x和y均为单调不减函数，即

对任意固定的y,当x2>xt,F(x2,y)>F(x,,y),

对任意固定的x,当y2>yt,F(x,y2)>F(x,y,);

(3)F(x,y)关于x和y均为右连续，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0).

(4)对任意的(尤(%，％),无|<々，M<必有

F(x2,y2)~F5,%)一向(%2,%)+尸(修，必)上0

二、二维离散型随机变量及其概率分布

I二维离散型随机变量定义：若二维随机变量（x,y）只取有限对或可数对值，则

称（x,y）为二维离散型随机变量.

注：（x,y）为二维离散型随机变量当且仅当x,y均为离散型随机变量.

2联合概率分布定义：若二维离散型随机变量（x,y）所有可能的取值为（x,，x）

i,j=1,2,!,则称尸{X=x”y=%}=马&尸1,2,!）为二维离散型随机变量（X,y）的

概率分布（分布律），或x与y的联合概率分布（分布律）.

有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表：

Y

yy,••yP

X।2j,••

修PnP12•••PM•••Pl.

%P22•••P2J•••

p2iPl.

I11II

・♦・・・・

七Pi\02%Pi

IIII1

・・・

PjPiP.2•••Pj

3二维离散型随机变量联合分布律的性质

（1）对任意的/）,。，_/=1，2,<）%=p{x=x,，丫=乃}20

⑵£P"=1

i,j

4二维离散型随机变量的联合分布函数

设二维离散型随机变量（X,Y）的联合概率分布为％（i,j=l,2,•）

于是，（乂,丫）的联合分布函数为产区》）=「{丫",丫0}=

PQ!{x=x,,y=y}「7ZXP{X=X”Y=yj}-LLPu

ZZx<x,y<ynx<xy<yx<xy<y

□/iU*iii

注：对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且

能够更加方便地确定（x,y）取值于任何区域。上的概率，即口（x,y）e0=£Pg,

（孙力）6£>

特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数：

F(x,y)=P{X<x,r<y}=

Xj^x,yj£y

三、二维连续型随机变量及其概率密度

1定义：设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负的二元

函数/(x,y),使对任意实数(x,y),有F(x,y)'j'/(〃,v)dudv,则称(X,Y)为二维

连续型随机变量，并称/(x,y)为(X,丫)的概率密度(密度函数),或X,Y的联合概率

密度(联合密度函数).

2概率密度函数/(x,y)的性质：

(l)/(x,y)>0;

0000

⑵LL八％y)&dy=F(+oo,+oo)=1;

6设G是xOy平面上的区域，点(X,F)落入G内的概率为

P{(x,y)eG}=jjf(x,y)dxdy

0若/(x,y)在点(x,y)连续，则有叮?)=/(".

oxdy

3在几何上z=/(x,y)表示空间的一个曲面，P{(x,y)eG}的值等于以G为底，

以曲面2=f(x,y)为顶的柱体体积

四、二维均匀分布

设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量(X,y)具有概率密度函数

/U,y)=V，(x,y)eG,则称(X,y)在G上服从均匀分布.

$0,其它

五、边缘分布定义

1边缘分布函数定义：二维随机向量(X,y)作为一个整体，有分布函数产(x,y),

其分量X与y都是随机变量，有各自的分布函数，分别记为a(x),Fy(y)分别称为

x的边缘分布函数和y的边缘分布函数；称(X,y)为的联合分布函数。

2边缘分布函数求法

已知二维随机变量(X,F)的分布函数尸(x,y),则

Fx(x)=P{XWx}=P{X<x,Y<8}=limF(x,y)=F(x,+oo)

5*->+oc

同理Fr(y)=P{7<y]-P{X<+oo,Y<y}-limF(x,y)-F(oo,y)

故边缘分布函数&(x),a(y)可由(X,y)的分布函数所确定

注：x与y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量x或丫的分布函数。称其

为边缘分布函数的，是相对于(X,F)的联合分布而言的。

同样地，(x,y)的联合分布函数尸(尤,丁)是相对于(x,y)的分量x与y的分布而

言的。

六、离散型随机变量的边缘概率分布

1.边缘分布函数

对于二维离散型随机变量(X,F),已知其联合概率分布为

p{x=X"y=*}=号(i,j=l,2,1),其分布函数为尸(x,y)=XZ为

x^yj^y

co

则它关于X的边缘分布函数为&(力=/(乂+00)=、2>，『它关于Y的边缘分

Xj^XJ=1

00

布函数为Fy(y)=F(+oo,y)=ptj

yj^y

2.边缘概率分布

随机变量X的概率分布

Pj.=P{x=再}=£p{x=Xj,Y=X}=Pil+Pi2+1+%+1=ZPij

JJ

同理，随机变量y的分布律为

Pj=p{y=yj=gp{x=Xj9Y=yj}=ZPg

3.已知联合概率分布求边缘概率分布

x以及y的边缘概率分布可由下表表示

Y

yy♦♦・yp

•••

Xi2ji'

PHPn••••••P\.

P21P22•••P2J•••Pl.

!IIII

・・・・

X]AiPi2Pii••Pi.

IIII1

・

PjPiP?•••Pj••

七、连续型随机变量的边缘概率密度

对于二维连续型随机变量（x,y）,已知其联合密度函数为一（X,），）

现求随机变量x的边缘密度函数右。）

上式表明:X是连续型随机变量,且其密度函数为:/xW=jf（x,y）dy,

称Al）为（x,y）关于x的边缘概率分布

yy+cc/

同理，由以y)=P{YWy}=厂(+00,y)JJCOOdy

-oo<Jf

丫是连续型随机变量,且其密度函数为fY(y)=^f(x,y)dx

称人（X）为（X,y）关于丫的边缘概率密度

八、二维正态分布

若二维随机变量（x,y）具有概率密度

'，飞H20f一9匕％2：之

2(Y6<7,6b：/

/a,y)=

a21-p2

其中M，〃2,5，。2,P均为常数，且5>。，6>0,1夕|<1,则称（X,y）服从参数为

儿也,5,6,夕的二维正态分布.记成（x,y）~N（MI，"，3，%Q）

注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数

P，亦即对给定的〃1,〃2，S，b2,不同的0对应不同的二维正态分布，但它们的边

缘分布都是相同的，因此仅由关于x和关于y的边缘分布，一般来说是不能确定

二维随机变量（x,y）的联合分布的.

九、随机变量相互独立

1.定义

设（X,y）是二维随机变量，其联合分布函数为尸（x,y）,又随机变量X的分布

函数为Fx（x）随机变量y的分布函数为4（y）.如果对于任意的X,y,有

P{X<x,r<y}=P{X<x}-P{y«y},则称随机变量X,y相互独立.

注（1）如果随机变量X与丫相互独立，则由F（x,y）="（x）K（y）可知二维随

机变量（X,F）的联合分布函数F（x,y）可由其边缘分布函数Fx（x）耳（），）唯一

确定

（2）随机变量X与丫相互独立，实际上是指对任意的x,y,随机事件

{乂《％}与{丫〈），}相互独立.

2.离散型随机变量的相互独立的充要条件

如果（X,Y）是二维离散型随机变量，其概率分布及边缘概率分布分别为

Pij=p{x=Xi，y=»},〃,.=p{X=xJ（i=1,2,!）p.j=P{Y=yj}

(j=i,2,1),则随机变量x和y相互独立的充分必要条件是：对(x,y)的

所有可能取值(七,巧)均有p{x=%,y=»}=p{x=xj-p{y=*},

i,j=L2,!即pg=pup),i,j=1,2,!

3.连续型随机变量相互独立的充要条件

如果(X,丫)是二维连续型随机变量，其概率密度函数/(x,y)及边缘概率密度

函数为(x)和人(y)在xoy面上除个别点及个别曲线外均连续时，随机变量X和

丫相互独立的充分必要条件是：在/(x,y),力(x),人(y)的连续点处都有

f(x,y)=fx(x)fY(y)

4.关于二维随机变量的一些概念，

定义1：设X1,X2,1,X“是定义在样本空间Q上的〃个随机变量，则

(XjX?,1,X")称为〃维随机变量.

定义2:对于任意"个实数%,％2,I,%"，函数

F(xi,x2,!,xn)-P[Xy<xt,X2<x2,!,Xn称为〃维随机变量

(X”X2,1,X“)的分布函数或随机变量X1,X2,1,X”的联合分布函数.

定义3:对于“维随机变量(X”X2,1,X")的分布函数FC%,,%,,•,x„),若存在非

负函数/(尤1，々，1,x“)使对于任意实数无”％2,1,尤“有

F(x,x,5,x)=广.|।广f[x,x,!,x)dxdx!dx则称(X,X,•,X)为〃

12nJ-<»J-ooJy12〃12n12n

维连续型随机变量,称/(石,电,机当)为〃维连续型随机变量(X“X2,!,X“)的

概率密度.

定义4:设〃维随机变量(乂,乂2,1》“)的分布函数为F(X,,X2,l,xn),则

(X1,Xz，1,X")的女<〃)维边缘分布函数就随之确定.

定义5:设F(x”12，1,%)，&,(%)(7=1,2,I,〃)分别是〃维随机变量

（X”X2,1,X"）的分布函数和边缘分布函数，若对任意实数%,%，1,无“，有

产（%,々，，，%）=%。）Fx），Fx,,（%）则称乂,X2,1,X“相互独立.

定义6:若对任意的实数X”9,1》1，儿，］，然有

E（百,々，•,x„,;y,,y2,!,y„）=F,（x,,x2,1,/）书（y,%,，，>“）其中E，鸟，尸依次

为随机变量（X「X2,1,X,“），（工上，1,匕）和（X1,X2，1,X,"，L!,匕）的分布

函数，那么称随机变量（X”X2,，，X,“）和（九乂，1,匕）相互独立.

定理:设（X1,X2，，，Xm）和（KMJ,匕）相互独立,则X,.（I=1,2,Im）

和匕（7=