人教出版八年级数学分式典型例题

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

方15c各9a5a-b3a2-b2°215xy11x2+13xy

例：下列式子中，-----、8a?b、-一、-------、---------、2-一、—>——、一、------、—>

x+y232x-y4am6x227i

31

——、。+—中分式的个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5

x+ym

练习题：（1）下列式子中，是分式的有,

在工⑵£,1;⑶M⑷02；(5)2上⑹

x+523a7ib2x2+y2

（2）下列式子，哪些是分式？

a3y3lxx-^xy1h

5无2+4y8+乃x—2y45

2、分式有，无意义，总有意义：

2r+1

例1：当X_________时，分式」一有意义；例2：分式「一中，当》=—时，分式没有意义

x-52-x

例3：当x时，分式一一有意义。x

例4：当x时，分式有意义

-----------X2-1X2+1

1

例5：尤，y满足关系时，分式口无意义;

%+y

例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（)

2xx3xx—5

A.——B.------C.——D.

x+12x4-1x3+lX2

X

例7：使分式有意义的x的取值范围为（)A.xw2B.x丰—2C.x>—2D.x<2

x+2

x—2

例8：要是分式没有意义，则x的值为)A.2B.-1或-3C.-1D.3

(x+l)(x-3)

3、分式的值为零:

1—2。X2-1

例1：当X________时，分式L卫的值为0例2：当x________时，分式^—的值为0

Q+1X+1

例3：如果分式@二的值为为零，则a的值为（）A.±2B.2

C.-2D.以上全不对

。+2

2

Y—Y

例4：能使分式F—的值为零的所有X的值是（）

x--1

Ax=0Bx=1Cx=O或x=lDx=O或1=±1

x-9

例5：要使分式f--------的值为。，则x的值为（）4.3或-3B.3C.-3D2

-5x+6

例6：若：+1=0,则@是（）A.正数B.负数C.零D.任意有理数

回

4、分式的基本性质的应用：

例1：身=一；6x（.V+z?=——；如果5（3"+1）=*成立,则a的取值范围是________

aaby3（y+z）2y+z7（3tz+l）7

,.ab~1—b+cb—c

例2：=-----------------=--------------

曲（）«（）

例3：如果把分式竺学中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（）

a+b

A、扩大10倍B、缩小10倍C、是原来的20倍D、不变

例4：如果把分式」1匕0x中的x,y都扩大10倍，则分式的值（）

x+y

A.扩大100倍B.扩大10倍C,不变D.缩小到原来的

10

例5：如果把分式一壬二中的x和y都扩大2倍，即分式的值（）

x+y

A、扩大2倍；B、扩大4倍；C、不变；D缩小2倍

例6：如果把分式工二工中的x和y都扩大2倍，即分式的值（）

x+y

A、扩大2倍；B、扩大4倍；C、不变；D缩小2倍

例7：如果把分式二二上中的x和y都扩大2倍，即分式的值（）

xy

A、扩大2倍；B、扩大4倍；C、不变；D缩小,倍

2

例8：若把分式土色的x、y同时缩小12倍，则分式的值（）

2x

A.扩大12倍B.缩小12倍C.不变D.缩小6倍

例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（)

2

、生n3%3x3/

AB、—7C、D、

2y2y22/

例10：根据分式的基本性质，分式二^可变形为（

)

a-b

a

A---B—^―C———D

-a-ba+ha-ba+b

0.2x—0.012

例11:不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数,

—x—0.05

I—Y

例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，---------_

1+九一厂-

5、分式的约分及最简分式：

\b-a\

b-aa-bJ1=-i；(4)=±z=q中

例1:下列式子（1）;一）',—；(2)(3)----

x--yc-aaa-b-x-yy

正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个

例2：下列约分正确的是（)

x+yx+y_12xy21

A、I,；B、=0；C、D、

x+yx2+xyx4/y2

例3：下列式子正确的是（)

AOB.qJ八c-dc+dc-d-c+d八

3=c._Z+£=2±£D.------------=------------=0

2x+ya-yXX-xa

例4：下列运算正确的是)

a241a2_aJ__J__J_

A、----=-------B、C、D、

a-ha+bxx22mmm

例5：下列式子正确的是)

2

bba+b八—cibiO.ltz-0.3/?a-3b

A.-=—B.-----=0C.-----------------二-1D.

aaa+ha-h0.2a+h2a+b

mmmm

例6：化简-----『的结果是（)A、B、C、D、

9-m2m+3"2+3m-33-m

11

—x+-y

-4x2y_3-x13x+5y

例7：约分:53

22:r

6xyX2-93xyxy0.6x-y

a2-441ya(a+b)

例8：约分:

6+4a+416x2yb(a+b)

ax+ayf-16x2-9-\4a2hc3

x2-y2x"+8x+162i+62\a3bc

9-m2_5ab_x2-9

m+320a2bx2-6x+9

a+2a-b4a」一中，最简分式有（

例9：分式)

a2+3a2-b212(a-b)x-2

A.1个B.2个C.3个D.4个

6、分式的乘，除，乘方:

26V-25/16x3y456x4

计算:(1)15/.39y7(2)(3)一

125ai°10O?13a

a-ba2b~a4x-2x2-25a~—1。+1

计算:(4)(5)-------•------------(6)

a2+abab-a1x+5x~~4ci~+4。+4Q+2

<22-4x

计算:(7)6xy•歹(8)-6ab^—(9)(所办言

2a

2/5y.10yx2-lx+3/—1/八Q+2

计算：(10)(11)+(1)•2(12)—~~-——；+(Q+l)--------

3/J+6x+9+X6r+4Q+4a-\

计算幺ci—」\1/一、2a-6/々、3—a

：(13)~9-----------；(14)--------------------------------------------------

Q+2a~—2。+1ci4—4。+。~一6

222

X3分%-y孙+y

求值题：(1)已知:一，求的值。

y4x2—2xy+y2x2-xy

22

求\的值。

(2)已知:x+9y=y-3x9

x+y

---=3,求2x+3xy—2.y的值。

(3)已知:

x-2xy-y

3

计算:

计算:

与w求…的值。

求值题：(1)已知:

2

(2)已知:一—10工+25+卜-3|=0求---------的值。

2xy+2y

22

例题：计算(x2+y)+上上2・的结果是()A_211

+yC-D

xx+yx+yyi+y

例题：化简X十三•二-的结果是（

)A.1B.xyC.2D.土

:yxx)'

2元3-8xx+2x~—2x+12—2x2a+2.〃+1

计算：（1）---------X------(2)(3)(一一1)•

x+4x+42x-4x2-1x+1—2。+12。-2

7、分式的通分及最简公分母：

112

例1：分式-----—r,---------的最简公分母是（）

m+nm—〃m-n

A.（m+«）（m2—n2）B.（m2—n2）2C.（m+n）2（m-n）D.m2-n2

例2：对分式上，三，一匚通分时，最简公分母是（）

2x3y24xy

A.24ry3B.12x2y2C.24xy2D.12A-y2

2[[22

例3：下面各分式：牛工，孚斗，二口，之二，其中最简分式有（）个。

jr+xx-yx+1x-y

A.4B.3C.2D.1

例4：分式二一,'—的最简公分母是

a2-42。-4

例5：分式a与!的最简公分母为________________：

b

1-1

例6：分式工一——的最简公分母为__________

x-y尤+孙

8、分式的加减:

22〃2a2-1-3a2-4

例1：—例2：

mma2-1a2-1

gVxgx+2yy2x

例3：-^―+-----=__________________例4：—^+―r1r一一o——7=__________________

x-yy-xx-yy-xx-y

4m—1ba2b2

计算：(1)——十--(2)」一十(3)

m+3m+3a-bb-a(a—b)2(b-a)2

5。%+33a2h-58+。％

ab1ab1ab~

13115

iii—

例5：化简一+「-+」-等于（）A.2xB.2xc.6xD.6x

x2x3x

bca2a1例8：--3---—

例6：+—例7

abC,a2-4Q—2(x—3)2)-x

Xx+612〃+lci—2

例9：+一例11:4+1...-

222

x-3x-3xX例10：a+a-2a-4-a-\

X2

例12：-x-1

X—1

hah14x-1122

练习题!：(1)-----十(2)i)i——-(3)——+——.

a+bb--a22-xx-42+xci—93—u

b2

(4)----+a+b(5)2--—____2L

a-bx-)，y-x

a11a2—a—\

例13：计算。+1———的结果是（)A----B-----CDQ1

a一1a-1a-1a-\

I2x

例14：请先化简：-.....F-,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.

x-2X2-4

Y1—2丫

例15：已知：X2+4X-3=0求-------,的值。

x+2x+4x+4

9、分式的混合运算:

42xx+3x~-2x+1

例1：-A--------------5-------------------1---------------例2：-----•------------

x~-16x-4x+4x+1x~-1x~+4x+3

.x—2x+2一2%4x

例3：例4：

x+2~x-2x+3jx+1

例5：|1j4———x-y.一一)，2

例6：

(1—XJX-1x+2y%2+4xy+4y2

(」一--L)+&J

x+lxV1

例7x-yx+yx-2xy+y例8：

x~~x尤2—2x+1/x

x+2x-\、x-4

---------;--------)+-----

x-2xx-4JC+4x

练习题:

10、分式求值问题：

?72丫+18

例1：己知x为整数，且^+^+1上为整数，求所有符合条件的“值的和.

x+33-xx-9

24111

例2：已知x=2,y=—,求----+----的值.

2(x-y)2x+yx-y)

例3：已知实数x满足4X2-4X+1=0,则代数式2x+'-的值为

2x

例4：已知实数a满足/+2a—8=0,求-----的值.

。+1u~-1〃~+4/z+3

例5：若x+'=3x2

求的值是（).A.一B.——C.D.-

x/+/+181024

13,求代数式2x二147二2.丫的值

例6：已知---

xyx-2xy-y

Q+1a—3以~—6。+9

例7：先化简，再对〃取一个合适的数，代入求值

(2-3Q+2a2-4

练习题:

x2-4x_,ci~-8。+16a2+ab

(1)—z---------,其中x=5.(2)，其中3=5⑶/，其中a=-3,b=2

x~—8x+16a2-\6+2ab+b?

a2-l。+1甘+-OC%+2x-1x—4

(4)4------；其中a-85；(5)()---,其中x=-1

ci~+4a+4a+2—2xx"—4x+4X

先化简，再求值：工二二+（户2

(6)3).其中X=-2.

2九一4x—2

aa2a22

(7))X)+1,其中々=—,/?=-3

a-ha2-lab-^-b2a+ha2-b2

、x2—1

(8)先化简,14--―再选择一个你喜欢的数代入求值.

X7x

11、分式其他类型试题:

234_5__6_

例1:观察下面一列有规律的数:根据其规律可知第〃个数应

381524)35，48

是.（〃为正整数）

1248与,…，根据你的发现，它的第8项是

例2：观察下面一列分式:2'3，4，，第n项

xXXXX

是。

例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4,则最后输出的结果m是()

A10B20C55D50

例4：当乂=_______时，分式」一与一丝一互为相反数.

5-x2—3x

113

例5：在正数范围内定义一种运算☆,其规则为。☆匕=一+7，根据这个规则^^(九+1)=—的解为

ab2

222

()A.x=—B.x=1C.x=——或1D.x=一或一1

333

例6：已知一士一二4+"K,则4=______B=____c=_______；

x(x+4)xx+4

3y+7

例7：已知土+“，则()

(y-l)(y-2)y-1y-2

A.A=_10,B=13B.A=10,B=13C.A=10,B=-13D.A=—10,B=—13

2

例8：已知2x=3y,求y的值;

x2+y2x2-y2

例9：设加一〃=则'一』的值是()A.」一B.0

C.1D.-1

mnmn

例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

x2Txy+4y2x-24y~2x—2y

例11：先填空后计算:

xiy-____________O—_____________O—______________o

n〃+l1〃+2〃+2〃+3

②(本小题4分)计算：一?—+-----]------+------?------+…+----------]---------

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)(〃+2)(〃+3)("+2003(〃+200&

,1111

解：-------1---------------1--------------F•••H---------------------

〃(〃+1)(n+l)(72+2)(〃+2)(〃+3)(〃+200为(〃+2008

12、化为一元一次的分式方程：

x—1

例1：如果分式-----的值为一1,则X的值是

2x+l

例2：要使二5一与——4的值相等，则产__________o

x—1x—2

例3：当0)=_____时，方程y=2的根为一.

m-x2

2

例4：如果方程-------=3的解是x=5,则a=,,

../、23/仆2—x1

例5：(1)—=——(2)-----+-----=1

x1+1x-33-x

X—216_x+2

例6:解方程：

x+2%2-4x-2

nY—4-

例7：已知：关于x的方程1+——=上二无解，求a的值。

x—33-x

y4-

例8：已知关于x的方程——=-1的根是正数，求a的取值范围。

x-2

例9：若分式」I一与上Y-」2的2倍互为相反数，则所列方程为____________________________

x+2x-3

例10：当ni为何值时间？关于X的方程12—=———土土的解为负数?

x-x—2x+1x—2

h—xx-b

例11：解关于x的方程-----+2=------(awO)

aa

例12：解关于x的方程：士=+==一^亏3*0)

a+bci—hci~-u

v__1y__OOYI"

例13：当a为何值时，---=—竺二一的解是负数?

X—2X4-1(X—2)(%4-1)

2_2

例14：先化简，再求值：一J.上二^+W2x+2—2,其中x,y满足方程组〈x+2y=3

（x-y）x+yx-y=-2

Y—1x_m

例15知关于X的方程d一的解为负值,求m的取值范围。

x+2x—1(尤+2)(x—1)

1_4⑵3x+2_,、I35

练习题：（1）⑵X.10⑶—

x-4x2-16x(x-l)1-X2l-XI+X

x_x-2⑸？5%一-4_2x+51/、11

(4)\07-->

x-5x+62x—43x—621一1—1

-^-+3=-^-(8)1212（9）31一3

(7)

x-22-x犬+33-xx2-92x—21—x

13、分式方程的增根问题：

X）77

例1:分式方程一有增根，则＜11=_____

冗-3x—3

例2：当k的值等于时，关于x的方程一k三+2=-4-JX不会产生增根;

x-3x-3

2m¥3

------1—;---=-----

例3：若解关于x的分式方程x-2X2-4x+2会产生增根，求m的值。

Xin

例4：机取_________时，方程一一-2=——会产生增根；

x—3x—3

Xvn~

例5：若关于x的分式方程一--2二上二无解，则勿的值为—

x—3x—3

例6：当k取什么值时？分式方程一Y匚+-K----二Y=0有增根.

X—1X-1X+1

例7：若方程二二="一有增根，则m的值是（）A.4B.3C.-3D.1

x-4x-4

3a4

例8：若方程一---有增根，则增根可能为（）

x-2xx（x-2）

A、0B、2C、0或2I）、1

7722

)ABCD--

2277

例5：已知2x=3y,求一一上二的值;

f+/%--V

八Lhaca2—ab+h2

例6：如果——=2,贝U-----------

ba2+b2-------------

例7：已知-ci^―与h的和等于-4^x―，则a=,b=o

x+2x-2x2-4

例8：若xy=x—y#0,则分式----=()—B、y-xC>1D、—1

yxxy

Y-24x1li-

例9：有一道题“先化简，再求值:土」+)十一一，其中X=-75。”小玲做题时把“X=—G"

x+2X2-4X2-4

错抄成了“x=口,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?

1-1

例10：有这样一道数学题：“己知:a=2005,求代数式a（l+—）—^a—5■的值”，王东在计算时错把“a=2005”

aa-1

抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。

X2—2x+1—1

例11：有这样一道题：“计算：，十口x一一X的值，其中x=2007”，某同学把x=2007错抄

x~-1X~+X

成x=2008,但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？

例题：已知x+—=3,求丁J-的值。

XX+X+1

15、分式的应用题:

（1）列方程应用题的步骤是什么？（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答.

（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：

a.行程问题：基本公式：路程=速度X时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

b.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

c.工程问题：基本公式：工作量=工时乂工效.

dj顺水逆水问题：V颔水=V悔水+v水.VJJ!*=V*.

工程问题：

例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要小时。

例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张

打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）

,1201801201800120180八120180

A----=——Bn-------=——C——=-------D——=------

x+6xx-6xxx+6xx-6

例3：某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队独做，恰好如期完成；如果乙工作队独做,则超过规定日

期3天，现在甲、乙两队合作2