专题03 函数及其应用（一次、反比例函数）（4大易错点分析+20个易错点+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题03函数及其应用（一次、反比例函数）平面直角坐标系专题易错点：1.坐标与点的混淆：学生可能会混淆点的位置和其坐标。例如，点A(3,4)在x轴上的坐标是3，在y轴上的坐标是4。2.象限的误判：学生可能会误判点所在的象限。例如，点(-2,3)实际上在第二象限，而不是第三象限。3.坐标轴上的点：学生可能会忽略坐标轴上的点的坐标。例如，原点(0,0)在x轴和y轴上，而点(3,0)只在x轴上，其y坐标为0。4.平移的误解：在平面直角坐标系中，点的平移可能会导致混淆。例如，点A(2,3)向右平移3个单位后，其新坐标应为(5,3)，而不是(2,6)。5.对称点的计算：关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标计算可能会出错。例如，点A(2,3)关于x轴的对称点的坐标应为(2,-3)。6.距离计算：计算两点之间的距离时，学生可能会忘记使用距离公式，或者错误地应用公式。7.比例尺的误解：在绘制图形时，学生可能会误解比例尺，导致绘制的图形与实际尺寸不符。易错点1：有序数对例：一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（）

A． B． C． D．变式1：将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行第2行第3行第4行第5行12

3

45

6

7

8

910

11

12

13

14

15

1617

18

19

20

21

22

23

24

25……若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是．变式2：将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5．(1)图中位置上的数是；(2)数据39对应的有序实数对可表示为；(3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数：①；②．易错点2：坐标与图形例：2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（

）A． B． C．D．变式1：如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为变式2：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍相关点”．例如，点的“3倍相关点”的横坐标为：，纵坐标为：，所以点的“3倍相关点”的坐标为．(1)已知点的“倍相关点”是点，求的值；(2)已知点的“倍相关点”是点，且点在轴上，求点到轴的距离．易错点3：点坐标规律例：如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（

）A． B． C． D．变式1：已知一次函数与的图象如图所示，点在直线上，过点作平行于x轴交直线与点，过点作平行于y轴交直线于点，过点作平行于x轴交直线与点，，以此类推，则线段的长为．变式2：对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：连接，过点O作的垂线，在垂线上取一点，使，点在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“关联垂点”．已知点，，．

(1)在点，，，中，点是线段关于原点O的“关联垂点”（只填写字母）；(2)如果点是关于原点O的“关联垂点”，求m的取值范围．函数基础知识专题易错点：1.函数定义的理解：一些学生可能对函数的定义理解不够深入，导致在判断一个关系是否为函数时出错。函数定义要求对于每一个输入，都有唯一的输出与之对应。2.函数自变量的取值范围：学生可能忽视函数自变量的取值范围，导致在求解函数值或进行函数运算时出现错误。例如，对于分式函数，分母不能为0，因此自变量不能取使分母为0的值。3.函数的图象与性质：学生可能对函数的图象和性质理解不够透彻，导致在求解函数问题时出现错误。例如，对于一次函数，其图象是一条直线，斜率和截距决定了直线的位置；对于二次函数，其图象是一个抛物线，开口方向和顶点位置由系数决定。4.函数的运算：在进行函数的加减乘除等运算时，学生可能忽视运算规则，导致结果错误。例如，对于函数的加法，需要将两个函数的对应自变量值相加得到新的函数值。5.复合函数的理解：复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数，学生可能对复合函数的理解不够深入，导致在求解复合函数问题时出现错误。易错点1：常量与变量例：如图，，，，是上的四个点，，若四边形的面积是，的长是，则与的关系式是（

）A． B． C． D．变式1：如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，设，，则与的函数解析式为（不写自变量的取值范围）

变式2：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃边为x米，面积为y平方米．

(1)写出y与x的函数关系式______，并写出x的取值范围______；(2)如果要围成面积为的花圃，求的长度；(3)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少．易错点2：自变量和函数值例：根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（

）A．5 B． C．7 D．3和4变式1：如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离被称为指距．研究表明，身高h和指距d之间满足一次函数关系：，现测得甲的指距是，身高为，若乙的指距为，则他的身高为．变式2：探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质．x…01234…y…a…

(1)列表，写出表中a的值：______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．(2)观察函数图象，回答下列问题：①函数有最______值，是______；②当自变量x的取值范围是______时，函数y的值随自变量x的增大而增大．(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是______．易错点3：函数的图像例：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C． D．变式1：如图1，中，是边上的动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为．变式2：如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，24s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．(1)正方体的棱长为______cm；(2)求线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．一次函数专题易错点：1.函数定义的理解：一次函数定义为形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，且a≠0。容易犯的错误是忽略了a≠0的条件，或者对函数的自变量和因变量的理解不清晰。2.函数斜率和截距的理解：在一次函数y=ax+b中，a是函数的斜率，b是函数的截距。学生容易混淆斜率和截距的概念，或者不理解它们对函数图像的影响。3.函数图像的理解：一次函数的图像是一条直线。学生容易犯的错误是画错直线的斜率或截距，或者不理解直线与坐标轴交点的意义。4.函数性质的理解：一次函数具有一些特殊的性质，如单调性、连续性等。学生容易忽视这些性质，或者在应用这些性质时出错。5.函数的应用：一次函数在实际问题中有广泛的应用，如线性规划、经济问题等。学生在应用一次函数解决实际问题时，容易忽视问题的实际背景，或者不理解如何将实际问题转化为数学问题。易错点1：一次函数的图像例：已知一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（

）A． B．随的增大而增大C．的解集是 D．直线不经过第四象限变式1：已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为．变式2：平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后与函数的图象交于点．(1)直接写出平移后的直线表达式：；(2)求反比例函数的表达式(3)已知点是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图象于点N．①当时，求的长；②若，结合图象，直接写出a的取值范围．易错点2：一次函数的性质例：已知一次函数图象上两点和，下列结论：①若，则；②图象过定点；③原点O到直线的距离最大值为5，正确的个数（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式1：一次函数与的图像如图所示，下列说法①；②；③两个函数都是随的减小而增大；④的解集为；⑤．其中正确的是．（请填写序号）．变式2：在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数．(1)请在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象；(2)小明同学通过图像得到了以下性质，其中正确的有______（填序号）；①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；②此函数的图象关于轴对称．③若方程有解，则；(3)已知点，那么在函数的图象上是否存在一点，使得的面积为12．若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．易错点3：一次函数与一元一次方程例：若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（

）A． B． C． D．变式1：如图，已知矩形中，点、在轴上，直线，过点、交轴于点，，抛物线过点、，且顶点在直线上，抛物线与轴交于点．（1）点A的坐标为；B的坐标（用n表示）；（2）．变式2：某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，________；(2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察图象，写出该函数的两条性质：①________；②________；(4)进一步探究函数图象发现：①方程的解是________；②关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是________．易错点4：一次函数与一元一次不等式例：如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式1：如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为．变式2：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)填空：①直线的表达式为______；②当时，的取值范围是______；(2)在轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线分别与直线交于两点，当时，求的值．易错点5：一次函数与二元一次方程例：如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．变式1：定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则，．变式2：定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．(1)若函数为函数的“组合函数”，求的值；(2)设函数与的图像相交于点．①若，函数的“组合函数”图像经过点，求的值；②若，点在函数的“组合函数”图像的上方，求的取值范围．易错点6：一次函数与实际应用例：如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（）A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润变式1：某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为元．变式2：“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元；购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元．(1)甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场分别以元/个、元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共个，请写出销售收入（元）与销售的甲种型号头盔的数量（个）之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为元？若能，请写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．易错点7：一次函数与几何应用例：如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（

）A． B． C． D．变式1：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处．点在直线上，若点到的三边距离之和等于周长的一半，则点的坐标为．变式2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点，交直线于．(1)求点的坐标；(2)若为等腰三角形且，求点坐标及的值；(3)在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点作轴于点，交于点，且，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，求的取值范围．易错点8：一次函数的新定义例：新定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，有下列结论：①点都是点的“关联点”；②若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式1：定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为．变式2：对于在平面直角坐标系中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点．(1)如图，若点T的坐标为，①在点，，中，是的关联点的是______；②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围；(2)已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围．反比例函数专题易错点：1.函数定义的理解：反比例函数通常定义为，其中k是一个常数。学生可能会忽视这个定义，忘记函数中的x必须是变量，而k必须是常数。2.函数的图象特征：反比例函数的图象是一条通过原点的双曲线。学生可能会忘记这个特点，或者将其与其他类型的函数图象混淆。3.函数的性质：反比例函数有一些特殊的性质，如当k＞0时，函数在第一象限和第三象限；当k＜0时，函数在第二象限和第四象限。学生可能会忽视这些性质，导致解题错误。4.计算错误：在进行函数计算时，学生可能会忽视基本的数学规则，如加减乘除等，从而导致计算结果错误。5.概念混淆：学生可能会将反比例函数与其他类型的函数混淆，如线性函数、二次函数等。这可能会导致他们在解题时应用错误的公式或方法。6.忽视定义域和值域：反比例函数的定义域和值域都是全体实数（除了使分母为零的点）。学生可能会忽视这一点，导致在解题时出现错误。易错点1：反比例函数的图像例：定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（）A．B．C．D．变式1：如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接．（1）点A的坐标是；（2）的面积是．变式2：某同学根据学习函数的经验，在平面直角坐标系中画了函数的图象，如图1．(1)下列关于函数图象的表述，正确的有________（填序号）；①图象与轴没有交点；②的图象可以看作由的图象向右平移1个单位长度得到；③当时，．(2)如图2，已知直线经过且与的图象的一个交点的横坐标等于4，求另一个交点的坐标；(3)在（2）的条件下，直接写出不等式的解集是________．易错点2：反比例函数的性质例：在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．变式1：若点，，都在反比例函数（k为常数）的图像上，则，，的大小关系为．（用“”连接）变式2：智小慧在学习完反比例函数之后又遇到一个新函数：，她按照研究反比例函数的过程对其进行探究：绘制图象：列表x…0123…y…04…描点并连线．（1）已经画出了该函数的一部分图象，请你补充该函数的另一部分图象；探究性质：（2）智小慧通过图象得到了以下性质，其中不正确的是（

）A．函数图象经过原点且位于一、三象限；B．当时，y随x的增大而增大；C．此函数有最大值，是当时，最大值为4；D．此函数的图象关于原点中心对称；性质应用：（3）若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为______．易错点3：反比例函数与一次函数结合例：如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（

）

A． B．，C．当时， D．变式1：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线在第二象限内交于点．当点A的坐标为，且时，k的值为．

变式2：如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象交于第一象限内的点，点也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线与点D．(1)求这两个函数的解析式及点D的坐标；(2)求：的面积；(3)过反比例函数图象上一点P作直线于点E，过点E作轴于点F，过点P作于点G，记的面积为的面积为，求的值．易错点4：反比例函数的实际应用例：如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变，为定值电阻，为酒精气体浓度传感器气敏电阻，的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通电源时，下列说法正确的是（

）A．当酒精浓度增大时，的阻值增大B．当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变C．当酒精浓度增大时，电流表的示数变小D．当酒精浓度增大时，电压表的示数