专题09圆 （1大易错点分析+26个易错点+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题09圆圆专题易错点：1.对圆的定义理解不清：学生可能会混淆圆的定义，认为所有的曲线都是圆，或者认为圆只能由圆心和一个点确定。实际上，圆是由一个固定点（圆心）和所有到该点距离相等的点组成的集合。2.对圆的性质理解不透彻：例如，学生可能不理解为什么圆的周长和面积与半径有关，或者为什么直径是圆内最长的弦。3.对圆的对称性和旋转性理解不足：学生可能无法正确理解和应用圆的对称性和旋转性，这会影响他们解决与圆相关的问题。4.计算错误：在进行圆的周长、面积、圆弧长度等计算时，学生可能会出现计算错误。这可能是由于对公式理解不清，或者计算技能不熟练导致的。5.忽视单位：在进行圆的计算时，学生可能会忽视单位的问题，导致计算结果错误。例如，他们可能会将半径的单位误认为是厘米，而实际上应该是米或毫米。6.对圆与其他几何图形的关系理解不清：例如，学生可能无法理解为什么圆与直线、其他圆、三角形等几何图形之间的关系会影响圆的性质。7.对圆心角与弧长的关系理解不足：学生可能会混淆圆心角与弧长的关系，无法正确地将它们联系起来。实际上，弧长与圆心角之间的关系是通过圆的半径来建立的，弧长等于圆心角（以弧度为单位）与半径的乘积。8.对圆的切线理解不清：切线是与圆只有一个交点的直线。学生可能会对切线的性质感到困惑，例如切线与半径垂直、切线长定理等。9.对圆的内接和外接多边形理解不足：在学习多边形与圆的关系时，学生可能会对内接多边形和外接多边形的概念感到混淆，无法正确理解它们的性质。10.忽视图形的动态变化：在处理与圆相关的动态问题时，如滚动圆、旋转圆等，学生可能会忽视图形的动态变化，导致解题错误。易错点1：圆中的平行弦例：⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1变式1：在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为．变式2：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝AD，AB交CD于E，直径CM交AD于N，连接DM．(1)求证：ABDM；(2)若OE＝4，ON＝2，求⊙O的半径．易错点2：垂径定理例：如图，为的直径，弦交于点，，，，则（

）A． B． C．2 D．1变式1：如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则．变式2：如图，正方形内接于，点为的中点，连接交于点，延长交于点，连接．

(1)求证：(2)若，求和的长．易错点3：弧、弦、圆心角关系例：如图，在中，是的直径，，弦，则（

）A． B． C． D．变式1：如图，在中，，点F为直径上一点，连接并延长交于点G，交于点E，若，，，则的长为．变式2：如图，在中，，，交于点，为的直径，．(1)求证：；(2)若平分，求的度数；(3)若，求图中阴影部分的面积．易错点4：圆心角例：如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．变式1：已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=．

变式2：如图，已知是的直径，点是半圆中点，点是劣弧上的一点．（1）在图①中，，劣弧长为，求的长；（2）在图②中，点是中点，与交于点，点在弦上，且，若，求的长．易错点5：圆周角例：如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，则与的数量关系是（）A． B．C． D．变式1：如图，内接于，，过点的切线与的延长线交于点，则．

变式2：如图，内接于，，是上一点，过点作，交于点．(1)求证：；(2)若，，．求的长；的长为______．易错点6：点与圆位置关系例：如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式1：在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是．变式2：在平面直角坐标系中，O为原点，对于两个图形和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形．(1)已知点P的坐标为，①点P与点Q互为关联图形，则点Q的坐标为；②若的半径为1，点P与互为m关联图形，则m的值为；(2)已知点，射线OA与线段l：互为t关联图形，求t的取值范围．(3)已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系．易错点7：直线与圆位置关系例：在中，，，．若与相离，则半径为r满足（

）A． B． C． D．变式1：如图，直线、相交于点O，，半径为2的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离6处．如果以1的速度沿由A向B的方向移动，那么秒钟后与直线相切．

变式2：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．解：由直线知：，，所以到直线的距离为：根据以上材料，解决下列问题：(1)求点到直线的距离．(2)已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；(3)如图，设点为问题2中上的任意一点，点，为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值．易错点8：三角形的外接圆例：如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．变式1：如图，是的外角的平分线，外接圆的圆心O为的中点，延长交于点F．若，，则的周长为．变式2：如图，已知三角形中，，D是的外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长至E．

(1)求证：的延长线平分(2)若，中边上的高为，求外接圆的面积易错点9：三角形的内切圆例：如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积和是()A． B． C． D．变式1：如图，的内切圆与，分别相切于D，E两点，连接，的延长线交于点F，若，则的大小是．

变式2：学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成：(1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；(2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积．易错点10：切线的性质与判定例：如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（

）A．， B．， C．， D．，变式1：如图，是的直径，弦平分，连接，过点D作的切线交于点E，若，，则的长为．

变式2：如图，在中，内接，连接，作交延长线于点．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．易错点11：圆内接四边形例：如图，四边形内接于，为的直径，D为弧的中点，过点D作于点E，若，则等于（）A． B． C． D．变式1：如图，四边形为的内接四边形，平分为的直径，若，则的长为．变式2：如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．(1)求证：平分，并求的大小；(2)过点C作交的延长线于点F．若，，求此圆半径的长．易错点12：正多边形与圆例：我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A在x轴负半轴上，固定边，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时的度数为（

）A． B． C． D．变式1：如图，点O是正五边形和正三角形的中心，连接，交于点P，则的度数为°．

变式2：如图，正六边形内接于．

(1)若是上的动点，连接，求的度数；(2)已知的面积为．求的度数；求的半径．易错点13：弧长和扇形面积例：如图，在平行四边形中，，以为直径的恰好经过点，交于点，当点为的中点时，下列结论错误的是（

）A．平分 B．C． D．的长为变式1：如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为．变式2：如图，在中，，平分，交于点，是边上的点，经过点，的交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，．①求的长；②求阴影部分的面积．易错点14：圆与三角形结合例：如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．变式1：如图，线段是的直径，弦于点，点是弧上任意一点(不与，重合)，，．延长线段交的延长线于点，直线交于点，连结交于点，则，．变式2：如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接．(1)求证：；(2)若，求AB的长．易错点15：圆与四边形结合例：如图，正方形中，为上一点，于点，已知，过、、的与边交于点，则（

）A． B． C． D．变式1：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE=4ED，BE的中垂线分别交BE，BC的延长线于点H，N．且BC=CN，⊙C为△BNH的外接圆，CFBE，交⊙C于点F，FM⊥AB于点M（FM＜BC），若FM=20，则tan∠AEB=；矩形ABCD的周长为．变式2：圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．(1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________；(2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长；(3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．易错点16：圆与一次函数结合例：如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（

）A．或5 B．5或6 C．或6 D．5变式1：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是．变式2：如图，一次函数的图像与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴相交于点，的外接圆的圆心为点．（1）求点的坐标，并求的大小；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．易错点17：圆与反比例函数结合例：如图，平面直角坐标系中，以为直径的与轴交于点，连接交轴交于点，，反比例函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C． D．变式1：如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，半径为的上，是线段的中点，已知长的最大值为，则的值是．变式2：如图，点P是反比例函数图象上一点，轴于点A，点M在y轴上，过点A，与y轴交于B、D，已知A、B两点的坐标分别为，PB的延长线交于另一点C．(1)求的半径的长；(2)当时，试求出k的值；(3)在（2）的条件下，请求出线段PC的长．易错点18：圆与二次函数结合例：如图，AB＝5，O是AB的中点，P是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接PA，过P作PM⊥AB于点M．设AP＝x，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（

）A．二次函数 B．一次函数 C．正比例函数 D．以上都不对变式1：如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则．变式2：如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为，以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为，，连接，，并且满足．过点B作轴于点M，过点C作轴于点N．(1)求该二次函数的关系式；(2)经过点B作直线，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得，连接，求证：；(3)若直线与圆A相切，请求出k的值．易错点19：圆与相似结合例：如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（

）．A． B． C． D．变式1：如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心旋转，当时，直径在中截得的三角形与相似．变式2：如图1，在中，为高，，，，，线段，上的两个动点，且，连接．

(1)_____；(2)在的运动过程中，当与相似时，求的值；(3)如图2，若以点为圆心，的长为半径作半圆．①当半圆与边相切时，求的长；②当半圆与线段只有一个公共点时，直接写出长的取值范围．易错点20：圆与三角函数结合例：如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（

）时，最大．A． B． C． D．1变式1：如图，在正方形中，M，N分别是的中点，P是线段上的一点，的延长线交于点E，连接，将绕点P顺时针旋转得，则下列结论：①，②；③垂直平分；④若，点E在边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有．变式2：如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．(1)求的半径r的长度；(2)求(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值易错点21：圆的新定义例：定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为()A． B． C． D．变式1：对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆”始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是．变式2：在平面直角坐标系中，对于任意三点给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”：若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．已知：如图，点，点．(1)在中，与点为等距点的是______；(2)点为轴上一动点，若三点为等距点，求的值；(3)已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得三点为等距点，直接写出的取值的范围．易错点22：圆的无刻度尺作图例：在中，，，根据以下圆规作图的痕迹，只用无刻度直尺能正确找到的外心的是（

）A． B． C． D．变式1：在边长为1的网格中，C、B、D在格点上，与圆交于A、B，请按下面要求完成解答：（1）．（2）请用无刻度直尺，画出弧的中点E，保留作图痕迹，并写出画法．变式2：如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.B，C为格点，以线段为直径的交纵向格线于A点，连接.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.(1)在图1中作出圆心O；(2)在图1中作平分交于D点：(3)在图1中作绕D点顺时针旋转后的线段；(4)在图2的中作弦.易错点23：阿基米德折线定理例：阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（

）A． B． C． D．变式1：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是．

变式2：综合运用：【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接和，∵M是的中点，∴，∴（相等的弧所对的弦相等），又∵（同弧所对的圆周角相等），∴，∴，又∵，∴，∴，即．(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．易错点24：阿氏圆例：如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式1：已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是．变式2：阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：过点作交的延长线于点．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．易错点25：秦九韶——海伦公式例：《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（

）A． B． C． D．变式1：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为．变式2：