人教新版九年级下册《第28章 锐角三角函数》2023年单元测试卷（湖北省荆州市洪湖市沙口中心学校）

人教新版九年级下册《第28章锐角三角函数》2023年单元测试卷（湖北省荆州市洪湖市沙口中心学校）一．选择题（共10小题，共30分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosα B． C．5sinα D．3．（3分）点（sin60°，cos30°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，） D．（，﹣）4．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A． B． C．2 D．5．（3分）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，则sinB＝（）A． B． C． D．6．（3分）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（）米（结果保留根号）A．100+100 B．200+200 C．100+100 D．200+2007．（3分）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）A．m（cosα﹣sinα） B．m（sinα﹣cosα） C．m（cosα﹣tanα） D．﹣8．（3分）△ABC中，|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0．则△ABC是（）A．等腰但不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（）A．3 B．3 C．3 D．610．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且∠AOB＝90°，则tan∠OAB＝（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度为m．12．（3分）已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为．14．（3分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）15．（3分）已知：平面直角坐标系xOy中，圆心在x轴上的⊙M与y轴交于点D（0，4）、点H，过H作⊙O的切线交x轴于点A，若点M（﹣3，0），则sin∠HAO的值为．16．（3分）如图，在由相同的菱形组成的网格中，∠ABC＝60°，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接BD，BE，tan∠EBD的值为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．18．（8分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB为腰的等腰△ABC，tan∠BAC＝2，且点C在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以AB为边的平行四边形ABDE，∠BAE＝45°，且AE大于AB，点D、点E均在小正方形的格点上；（3）连接CE，直接写出线段CE的长度．19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．20．（8分）如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝35m．请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．（8分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处．已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）．【参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，＝1.414】22．（10分）在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值．23．（10分）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（12分）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．

人教新版九年级下册《第28章锐角三角函数》2023年单元测试卷（湖北省荆州市洪湖市沙口中心学校）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，共30分）1．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．3．【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin60°＝，cos30°＝，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征，即可解答．【解答】解：∵sin60°＝，cos30°＝，∴点（sin60°，cos30°）关于y轴对称的点的坐标是（﹣，），故选：C．【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，以及关于x轴，y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．4．【分析】连接BD，先利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接BD，由题意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tanA＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴设AC＝2k，BC＝k，则AB＝＝k，∴sinB＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理．6．【分析】过点B作BD⊥AC于点D．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则△BCD为等腰直角三角形，可得CD＝BD＝200米，在Rt△ABD中，tan60°＝＝，解得AD＝200，由AC＝CD+AD可得出答案．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D．由题意可得∠DBA＝60°，∠DBC＝45°，BD＝200米，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴CD＝BD＝200米，在Rt△ABD中，tan∠DBA＝tan60°＝＝，解得AD＝200，∴AC＝CD+AD＝（200+200）米．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．7．【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，则∠BCD＝α，在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，则BD＝BC•sin∠BCD＝msinα，CD＝BC•cos∠BCD＝mcosα，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，则AD＝CD＝mcosα，∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，可得sinA＝，cosB＝，从而求出∠A＝60°，∠B＝60°，然后再利用三角形内角和定理求出∠C，即可解答．【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，等边三角形的判定，特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，以及特殊角的三角函数值是解题的关键．9．【分析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．【解答】解：∵2CD＝6，∴CD＝3，∵tanC＝2，∴＝2，∴AD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝，故选：D．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．10．【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，即可得S△OBD＝4.5，S△AOC＝2，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得＝，然后由正切函数的定义求得答案．【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OBD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2，∵点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，∴S△OBD＝4.5，S△AOC＝2，∴＝，∴tan∠OAB＝＝．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝1：，∴AC＝BC÷tanA＝10m，∴AB＝＝20m．故答案为：20．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．12．【分析】先利用互余关系说明∠B与∠DAC的关系，再利用cosB、AD求出AC．【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC上的高是AD，∴∠BAC＝∠ADC＝90°．∵∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC．∴cosB＝cos∠DAC＝＝．∵AD＝4，∴AC＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握“同角的余角相等”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．13．【分析】易证∠ACD＝∠ADE，由矩形的性质得出∠BAC＝∠ACD，则＝，由此得到AC＝＝＝5，最后由勾股定理得出结果．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，∴＝，∴AC＝＝＝5，由勾股定理得，AB＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．14．【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．【解答】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴DB＝x，在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，∴tan∠ACD＝，∴＝，解得，x≈233．所以，热气球离地面的高度约为233米，故答案为：233米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．15．【分析】连接MH，求出∠HAO＝∠MHO，求出OD，OM，根据勾股定理求出MH，根据解直角三角形求出即可．【解答】解：连接MH，∵D（0，4），M（﹣3，0），∴OD＝4，OM＝3，由垂径定理得：OH＝OD＝4，在Rt△MHO中，由勾股定理得：MH＝5，∵AH为⊙M切线，∴∠MHA＝∠MOH＝90°，∴∠HAO+∠AHO＝90°，∠AHO+∠MHO＝90°，∴∠HAO＝∠MHO，∴sin∠HAO＝sin∠MHO＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，解直角三角形，垂径定理的应用，关键是求出MH的长和得出∠HAO＝∠MHO．16．【分析】连接AC，设菱形网格的边长为a，则AB＝BC＝3a，证明△ABC为等边三角形，△ABC为等边三角形，得出AC＝3a，求出，根据勾股定理求出，求出即可．【解答】解：连接AC，如图所示：设菱形网格的边长为a，则AB＝BC＝3a，∵此图为相同的菱形组成的网格，∴四边形ABCD为菱形，E在AC上，∴AC⊥BD，，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝3a，∴，∵∠ABC＝60°，∴∠AFE＝60°，∵AF＝EF，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝AF＝a，∴，根据勾股定理得：，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求一个角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质．三、解答题（共8小题，共72分）17．【分析】（1）根据幂的运算法则，零指数幂及特殊角三角函数直接计算即可得到答案；（2）根据幂的运算法则，去绝对值及特殊角三角函数直接计算即可得到答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．【点评】本题考查幂的运算法则，零指数幂，特殊角三角函数及去绝对值，解题的关键是熟练掌握a0＝1及特殊角三角函数值．18．【分析】（1）利用等腰三角形以及锐角三角函数的关系可得出答案．（2）利用网格，结合平行四边形的性质画出平行四边形ABDE即可．（3）利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，平行四边形ABDE即为所求．（3）由勾股定理得，CE＝．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．19．【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C＝∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，在Rt△ABD中，∵sinB＝，AD＝12，∴，∴AB＝15，∴BD＝，又∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝5；（2）在Rt△ACD中，∵E为斜边AC的中点，∴ED＝EC＝AC，∴∠C＝∠EDC，∴tan∠EDC＝tanC＝．【点评】此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”等知识点．20．【分析】构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．【解答】解：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝35，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝35，解得：x＝42．∴楼间距AB的长度约为42m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段，本题属于中等题型．21．【分析】在Rt△ABC中，求出BC＝AB•cos75°＝800×0.259＝207.2，在Rt△BDF中，求出DF的长，由四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC，由此即可解决问题．【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠BFD＝90°，EF＝BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosα＝，∴BC＝AB•cos75°＝800×0.259＝207.2．∴EF＝BC＝207.2，在Rt△BDF中，∠BFD＝90°，sinβ＝，∴DF＝BD•sin45°＝800×＝400×1.414＝565.6．∴DE＝DF+EF＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）．∴山高DE约为773米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．【分析】（1）过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了．（2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于点D．∵S△ABC＝BC•AD＝84，∴×14×AD＝84，∴AD＝12．又∵AB＝15，∴BD＝＝9．∴CD＝CB﹣BD＝14﹣9＝5．在Rt△ADC中，AC＝＝13，∴tanC＝＝；（2）过B作BE⊥AC于点E．∵S△ABC＝AC•EB＝84，∴BE＝，∴sin∠BAC＝＝＝．【点评】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．23．【分析】（1）过点A作AH⊥PO于点H，根据坡度的定义可得＝，设AH＝5a米，则PH＝12a米，进而可得AP＝＝＝26，求出a的值，即可得出答案．（2）延长BC交PO于点D，设BC＝x米，则BD＝（x+