鲁教版九年级下册5.2 圆的对称性同步练习

鲁教版九年级下册5.2圆的对称性同步练习一．选择题（共8小题）1．下列说法中，正确的是（）A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心2．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（）A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD C． D．O到AB、CD的距离相等3．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（）A．35° B．55° C．75° D．95°4．如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°6．如图，将含30°角的三角板的顶点放在半圆上，这个三角板的两边分别与半圆相交于点A，B，则弦AB所对的圆心角是（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°8．如图，AB、CD是⊙O的直径，∠AOD＝60°，点P在上，若OA＝1，m＝PA+PC，则m的最大值是（）A．2 B．2 C．4 D．2二．填空题（共4小题）9．如图，在⊙O中，AB＝8，C为的中点，且C到AB的距离为3，则圆的半径为．10．如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为．11．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径为cm．12．如图所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，C是OB的中点，D是上一点，把CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AE，则AE的最小值是．三．解答题（共5小题）13．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．14．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交AB，BA的延长线和AC于D，E，F，连接EF并延长交BC于G，EG⊥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）连接DF，判断DF与BC的位置关系，并说明理由．15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．16．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．17．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．（1）求证：＝；（2）若为140°，求∠EGB的度数．

参考答案解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可．【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系判断即可．【解答】解：∵AB＝DC，∴弧AB＝弧DC，∴∠AOB＝∠COD，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS），∴O到AB、CD的距离相等，所以B、C、D选项正确，故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．【分析】由，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，继而可求得∠AOE的度数．【解答】解：∵，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故选：C．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．4．【分析】连接OB，得到∠BOD＝∠COD，由等腰三角形的性质，得到OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，由勾股定理求出AB长，即可求出OE长，得到DC的长．【解答】解：连接OB，∵D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OD，∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，∵AC是圆的直径，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∴OB＝AC＝5，∴OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，勾股定理，关键是连接OB构造直角三角形，应用勾股定理解决问题．5．【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．6．【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB．【解答】解：连接OA，OB，由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．7．【分析】根据正多边形的中心角＝，计算即可．【解答】解：由题意这是正十六边形，中心角α＝＝22.5°，故选：B．【点评】本题考查正多边形的有关性质，解题的关键是记住中心角＝．8．【分析】连AC，AD，过点A作AH⊥PC于点H．在△ACH在：AC2＝AH2+CH2＝AP2﹣PH2+（PC﹣PH）2＝PA2﹣AP2+PC2﹣2AP•PCcos60°，即AP2+PC2﹣AP•PC＝3，可得（AP+PC）2＝3+3AP•PC，而S△APC＝•AP•PC•sin60°，求出PA•PC的最大值，可得结论．【解答】解：连AC，AD，过点A作AH⊥PC于点H．∵∠AOD＝60°，OA＝OD，∴三角形AOD为等边三角形，又∵CD为直径，∴∠DAC＝90°，则∠ACD＝30°，且AO＝1，因此AC＝，在△ACH中：AC2＝AH2+CH2＝AP2﹣PH2+（PC﹣PH）2＝PA2﹣AP2+PC2﹣2AP•PCcos60°，即AP2+PC2﹣AP•PC＝3，∴（AP+PC）2＝3+3AP•PC，而S△APC＝•AP•PC•sin60°，又∵点P在上运动，则点P到AC的距离是变化的，底边AC为定值，∴△APC的面积是变化的，从而AP•PC的值也是变化的，且随点P到AC的距离的增大而增大，当点P为的中点时，点P到AC的距离的最大．∵此时三角形APC为正三角形，∴此时点P到AC的距离为×＝，∴△PAC的面积的最大值＝××＝，此时PA•PC的最大值＝3，∴m的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想解决问题．二．填空题（共4小题）9．【分析】连接OC，OA，OB，由圆心角、弧、弦的关系，得到∠AOH＝∠BOH，由等腰三角形的性质得到OC⊥AB，AH＝AB＝4，设圆的半径是r，则OH＝r﹣3，由勾股定理得到r2＝42+（r﹣3）2，求出r＝，即可得到圆的半径为．【解答】解：连接OC，OA，OB，∵C为的中点，∴∠AOH＝∠BOH，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴AH＝AB＝×8＝4，∵C到AB的距离为3，∴CH＝3，设圆的半径是r，则OH＝r﹣3，∵OA2＝AH2+OH2，∴r2＝42+（r﹣3）2，∴r＝，∴圆的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于r的方程．10．【分析】过点O作OH⊥AD于H，由垂径定理得AH＝DH＝AD，利用勾股定理求出AC，根据面积法求出OH，再利用勾股定理求出AH，可得AD的值，由CD＝AD﹣AC即可求解．【解答】解：过点O作OH⊥AD于H，∴AH＝DH＝AD，∵C为OB的中点，∴OC＝OB＝5，∵∠AOB＝90°，∴AC＝＝＝5，∵S△AOC＝OA•OC＝AC•OH，∴10×5＝5OH，∴OH＝2，∴AH＝＝4，∴AD＝2AH＝4，∴CD＝AD﹣AC＝8﹣5＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，作辅助线利用勾股定理求解是解题的关键．11．【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+42＝（7﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，∴MN＝7cm，∵CD∥AB，∴MN⊥CD，∴DM＝CD＝×8＝4（cm），BN＝AB＝×6＝3（cm），设OM＝xcm，∴ON＝MN﹣OM＝（7﹣x）cm，∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，∴OM2+MD2＝ON2+BN2，∴x2+42＝（7﹣x）2+32，∴x＝3，∴OM＝3（cm），∴OD＝＝5（cm），∴纸杯的直径为5×2＝10（cm）．故答案为：10．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．12．【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝4，由AE≥AT﹣ET＝2﹣4，可得结论．【解答】解：如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．∵OA＝OB＝4，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝2，∴AH＝AO+OH＝6，∴AT＝＝＝2，∵∠OCT＝∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠TCE，在△OCD和△TCE中，，∴△OCD≌△TCE（SAS），∴ET＝OD＝4，∵AE≥AT﹣ET＝2﹣4，∴AE的最小值为2﹣4．故答案为：2﹣4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共5小题）13．【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解答】证明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出＝是解此题的关键．14．【分析】（1）由EG⊥BC，设∠E+∠B＝90°，∠CFG+∠C＝90°，再由AE＝AF得∠E＝∠AFE＝∠CFG，据此可得∠B＝∠C，进而可得出结论；（2）连接DF，依题意得：ED为半圆的直径，则∠EFD＝90°，即BF⊥EG，再根据EG⊥BC即可得出DF与BC的位置关系．【解答】（1）证明：∵EG⊥BC，∴∠E+∠B＝90°，∠CFG+∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，又∵∠AFE＝∠CFG，∴∠E＝∠CFG，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：DF与BC的位置关系是DF∥BC，理由如下：连接DF，如图所示：依题意得：ED为半圆的直径，∴∠EFD＝90°，即BF⊥EG，又∵EG⊥BC，∴DF∥BC．【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，平行线的判定，解决问题的关键是理解直径所对的圆周角是直角，有两个角相等的三角形是等腰三角形，垂直于同一条直线的两条直线平行．15．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝∠C＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，∴点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝AC＝8，在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，∴OA2＝64+（OA﹣4）2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．16．【分析】（1）已知＝得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC