2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷

2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷一、单选题（30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣4x﹣1＝0 B．xy+1＝0 C． D．x﹣2＝02．（3分）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直3．（3分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（）A．x2﹣25x+50＝0 B．x2﹣35x+60＝0 C．x2﹣35x＝0 D．x2﹣40x+60＝04．（3分）一元二次方程x2+6x+10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根5．（3分）菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的面积是（）A．5 B．10 C．20 D．246．（3分）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（）A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆7．（3分）下列各组线段中是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm C．2cm，4cm，6cm，8cm D．3cm，6cm，9cm，12cm8．（3分）下列条件中，能判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，＝ B．∠A＝∠D，＝ C．∠A＝∠D＝90°，＝ D．∠A＝∠D＝90°，∠C＝55°，∠F＝25°9．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，P是对角线AC上的动点，若AD＝4，∠D＝45°，则PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．10．（3分）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn．下列结论正确的有（）①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长是，④四边形AnBn∁nDn的面积是．A．①②③ B．②③④ C．①② D．②③二、填空题（15分）11．（3分）方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是．12．（3分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于．13．（3分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝．14．（3分）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为．15．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，使点B′落在平行四边形ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为．三、解答题（75分）16．（8分）解方程：（1）（配方法）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（任意方法）3x2﹣1＝2x．17．（9分）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．18．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．19．（9分）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．20．（9分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？21．（10分）在等边三角形ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）用t分别表示BP及BQ的长度，BP＝cm，BQ＝cm；（2）经过几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？22．（10分）5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆BC，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板DEF，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，DF＝2EF，已知DP⊥PA，MG⊥PA，BC⊥PA，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在MG上，求旗帜的宽度MN．23．（11分）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），即ax2+bx+c＝ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2．比较两边系数可得：x1+x2＝，x1x2＝．任务：（1）填空：x1+x2＝，x1x2＝．（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．解：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，有两个实数根x1＝，x2＝．……（3）已知关于x的方程2x2+3mx+m2＝0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．

2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（30分）1．【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此解答即可．【解答】解：A．x2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，故该选项符合题意；B．xy+1＝0是二元二次方程，故该选项不符合题意；C．该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；D．x﹣2＝0是一元一次方程，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可．【解答】解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意；B．对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意；C．对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不符合题意；D．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．3．【分析】如果设休闲娱乐中心的宽度为x米，绿化带的长和宽就应该分别为（20﹣x）m和（30﹣2x）m，根据题意可列出方程．【解答】解：根据题意得，绿化带的长和宽就应该分别为（20﹣x）m和（30﹣2x）m，所以方程为（20﹣x）（30﹣2x）＝480，x2﹣35x+60＝0，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键．4．【分析】求出此方程判别式的值，即可得出答案．【解答】解：∵Δ＝62﹣4×1×10＝36﹣40＝﹣4＜0，∴此方程无实数根，故选：D．【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8＝24．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线乘积的一半是解此题的关键．6．【分析】根据相似图形的概念判断即可．【解答】解：A、关于直线对称的两个图形全等，∴它们是相似图形，本选项不符合题意；B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴它们是相似图形，本选项不符合题意；C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．7．【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【解答】解：A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；B、由于2×2＝1×4，所以成比例，符合题意；C、由于2×8≠4×6，所以不成比例，不符合题意；D、由于3×12≠6×9，所以不成比例，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．8．【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对选项A，B进行判断；根据勾股定理和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可对选项C进行判断；根据两角分别相等的两个三角形相似对选项D进行判断．【解答】解：当∠A＝∠D，＝时，△ABC∽△DEF，所以A选项错误；当∠B＝∠E，＝时，△ABC∽△DEF，所以B选项错误；当∠A＝∠D＝90°，＝时，△ABC∽△DEF，所以C选项正确；当∠A＝∠D＝90°，∠C＝55°，∠F＝35°时，可判定△ABC与△DEF相似，所以D选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．9．【分析】作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH＝HN，当点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AB∥CD，如图，作点F关于AC的对称点N，连接PN，则FP＝PN，∴EP+FP＝EP+PN，∴点E，点P，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，过点A作AH⊥CD于H，∴AH∥EN，∴四边形AHNE是平行四边形，∴AH＝EN，∵∠D＝45°，∴∠DAH＝45°＝∠D，∴AH＝DH，在Rt△ADH中，AH2+DH2＝AD2＝42，∴2AH2＝16，∴AH＝2，∴EN＝2，∴EH+FH的最小值为2．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质和轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为菱形ABCD中AD边的高．10．【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；④根据四边形AnBn∁nDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．【解答】解：①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；故本选项错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故本选项正确；③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝A1B1＝AC，B5C5＝B3C3＝B1C1＝BD，∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝，故本选项正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBn∁nDn的面积是，故本选项正确；综上所述，②③④正确．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．二、填空题（15分）11．【分析】根据因式分解法直接解答．【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0，x﹣2＝0，x1＝﹣1，x2＝2．故答案为x1＝﹣1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到AE：EC＝AD：DB＝3：5，则利用比例性质得到CE：CA＝5：8，然后利用EF∥AB可得到CF：CB＝5：8．【解答】解：∵DE∥BC，∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，∴CE：CA＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．故答案为5：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．13．【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1＝0，然后解不等式和方程即可得到a的值．【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1＝0，∴a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．14．【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．【解答】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，设鲫鱼的条数为x，可得：＝0.25；解得：x＝500，∴捞到草鱼的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．15．【分析】在▱ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD＝90°或∠AB′D＝90°，画出图形，分类讨论解答即可．【解答】解：当∠B′AD＝90°，AB＜BC时，延长B'A交BC于点G，如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，B'C由BC折叠得到，∴AD＝BC，BC＝B′C，AD∥BC，∴AD＝B′C，∵∠B′AD＝90°，∴∠B′GC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴∠AB′C＝30°，∴GC＝B′C＝BC，∴G是BC的中点，在Rt△ABG中，BG＝AB＝×2＝3，∴BC＝6；当∠AB′D＝90°时，如图2，设AD交CB′于点O．∵AD＝BC，BC＝B′C，∴AD＝B′C，由题意可知，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴OA＝OC，∴OB′＝OD，∴∠4＝∠5，∵∠AOC＝∠DOB′，∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，∴AC∥B′D，∴∠B′AC＝∠BAC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴BC＝AB÷＝2×＝4，综上所述，当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．故答案为：4或6．【点评】本题考查翻折变换的性质，解答时涉及，翻折的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．三、解答题（75分）16．【分析】（1）根据配方法的要求进行解答即可；（2）公式法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，x2﹣6x＝7，x2﹣6x+9＝16，（x﹣3）2＝16，x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）3x2﹣1＝2x．3x2﹣2x﹣1＝0．Δ＝4﹣4×3×（﹣1）＝16，∴x1＝＝1，x2＝﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，灵活一元二次方程的解法是解答本题的关键．17．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，可得BD⊥AC，OA＝OB＝OC＝OD，根据AE＝CF，可得OE＝OF，即可得证；（2）根据已知条件，可得OE＝2，OB＝4，根据勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BDEF的周长．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，如图所示：在正方形ABCD中，AC⊥BD，且OA＝OC＝OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形BEDF是平行四边形，∵BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵AC＝8，∴OA＝OB＝4，∵AE＝2，∴OE＝4﹣2＝2，在△EOB中，根据勾股定理，得BE＝，∵四边形BEDF是菱形，∴四边形BEDF的周长为×4＝．【点评】本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．19．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．【解答】（1）证明：当k≠0时，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴Δ＝（2k﹣3）2≥0，当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴无论k取何值，方程都有实根；（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k＝．故k的值；（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3﹣，∵方程的两个实根均为正整数，∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．20．【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（700﹣10y）个，利用月销售利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为300﹣10（y﹣40）＝（700﹣10y）个，根据题意得：（y﹣30）（700﹣10y）＝3960，整理得：y2﹣100y+2496＝0，解得：y1＝48，y2＝52，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝48．答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求