浙江省绍兴市浣江教育共同体2023-2024学年九年级上学期期中测试数学试卷

浙江省绍兴市浣江教育共同体2023-2024学年九年级上学期数学期中测试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．若ab=3A．15 B．25 C．832．已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定3．二次函数y=x2+1A．（－1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，－1）4．若两个三角形的相似比为1：3，则它们的面积比为（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：15．一个不透明的盒子里有6个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．16 B．13 C．126．关于二次函数y=2(A．有最大值4 B．有最大值6 C．有最小值4 D．有最小值67．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°8．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上，若BF=92cmA．3 B．392 C．19 D．9．二次函数y1=−x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点BA．2＜x＜3 B．x＜3 C．x＜2或x＞3 D．x＞210．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（）A．2−1 B．2+1 C．4−2二、填空题（本题有6小题.每小题4分，共24分）11．成语“守株待兔”反映的事件是事件（填必然、不可能或随机）．12．已知扇形的圆心角为120°，它的弧长为6π，则它的半径为．13．若二次函数y=ax2+2ax−3的图象与x轴的一个交点是（3，0），则与x14．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为cm．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝1，BC＝2，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为．16．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为23（1）求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）18．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，求该古城墙的高度CD．19．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，710（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC=23，在线段AC上取点D，使AD＝2CD，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E（1）不添其他辅助线写出图中一对相似三角形，并说明理由；（2）求弦CE的长．21．诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元（x≥7）．（1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值．（2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？22．如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．（1）求圆弧AED所在圆的半径；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6m，宽3.3m，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由．23．已知二次函数y=x（1）当b=−2，①求该函数图象的顶点坐标；②当−1≤x≤4时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最小值为−8；当x＞0时，y的最小值为−9，求二次函数的表达式．24．如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H．（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；（2）如图2，连接DF，CE，BD；①判断DF与CE的数量关系，并证明；②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，FM=22，FD=6

答案解析部分1．【答案】D【知识点】求代数式的值-化简代入求值【解析】【解答】解：∵a+bb∴原式=35+1=8【分析】先化简代数式，再代入求值即可.2．【答案】A【知识点】点与圆的位置关系【解析】【解答】解：∵PO=4cm<r=5cm，

∴点P在⊙O内.

故答案为：A.

【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小比较确定来点的位置即可.3．【答案】C【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题【解析】【解答】解：当x=0时，y=1，即二次函数与y轴的交点为（0，1）.故答案为：C.【分析】将x=0代入求y值即可.4．【答案】B【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：由题意得：面积比=相似比的平方=（1：3）2=1：9.答案为：B.【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求得.5．【答案】A【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：∵盒子里有6个除颜色外其他完全相同的小球，其中白球1个，

∴摸到白球的概率是16故答案为：A.【分析】用白球的个数除以总球数即可求得.6．【答案】D【知识点】二次函数的最值【解析】【解答】解：由二次函数y=2(故答案为：D.【分析】根据二次函数的解析式得开口方向和顶点即可求得.7．【答案】C【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠A=115°，∴∠BCD=180°-∠A=65°，∴∠BOD=2∠BCD=130°.故答案为：C.【分析】首先根据圆内接四边形的对角互补求出∠BCD的度数，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案.8．【答案】B【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，

∴∠C+∠B=90°，

∵四边形DEFG为矩形，

∴∠DEC=∠GFE=90°，

∴∠GFB=∠CED=90°，

∴∠C+∠CDE=90°，

∴∠B=∠CDE，

∴△BFG∽△DEC，

同理得：△GAD∽△DEC，

∴BFGF=DECE，

∵BF=92cm，CE=2cm，GF=DE，

∴GF=DE=3，

∴CD=DE2+EC2=13，

∵D是AC的中点，

∴AD=CD=13，

∴GD故答案为：B.【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似判定△BFG∽△DEC∽△GAD，根据相似三角形的性质求得GF=DE，再根据勾股定理求得CD，根据线段中点得AD，再利用相似三角形的性质求得GD，即可求得矩形面积.9．【答案】C【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y1∴二次函数的图象开口向下，

∵二次函数和一次函数的图象交点为交于点A（2，5）和点B（3，m），

∴当x＜2或x＞3时，y1<y【分析】根据二次函数的图象特征，取一次函数在二次函数上方时自变量的取值范围即可.10．【答案】A【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：连接CO，如图，

由三角形两边之差小于第三边，

当C、O、E共线时，OE最小，

设AC⏜的弧度为x，则BC⏜∵∠CAB=∠CAD，

∴CD⏜的弧度为180°-x，

由折叠知：AEC⏜=AC⏜=x，

AD⏜=x-(180°-x）=2x-180°，

∵点E为弧AD的中点，

∴AE⏜=12AD⏜=x-90°，

∴CE⏜=AC⏜-AE⏜=90°，

∴CE⏜所对圆心角为90°，

∵直径AB=2，

【分析】由三角形的两边之差小于第三边得点O、C、E共线时OE最小，设AC⏜的弧度为x，得CD⏜、AD⏜、AE11．【答案】随机【知识点】随机事件【解析】【解答】解：守株待兔反应的事件是可能发生也可能不发生的事件，即随机事件.故答案为：随机.【分析】根据随机事件的定义即可求得.12．【答案】9【知识点】弧长的计算【解析】【解答】l=120πr180=2πr3，所以r=【分析】根据弧长公式进行求解：弧长=nπr18013．【答案】（-5，0）【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题【解析】【解答】解：由y=ax2+2ax−3得，二次函数的对称轴为x=−故答案为：（-5，0）.【分析】根据二次函数的解析式得对称轴即可求得.14．【答案】2【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），

∴BPAP=5−12，

∵AP+BP=4，

∴4−AP故答案为：25【分析】根据黄金分割点列出关于AP的式子，求解即可.15．【答案】14或3−【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：第一种情况：延长ED交AB于点G，如图，

当∠EDF=90°，则∠GDF=90°，∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F，

∴∠ADB=∠ADE，即∠ADG=∠ADF，

∵∠ADG+∠ADF=90°，

∴∠ADF=45°，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=CD=1，

∵BC=2，

∴BD=DE=1，

∵△ACB∽△GDB，

∴ACCB=GDBD，

∴GD=12，

∴FD=12，

∴S△DEF=12×DE×DF=14；

第二种情况：延长ED交AB于点G，如图，

由翻折的性质得：△ADE≌△ADB，△DEF≌△DGB，

∴AG=AC=1，

∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，

∴AB=5，

∵AC=1，

∴FE=5−1，

∴在Rt△DEF中，∠EFD=90°，

则FE2+FD2=DE2，即5−12

【分析】分两种情况：第一种∠EDF=90°，根据翻折的性质得∠ADG=∠ADF，BD=DE，推出△ACD为等腰直角三角形，再根据相似三角形的性质求得FD即可求得；

第二种∠ADG=∠ADF，根据翻折的性质得EF，根据勾股定理得AB，在Rt△DEF中再根据勾股定理求得FD即可.16．【答案】22或【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD，如图，当△ABD为等腰三角形，则∠BAD=∠ABD=45°，

∴∠DCB=45°，

∴△CEB为等腰直角三角形，

∴CE=BE=322，

∵△ABD为等腰直角三角形，

∴AD=BD=522，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=22，

∴CD=CE+DE=722，

∵DD'=AB=5，

在在Rt△DD'C中，由勾股定理得：CD'=22

【分析】根据题意找到D和D'两点，根据垂径定理得∠DCB=45°推出△CEB为等腰直角三角形求得CE，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理得BD，再根据勾股定理即可求得DE，CD即可求出；再利用勾股定理即可求得CD'.17．【答案】（1）解：23=白球个数所有的球数，即（2）解：根据题意得，可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共9种，而两次都摸到相同颜色的小球的结果有5种，所以

P=59.【知识点】列表法与树状图法；概率公式【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求得；

（2）根据题意画出树状图，找出所有可能出现的结果和两次都摸到相同颜色的小球的结果，再利用概率公式即可.18．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP=∠PCD=90°，

∵点P处放一水平的平面镜，

∴∠APB=∠CPD，

∴△ABP∽△CDP，

∴ABBP=CDPD，即23=【知识点】相似三角形的应用【解析】【分析】先根据两个角分别相等的两个三角形相似，即△ABP∽△CDP，推出ABBP19．【答案】（1）解：设二次函数为y=a(x-1)2+710，

∵点A（2，1）在图形上，

∴1=a(2-1)2+710，则a=310，

∴y=310(x-1)（2）解：不在，过点A作AC⊥x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴交于点D，如图，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠AOB=90°，OA=OB，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵BD⊥x轴，

∴∠BDO=90°，即∠BOD+∠OBD=90°，

∴∠AOC=∠OBD，

∵AC⊥x轴，

∴∠OCA=90°，

∴∠BDO=∠OCA，

∴△BDO≌△OCA（AAS），

∴BD=OC=2，OD=AC=1，

∴B（-1，2），

x=-1代入y=310(x-1)2+710得，y=1910≠2，【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）由顶点坐标写出函数的顶点式y=a(x-1)2+710，再将点A坐标代入即可求得；

20．【答案】（1）解：∵∠A=∠E，∠EDC=∠ADB，

∴△EDC∽△ADB；​​（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC=23，

∴AB=43，

∵AD＝2CD，

∴ADCD=ABEC【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得∠A=∠E，对顶角相等∠EDC=∠ADB，即可求得△EDC∽△ADB；

（2）根据勾股定理得AB=4321．【答案】（1）解：根据题意得：(x-5)[140-10(x-7)]=600，

解得：x=11或x=15，

答：x的值为11或15.（2）解：设利润为y元，根据题意得：

y=(x-5)[140-10(x-7)]=-10(x-13)2+640，

当x=13时，利润取最大值640，

答：销售单价定位13元，最大利润为640.【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可；

（2）列出利润关于销售单价的二次函数，变形为顶点式，即可得到最大利润.22．【答案】（1）解：设圆心为点O，半径为R，连接OE交AD于点F，连接OD，OA，如图，

∵OE⊥AD，OE平分AD，

∴△AFO是直角三角形，

∵AF=12AD=12BC=6，OF=OE-EF=R-4，

∴AF2+OF2=AO2，即62+(R-4)2=R2，

（2）解：能，取GF=3m，过点G作GH⊥EO，如图，

在Rt△GHO中，OG=GF+OF=5.5m，OH=6.5m，

GH=OH2−OG2=【知识点】勾股定理；垂径定理【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OE垂直平分AD，再根据勾股定理即可求得；

（2）根据勾股定理算出隧道达到车高时隧道的宽度，与车宽比较即可.23．【答案】（1）解：当b=−2，c=−3时，y=x2-2x-3=(x-1)2-4，

①顶点坐标（1，-4）；

②当−1≤x≤4时，

x=1时，y取最小值-4；

x=4时，y取最大值5；

∴y的取值范围（2）解：由题意得：x＞0时，函数有最小值，即对称轴在y轴的右侧，

且x≤0时，