高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)指数与指数函数

x届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）指数与指数函数第六节指数与指数函数[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解指数函数模型的实际背景,2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数1.主要以选择题或填空题的形式考查指数函幂的意义,掌握幂的运算,数的值域以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如x年上海T7.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的2.常与其他问题相结合进行综合考查，如与单调性,掌握指数函数图象通过的特殊对数的运算、数值的大小比较等相结合.点,4.知道指数函数是一类重要的函数模型.[归纳?知识整合]1(根式(1)根式的概念:根式的概念符号表示备注n*如果x,a，那么x叫做a的n次方根n,1且n?N当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，n零的n次方根是零a负数的n次方根是一个负数当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两n负数没有偶次方根?a(a>0)个数互为相反数(2)两个重要公式:a，n为奇数，,nn,a，a?0，，?a,,,,|a|,n为偶数;,,a，a,0，，,,nnn?(a),a(注意a必须使a有意义)(nn[探究]1.a,a成立的条件是什么,提示:当n为奇数时～a?R,当n为偶数时～a?0.2(有理数指数幂(1)幂的有关概念:mnm*n?正分数指数幂:a,a(a,0，m，n?N，且n,1);m,11*n?负分数指数幂:a,,(a,0，m，n?N，且n,1);mnnmaa?0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义((2)有理数指数幂的性质:rsr，s?aa,a(a,0，r，s?Q);rsrs?(a),a(a,0，r，s?Q);rrr?(ab),ab(a,0，b,0，r?Q)((指数函数的图象与性质3xy,aa,10,a,1图象定义域R值域(0，，?)(1)过定点(0,1)(2)当x,0时，y,1;x,0时，0,性质(2)当x,0时，0,y,1;x,0时，y,1y,1(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数xxxx[探究]2(如图是指数函数(1)y,a，(2)y,b，(3)y,c，(4)y,d的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何,你能得到什么规律,提示:图中直线x,1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值～1111即c>d>1>a>b～所以～c>d>1>a>b～即无论在y轴的左侧还是右侧～底数按逆时针方向变大(1x|x|xx,,3(函数y,a，y,a，y,|a|(a>0，a?1)，y,之间有何关系,,,axx|x|x提示:y,a与y,|a|是同一个函数的不同表现形式,函数y,a与y,a不同～前者1xx,,是一个偶函数～其图象关于y轴对称～当x?0时两函数图象相同,y,a与y,的图象,,a关于y轴对称([自测?牛刀小试]16021((教材习题改编)化简[(,2)],(,1)的结果为()A(,9B(,10C(9D(71106622解析:选D[(,2)],(,1),(2),1,8,1,7.3322abab2(化简(a>0，b>0)的结果是()113b442，ab，abA.B(abaa2C(abD.b11082,,335412ab,,323333ab?ababa,1,,解析:选D原式,,,,ab,.12727bb2,,33333ababab,,a|x,1|3(函数f(x),2的图象是()x,12～x?1～,,解析:选B?f(x),,1x,1,,～x<1～,,,,2?根据分段函数即可画出函数图象(1x,,4((教材习题改编)函数y,1,的定义域为________(,,211xx,,,,解析:要使函数有意义～需1,?0～即?1～,,,,22?x?0～即定义域为[0～，?)(答案:[0，，?)x5(若函数f(x),a,1(a>0，a?1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a,________.x解析:当a>1时～f(x),a,1在[0,2]上为增函数～2则a,1,2～?a,?3.又?a>1～?a,3.x当0<a<1时～f(x),a,1在[0,2]上为减函数又?f(0),0?2～?0<a<1不成立(综上可知～a,3.答案:3指数幂的运算[例1]求值与化简:121,4337206,,,,,,334(1)×,，8×2，(2×3),,,________;,,,,,,2633533ab(2)?,________;5423ba4133,,3aab,83b(3)?,,?a,________.221,2,,a333aabb，，24113111226,,,,,,4433[自主解答](1)原式,×1，2×2，,,2，4×27,x0.232×3,,,,,,33353233533,,4ab15102124(2)?,a?b,a,aa.5423ba1133(3)令a,m～b,n～43m,8mn2n,,则原式,?1,?m22,,m，2mn，4nm332m，m,8n，m,?22m，2mn，4nm,2n322m，m,2n，，m，2mn，4n，,22，m，2mn，4n，，m,2n，3,m,a.4[答案](1)x0(2)aa(3)a———————————————————指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂(对于化简结果，形式力求统一(1(化简下列各式(其中各字母均为正数)(1,2112,,,,1332abab???,,,,(1);65ab?11215,2,,,,,23,1,3(2)a?b??.32,3ab4a?b,,,,61111,,1111153322,,,，,abab?1326236解:(1)原式,,,a?b,.15a66ab11,25,3,,62,3(2)原式,,ab?34a?b,,21,135,3,6,,,,a?b?23,,ab413,,522,,a?b.4515ab,,?,,.2344abab指数函数的图象及应用[例2](1)已知函数f(x),(x,a)?(x,b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所x示，则函数g(x),a，b的图象是()x(2)若曲线|y|,2，1与直线y,b没有公共点，则b的取值范围是________([自主解答](1)由已知并结合图象可知0<a<1～b<,1.x对于函数g(x),a，b～它一定是单调递减的(0且当x,0时g(0),a，b,1，b<0～即图象与y轴交点在负半轴上(xx(2)曲线|y|,2，1与直线y,b的图象如图所示～由图象可得:如果|y|,2，1与直线y,b没有公共点～则b应满足的条件是b?[,1,1]([答案](1)A(2)[,1,1]xx若将本例(2)中“|y|,2，1”改为“y,|2,1|”，且与直线y,b有两个公共点，求b的取值范围(x解:曲线y,|2,1|与直线y,b的图象如图所示～由图象可得～如x果曲线y,|2,1|与直线y,b有两个公共点～则b的取值范围是(0,1)(———————————————————指数函数图象的画法及应用1x,,(1)画指数函数y,a(a>0，a?1)的图象，应抓住三个关键点:(1，a)，(0,1)，,1，.,,a，2，与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.，3，一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.x2((x?四川高考)函数y,a,a(a>0，且a?1)的图象可能是()1解析:选C当x,1时～y,a,a,0～x?函数y,a,a的图象过定点(1,0)～结合图象可知选C.x3((x?x模拟)已知过点O的直线与函数y,3的图象交于A，B两点，点A在线段OBx上，过A作y轴的平行线交函数y,9的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是________(xy,3～11,,xy,3～解析:设A(x～y)～B(x～y)～由题意可得～C(x～y)～所以有又A～O～22,112212x,y,9.,21xxyy3x13112111B三点共线～所以k,k～即,～代入可得～,,～即,～所以x,log2.AOBOx2x13xx3x32212221答案:log23指数函数的性质及应用21ax,4x，3,,[例3]已知函数f(x),,,3(1)若a,,1，求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3，求a的值;(3)若f(x)的值域是(0，，?)，求a的值([自主解答](1)当a,,1时～21,x,4x，3,,f(x),～,,32令g(x),,x,4x，3～1t,,由于g(x)在(,?～,2)上单调递增～在(,2～，?)上单调递减～而y,在R上单,,3调递减～所以f(x)在(,?～,2)上单调递减～在(,2～，?)上单调递增～即函数f(x)的单调递2～，?)～单调递减区间是(,?～,2)(增区间是(,12h(x),,(2)令h(x),ax,4x，3～f(x),～,,3由于f(x)有最大值3～所以h(x)应有最小值,1～a>0～,,因此必有解得a,1～,3a,4,,1～,,a即当f(x)有最大值3时～a的值等于1.1h(x)2,,(3)由指数函数的性质知～要使y,的值域为(0～，?)(应使h(x),ax,4x，3的,,3值域为R～因此只能a,0(因为若a?0～则h(x)为二次函数～其值域不可能为R)(故a的值为0.———————————————————利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决(2xx4(设a>0且a?1，函数y,a，2a,1在[,1,1]上的最大值是14，求a的值(x解:令t,a(a>0且a?1)～2则原函数化为y,(t，1),2(t>0)(?当0<a<1时～1x，，x?[,1,1]～t,a?a～～，，a1，，此时f(t)在a～上为增函数(，，a112,,,,所以f(t),f,，1,2,14.max,,,,aa12,,所以，1,16～,,a11即a,,或a,.531又因为a>0～所以a,.31x，，?当a>1时～x?[,1,1]～t,a～a～?，，a1，，此时f(t)在～a上是增函数(，，a2所以f(t),f(a),(a，1),2,14～max1解得a,3(a,,5舍去)(综上得a,或a,3.31个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算(2个应用——指数函数单调性的应用(1)比较指数式的大小若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小;若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较((2)解指数不等式xbx形如a>a的不等式，借助于函数y,a的单调性求解，如果a的取值不确定，需分xa>1与0<a<1两种情况讨论，而形如a>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式(3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数(x(2)指数函数y,a(a>0，a?1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究(2xx2xx(3)对可化为a，b?a，c,0或a，b?a，c?0(?0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.创新交汇—指数函数与不等式的交汇问题1(高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题(2(解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解([典例](x?浙江高考)设a,0，b,0()abA(若2，2a,2，3b，则a,babB(若2，2a,2，3b，则a,babC(若2,2a,2,3b，则a,babD(若2,2a,2,3b，则a,b[解析]?a>0～b>0～abb?2，2a,2，3b>2，2b.x令f(x),2，2x(x>0)～则函数f(x)为单调增函数(?a>b.[答案]A[名师点评]1(本题有以下创新点(1)命题方式的创新:本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式((2)考查内容的创新:本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想(2(解决本题的关键有以下两点(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题((2)构造函数，并利用其单调性解决问题([变式训练]1，x<0，,x111(若函数f(x),则不等式,?f(x)?的解集为(),331x,,，x?0，,,,3A([,1,2)?[3，，?)B((,?，,3]?[1，，?)3，,C.，，?D((1，3]?[3，，?)，,21～x<0～,x1解析:选B函数f(x),和函数g(x),?的图象如图所示～从图象上可,31x,,～x?0,,,3以看出不等式的解集是两个无限区间(当x<0时～是区间(,?～,3]～当x?0时～是区间11[1～，?)～故不等式,?f(x)?的解集为(,?～,3]?[1～，?)(332(设函数y,f(x)在(,?，，?)内有定义，对于给定的正数K，定义函数:f(x),k,f，x，，f，x，?K，,1,|x|,取函数f(x),a(a>1)(当K,时，函数f(x)在下列区间上单调递减的KaK，f，x，>K.,,是()A((,?，0)B((,a，，?)C((,?，,1)D((1，，?),|x|解析:选D函数f(x),a(a>1)的图象为右图中实线部分～y,K1,的图象为右图中虚线部分～由图象知f(x)在(1～，?)上为减函Ka数.3,x1(化简的结果是()xA(,,xB.xC(,xD.,x33,x,x解析:选A依题意知x<0～?,,,x.,,2xx1x,0.5,,2((x?天津高考)已知a,2，b,，c,2log2，则a，b，c的大小关系为()5,,2A(c<b<aB(c<a<bC(b<a<cD(b<c<ax解析:选A?a,2～b,2～c,log4～5?1<b<2,0<c<1～?a>b>c.21x,,3(函数y,的值域是(),,3A((0，，?)B((0,1)C((0,1]D([1，，?)212x,,解析:选C?x?0～??1～即值域是(0,1](,,3,a，a?b，,x,x,4((x?广州模拟)定义运算a?b,，则f(x),2?2的图象是()b，a>b，,,x,x解析:选Cx?0时～2?1?2>0,x,xx<0时～0<2<1<2.,x2～x?0～,x,x?f(x),2?2,,x2～x<0.,x5(设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x,1对称，且当x?1时，f(x),3,1，则有()132,,,,,,A(f<f<f,,,,,,323231,,,,,,B(f<f<f,,,,,,323213,,,,,,C(f<f<f,,,,,,332321,,,,,,D(f<f<f,,,,,,233x解析:选B由题设知～当x?1时～f(x),3,1单调递增～因其图象关于直线x,133121123,,,,,,,,,,,,,,,,对称～?当x?1时～f(x)单调递减(?f,f2,,f.?f<f<f～即f<f,,,,,,,,,,,,,,,,222323321,,<f.,,31x,,2,，x?0，,,,36((x?四平模拟)已知直线y,mx与函数f(x),的图象恰好有3个,12x，1，x>0,2不同的公共点，则实数m的取值范围是()A((3，4)B((2，，?)C((2，5)D((3，22)1x,,2,～x?0～,,,3解析:选B作出函数f(x),的图象～如图所,12x，1～x>0,2示(直线y,mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线(当斜率m?0时～直线y,mx与函数f(x)的图象只有一个公共点,当m>0时～直线y,mx1x,,始终与函数y,2,(x?0)的图象有一个公共点～故要使直线y,mx与,,312函数f(x)的图象有三个公共点～必须使直线y,mx与函数y,x，1(x>0)的图象有两个公共2122点～即方程mx,x，1在x>0时有两个不相等的实数根～即方程x,2mx，2,0的判别式22Δ,4m,4×2>0～解得m>2.故所求实数m的取值范围是(2～，?)(二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)x,17(已知函数f(x),4，a的图象恒过定点P，则点P的坐标是________(解析:令x,1,0～即x,1～则f(1),5.?图象恒过定点P(1,5)(答案:(1,5)1xx,,8(函数y,,3在区间[,1,1]上的最大值等于________(,,51xx,,解析:由y,是减函数～y,3是增函数～可知,,5114xx,,y,,3是减函数～故当x,,1时函数有最大值.,,5314答案:39(对于函数f(x)，如果存在函数g(x),ax，b(a，b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)?g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设xf(x),2，g(x),2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m,n|的最大值为________(x解析:因为函数f(x),2与g(x),2x的图象相交于点A(1,2)～B(2,4)～由图可知～[m～n]?[1,2]～故|m,n|,2,1,1.max答案:1三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)x,xx,x10(已知f(x),e,e，g(x),e，e(e,2.71828„)(22(1)求[f(x)],[g(x)]的值;g，x，y，(2)若f(x)f(y),4，g(x)g(y),8，求的值(g，x,y，22x,x2x,x2解:(1)[f(x)],[g(x)],(e,e),(e，e)2x,2x2x,2x,(e,2，e),(e，2，e),,4.x,xy,y(2)f(x)f(y),(e,e)(e,e)x，y,x,yx,y,x，y,e，e,e,ex，y,(x，y)x,y,(x,y),[e，e],[e，e]g(x，y),g(x,y)～,?g(x，y),g(x,y),4.?同理～由g(x)g(y),8～可得g(x，y)，g(x,y),8.?g，x，y，由??解得g(x，y),6～g(x,y),2～?,3.g，x,y，2x，2xx(若函数y,lg(3,4x，x)的定义域为M.当x?M时，求f(x),2,3×4的最值及相应的x的值(22解:y,lg(3,4x，x)～?3,4x，x>0～解得x<1或x>3.?M,{x|x<1～或x>3}(x，2xxx2f(x),2,3×4,4×2,3×(2).x令2,t～?x<1或x>3～?t>8或0<t<2.2422,,y,4t,3t?,,3t,，(t>8或0<t<2)(,,33由二次函数性质可知:4,，当0<t<2时～f(t)?,4～～,，3当t>8时～f(t)?(,?～,160)～224x?当2,t,～即x,log时～f(x),.2max33324综上可知～当x,log时～f(x)取到最大值为～无最小值(2331xx(已知函数f(x),3,.|x|3(1)若f(x),2，求x的值;(2)判断x>0时，f(x)的单调性;1t，，(3)若3f(2t)，mf(t)?0对于t?，1恒成立，求m的取值范围(，，2xx解:(1)当x?0时～f(x),3,3,0～?f(x),2无解(11xx当x>0时～f(x),3,～令3,,2.xx33x2xx?(3),2?3,1,0～解得3,1?2.xx?3>0～?3,1，2.?x,log(1，2)(311xx(2)?y,3在(0～，?)上单调递增～y,在(0～，?)上单调递减～?f(x),3,在(0～xx33，?)上单调递增(11t，，～1～?f(t),3,>0.(3)?t?t，，32t?3f(2t)，mf(t)?0化为11t2tt,,,,33,，m3,?0～2tt,,,,331tt2t,,即33，，m?0～即m?,3,1.t,,312t，，令g(t),,3,1～则g(t)在～1上递减～，，2?g(x),,4.max?所求实数m的取值范围是[,4～，?)(1x,,(函数y,1，1的图象关于直线y,x对称的图象大致是(),,21x,,解析:选A先通过平移变换作出函数y,，1的图象～再作关于直线y,x对称的,,2图象即可(112,2,，x,2x222(已知x，x,3，求的值(33,22x，x,311,,122解:?x，x,3～?x，x,7.2,2,122?x，x,(x，x),2,7,2,47.331111,,,3222222又x，x,(x，x),3(x，x),27,9,18.47,2?原式,,3.18,33(比较下列各题中两个值的大小:2.5,3,0.1,,0.20.3,3.1(1)1.71.7;(2)0.80.8;(3)1.70.9.xx解:(1)考察函数y,1.7～因为1.7>1～所以指数函数y,1.7在R上是增函数(因为2.532.5<3～所以1.7<1.7.xx(2)考察函数y,0.8～因为0<0.8<1～所以指数函数y,0.8在R上是减函数(因为,,0.1,0.20.1>,0.2～所以0.8<0.8.0.3,3.1(3)1.70.9不能看作同一个指数函数的两个函数值～因此在这两个数中间找一个量(0.303.100.33.1由指数函数的性质可知1.7>1.7,1,0.9<0.9,1～所以1.7>0.9.x,2，b4(已知定义域为R的函数f(x),是奇函数(x，12，a(1)求a，b的值;22(2)若对任意的t?R，不等式f(t,2t)，f(2t,k)<0恒成立，求k的取值范围(解:(1)因为f(x)是R上的奇函数～,1，b所以f(0),0～即,0～解得b,1.2，ax,2，1从而有f(x),.x，12，a1,，1,2，12又由f(1),,f(,1)知,,～4，aa1，解得a,2.x,2，111(2)由(1)知f(x),,,，，x，1x2，222，122由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t,2t)，f(2t,222k)<0等价于f(t,2t)<,f(2t,k),f(,2t，k)(22因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t,2t>,2t，k.2即对一切t?R有3t,2t,k>0，1从而Δ,4，xk<0，解得k<,.3第二节排列与组合[备考方向要明了]考什么怎么考1.排列组合概念及排列数、组合数公式一1.理解排列组合的概念,般不单独考查,2.能利用计数原理推导排列数公式、组合2.排列组合的应用问题是高考的热点内容，数公式,独立命题，题多为选择、填空题，如x年3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.xT8，xT10，xT5等.[归纳?知识整合]1(排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式n～m*A,n(n,1)(n,2)„(n,m，1),(m，n?N，m?n)(n，n,m，～(3)排列数的性质n0A,n～;A,1;0～,1.nn[探究]1.排列与排列数有什么区别,提示:排列与排列数是两个不同的概念～排列是一个具体的排法～不是数～而排列数是所有排列的个数～是一个正整数(2(组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式n，n,1，，n,2，„，n,m，1，n～m*C,,(m，n?N，m?n)(nm～m～，n,m，～(3)组合数性质0mn,mmmm,1?C,1;?C,C;?C,C，C.，nnnn1nn[探究]2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题,提示:看选出的元素与顺序是否有关～若与顺序有关～则是排列问题～若与顺序无关～则是组合问题([自测?牛刀小试]1(x名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()3xA(xB(33AD(x，x，10C(123解析:选C从x名选手中选出3名获奖并安排奖次～共有A种不同的获奖情况(122(异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A(20B(932121C(CD(CC，CC945541解析:选B分两类～x类在直线a上任取一点与直线b可确定C个平面,第二类在4111直线b上任取一点与直线a可确定C个平面(故可确定C，C,9个不同的平面(5453(将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A(252种B(x2种C(20种D(56种25344352解析:选B不同的分配方案共有CC，CC，CC，CC,x2种(757473724(从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种(44解析:(间接法)共有C,C,34种不同的选法(74答案:345(如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种(3解析:M～N～P～Q共有6条线段(桥抽象为线段)～任取3条有C,20种方法～减去6不合题意的4种(则不同的方法有16种(答案:16排列问题[例1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数:(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排，前排3人，后排4人;(3)全体站成一排，男、女各站在一起;(4)全体站成一排，男生不能站在一起;(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾(5[自主解答](1)问题即为从7个元素中选出5个全排列～有A,2520种排法(77(2)前排3人～后排4人～相当于排成一排～共有A,5040种排法(73(3)相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起～是男生的全排列～有A种排法,女生必须342站在一起～是女生的全排列～有A种排法,全体男生、女生各视为一个元素～有A种排42342法～由分步乘法计数原理知～共有N,A?A?A,288种(3424(4)不相邻问题(插空法):先安排女生共有A种排法～男生在4个女生隔成的五个空中4343安排共有A种排法～故N,A?A,1440种(5451(5)先安排甲～从除去排头和排尾的5个位中安排甲～有A,5种排法,再安排其他人～5616有A,720种排法(所以共有A?A,3600种排法(656本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法,解:(捆绑法)即把所有男生视为一个元素～与4名女生组成5个元素全排～故有N,35A?A,720种(35———————————————————解决排列类应用题的主要方法(1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置;(3)捆绑法:相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列;(4)插空法:不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;(5)分排问题直排处理的方法;(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法;(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列(1(一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法()A(450B(460C(480D(5001515解析:选C先排老师有A种排法～剩下同学有A种排法(共有AA,480种排法(45452(排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单((1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种,(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种,5解:(1)先排歌唱节目有A种～歌唱节目之间以及两端共有6个空位～从中选4个放入5454舞蹈节目～共有A种方法～所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A?A,43200种方法(6564(2)先排舞蹈节目有A种方法～在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位～恰好供5个歌445唱节目放入(所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A?A,2880种方法.45组合问题[例2]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法,(1)至少有1名女生入选;(2)至多有2名女生入选;(3)男生甲和女生乙入选;(4)男生甲和女生乙不能同时入选;(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选([自主解答](1)法一:至少有1名女生入选包括以下几种情况:1女4男～2女3男～3女2男～4女1男～5女(由分类加法计数原理知总选法数为142332415CC，CC，CC，CC，C,771种(575757575法二:“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”～可用间接法求解(从x名55人中任选5人有C种选法～其中全是男代表的选法有C种(12755所以“至少有1名女生入选”的选法有C,C,771种,127(2)至多有2名女生入选包括如下几种情况:0女5男～1女4男～2女3男～51423由分类加法计数原理知总选法数为C，CC，CC,546种(75757(3)男生甲和女生乙入选～即只要再从除男生甲和女生乙外的10人任选3名即可～共23有CC,x0种选法,210(4)法一:男生甲和女生乙不能同时入选包括以下几种情况:男生甲入选女生乙不入选,男生甲不入选女生乙入选,男生甲和女生乙都不入选(445由分类加法计数原理知总选法数为C，C，C,672种(1010105法二:间接法:从x人中选出5人～有C种选法～从除去男生甲和女生乙外的10人123523中任选3人有C种选法～所以“男生甲和女生乙不能同时入选”的选法有C,CC,1012210672种,(5)间接法:“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”～即从5其余10人中任选5人有C种选法～所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数1055为C,C,540种(1210———————————————————组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题:“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足;“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取((2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解(用直接法或间接法都可以求解(通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理(3(某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门(若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A(30种B(35种C(42种D(48种解析:选A法一:可分两种互斥情况:A类选1门～B类选2门或A类选2门～B类1221选1门～共有CC，CC,18，x,30种选法(3434333法二:总共有C,35种选法～减去只选A类的C,1种～再减去只选B类的C,4种～734共有30种选法(排列、组合的综合应用[例3]有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文科代表;(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表;(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表(32[自主解答](1)先选后排～先选可以是2女3男～也可以是1女4男～先取有CC，5341532415CC种～后排有A种～共有(CC，CC)?A,5400种(5355353544(2)除去该女生后～先取后排～有C?A,840种(74414(3)先选后排～但先安排该男生～有C?C?A,3360种(74431(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种～再安排该男生有C种～选出的3人633313全排有A种～共C?C?A,360种(3633———————————————————求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列(其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准(4(4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内((1)恰有1个盒不放球，共有几种放法,(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法,(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法,解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”～先从4个盒子中任意取出去一个～问题转化为“4个球～3个盒子～每个盒子都要放入球～共有几种放法,”～即把4个球分成2,1,1的三组～然后再从3个盒子中选1个放2个球～其余2个球放在另外2个盒子内～由分步乘1212法计数原理～共有CCC×A,144种(4432(2)“恰有1个盒内有2个球”～即另外3个盒子放2个球～每个盒子至多放1个球～也即另外3个盒子中恰有一个空盒～因此～“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事～所以共有144种放法(2(3)确定2个空盒有C种方法～4个球放进2个盒子可分成(3,1)～(2,2)两类～x类有序不422CC312422均匀分组有CCA种方法,第二类有序均匀分组有?A种方法(41222A222CC2312422,,故共有CCCA，?A,84种(441222,,A21个识别——排列问题与组合问题的识别方法识别方法若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素排列顺序有关若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素组合顺序无关3点注意——求解排列、组合问题的三个注意点(1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理((2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决(分类标准应统一，避免出现重复或遗漏((3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏.创新交汇——几何图形中的排列组合问题1(排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题(2(解答此类问题应注意以下问题:(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题;(2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决;(3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验([典例](x?湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色(当n?4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:由此推断，当n,6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)([解析](1)当n,6时～如果没有黑色正方形有1种方案～当有1个黑色正方形时～有6种方案～当有两个黑色正方形时～采用插空法～即两个黑色正方形插入四个白色正方形23形成的5个空内～有C,10种方案～当有三个黑色正方形时～同上方法有C,4种方案～54由图可知不可能有4个～5个～6个黑色正方形～综上可知共有21种方案((2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色～每个空格都有两种方案～由分步计数原理一6共有2种方案～本问所求事件为(1)的对立事件～故至少有两个黑色正方形相邻的方案6有2,21,43种([答案]2143[名师点评]1(本题有以下创新点(1)命题背景的创新:本题以平面几何中的着色问题为背景，让学生根据所给图形，归纳探究着色问题((2)考查方式的创新:在切入点上一改往日直来直去的文字语言叙述，而是以图形语言的形式呈现，考查了学生对图形语言的理解能力及数学应用意识与应用能力(2(解决本题的关键点(1)由n,1,2,3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数的规律，归纳n,6时的情况;(2)求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可考虑利用对立事件求解(3(解决与图形有关的排列组合问题的注意事项需要强化对图形语言的理解训练，强化常用方法的训练，理解体会解题中运用的数学思想和方法，才能快速正确地解决排列组合问题([变式训练](x?x高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品(已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A(1或3B(1或4C(2或3D(2或4解析:选D不妨设6位同学分别为A～B～C～D～E～F～列举交换纪念品的所有情况为AB～AC～AD～AE～AF～BC～BD～BE～BF～CD～CE～CF～DE～DF～EF～共有15种(因为6位同学之间共进行了13次交换～即缺少以上交换中的2种(x类～某人少交换2次～如DF～EF没有交换～则A～B～C交换5次～D～E交换4次～F交换3次,第二类～4人少交换1次～如CD～EF没有交换～则A～B交换5次～C～D～E～F交换4次(一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1((x?x高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()3A(3×3～B(3×(3～)4C((3～)D(9!解析:选C利用“捆绑法”求解(满足题意的坐法种数为3334A(A),(3:).332((x?新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()x种B(10种A(C(9种D(8种解析:选A先安排1名教师和2名学生到甲地～再将剩下的1名教师和2名学生安12排到乙地～共有CC,x种安排方案(243(在“神九”航天员进行的一项太空x中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在x步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问x顺序的编排方法共有()A(24种B(48种C(96种D(144种3解析:选C当A出现在x步时～再排A～B～C以外的三个程序～有A种～A与A～3312B～C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档～此时共有AAA种排法,当A342312出现在最后一步时的排法与此相同～故共有2AAA,96种编排方法(3424.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、AB3、4中任何一个，允许重复(若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不CD同的填法共有()A(192种B(x8种C(96种D(x种解析:选C可分三步:x步～填A、B方格的数字～填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(若方格A填入2～则方格B只能填入1,若方格A填入3～则方格B只能填入1或2～若方格A填入4～则方格B只能填入1或2或3),第二步～填方格C的数字～有4种不同的填法,x步～填方格D的数字～有4种不同的填法(由分步计数原理得～不同的填法总数为6×4×4,96.5(两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A(10种B(15种C(20种D(30种解析:选C分三种情况:恰好打3局～有2种情形,恰好打4局(一人前3局中赢22局～输1局～第4局赢)～共有2C,6种情形,恰好打5局(一人前4局中赢2局～输2局～32第5局赢)～共有2C,x种情形(所有可能出现的情形共有2，6，x,20种(46((x?x高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张(从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A(232B(252472D(484C(解析:选C若没有红色卡片～则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张～若都不同色则1112121有C×C×C,64种～若2张同色～则有C×C×C×C,144种,若红色卡片有1张～44432441211112剩余2张不同色～则有C×C×C×C,192种～剩余2张同色～则有C×C×C,72种～4344434所以共有64，144，192，72,472种不同的取法(二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(某公司计划在x、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)(3解析:由题意知按投资城市的个数分两类:?投资3个城市即A种(?投资2个城市422322即CA种～共有不同的投资方案种数是A，CA,60.34434答案:608((x?武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务(要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)(2解析:先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法～连同甲、乙共4辆车～排列在52一起～先从4个位置中选两个位置安排甲、乙～甲在乙前共有C种～最后～安排其他两辆42222车共有A种方法～故不同的调度方法为C?C?A,x0种(2542答案:x09((x?宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展(某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团(若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)(解析:设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊～由题意～如果甲不参加“围棋苑”～有下列两种情况:1(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”～有C种方法～然后从甲与丙、423丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中～有CA种方43123法～这时共有CCA种参加方法(4432(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”～有C种方法～甲与丁、戊4323分配到其他三个社团中有A种方法～这时共有CA种参加方法(34312323综合(1)(2)～共有CCA，CA,180种参加方法(44343答案:180三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10(已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止((1)若恰在第5次测试，才测试到x件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少,(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少,4解:(1)先排前4次测试～只能取正品～有A种不同测试方法～再从4件次品中选2件6222排在第5和第10的位置上测试～有C?A,A种测试方法～再排余下4件的测试位置～有4244424A种测试方法(所以共有不同的测试方法A?A?A,103680种(4644(2)第5次测试恰为最后一件次品～另3件在前4次中出现～从而前4次有一件正品出114现～所以共有不同的测试方法A?C?A,576种(464x(从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数,(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个,(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个,3解:(1)分三步完成:x步～在4个偶数中取3个～有C种情况,第二步～在5个奇数447中取4个～有C种情况,x步～3个偶数～4个奇数进行排列～有A种情况(所以符合题57347意的七位数有CCA,100800个(4573453(2)上述七位数中～3个偶数排在一起的有CCAA,14400个(455334342(3)上述七位数中～3个偶数排在一起～4个奇数也排在一起的有CCAAA,5760个(45342x.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种,解:根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内～则B球只能放在4号盒子内～余下的三个盒子放球C～D～3E～则根据分步乘法计数原理得～此时有A,6种不同的放法,3(2)若A球放在5号盒子内～则B球只能放在4号盒子内～余下的三个盒子放球C～D～3E～则根据分步乘法计数原理得～此时有A,6种不同的放法,3(3)若A球放在4号盒子内～则B球可以放在2号～3号～5号盒子中的任何一个～余3下的三个盒子放球C～D～E～有A,6种不同的放法～根据分步乘法计数原理得～此时有313AA,18种不同的放法(33综上所述～由分类计数原理得不同的放法共有6，6，18,30种(1(甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)(3321解析:当每个台阶上各站1人时有AC种站法～当两个人站在同一个台阶上时有CC3737133211C种站法～因此不同的站法种数有AC，CCC,210，x6,336种(637376答案:3362(如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为()A(40B(48C(56D(62解析:选C满足要求的点的取法可分为3类:3第1类～在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点～有4C种取法,53第2类～在两个对角面上除点P外任取3点～有2C种取法,4第3类～过点P的四条棱中～每一条棱上的两点(除P外)和与这条棱异面的其中一条1棱的中点也共面～有4C种取法(2331所以～满足题意的不同取法共有4C，2C，4C,56种(4253(某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天(若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种,26解:依题意～满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有AA,1440种～2625其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有AA,24025种,25满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有AA,240种,25满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方24法共有AA,48种(24因此满足题意的方法共有1440,2×240，48,1008种(第四节数列求和[备考方向要明了]考什么怎么考1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列求和问题,如x年新课标全国T16等,熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法等求数列的前n项和，如x年xT16，湖北T18等.[归纳?知识整合]数列求和的常用方法1(公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式:n，a，a，n，n,1，1nS,,na，d;n122(2)等比数列的前n项和公式:na，q,1，1,,nS,,a,aqa，1,q，n1n1,，q?1.,1,q1,q,2(倒序相加法如果一个数列{a}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，n那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的(3(错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的(4(裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和([探究]1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么,提示:应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项～且在求和过程中能够前后抵消(2(利用裂项相消法求和时应注意哪些问题,提示:(1)在把通项裂开后～是否恰好等于相应的两项之差,(2)在正负项抵消后～是否只剩下了x项和最后一项～或前面剩下两项～后面也剩下两项((分组求和法5一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减(6(并项求和法n一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和(形如a,(,1)f(n)类型，n可采用两项合并求解(22222例如，S,100,99，98,97，„，2,xn,(100，99)，(98，97)，„，(2，1),5050.[自测?牛刀小试]11111.，，，„，等于()1×44×77×10，3n,2，，3n，1，n3nA.B.3n，13n，111C(1,D(3,n，13n，11111,,,解析:选A?,～,,3n,23n，1，3n,2，，3n，1，31111?，，，„，1×44×77×10，3n,2，，3n，1，111111，,,,,,,,1,，,，,，„，，,,,,,,34477101111n,,，,,,1,,,.,,，,,3n,23n，13n，133n，1n,123212(已知数列{a}的通项公式是a,，其前n项和S,，则项数n等于()nnnn264A(13B(10C(9D(6n,121解析:选D?a,,1,～nnn22111,,,,,,?S,1,，1,，„，1,n2n,,,,,,222111,,,n,，，„，2n,,22211,,1,n,,2211,,,n,1,,n,1，.,n,nn,,2211,213211?n,1，,,5～解得n,6.n26464,1,2,n3((教材习题改编)(2,3×5)，(4,3×5)，„，(2n,3×5),________.,1,2,n解析:(2,)3×5)，(4,3×5)，„，(2n,3×5,1,2,n,(2，4，„，2n),3(5，5，„，5)1,1,,51,n,,，2，2n，n5,3×,211,531332,n,,,n(n，1),1,,n，n，?5,.n,,4544332,n答案:n，n，?5,44n,14(若S,1,2，3,4，„，(,1)?n，则S,________.n100解析:S,1,2，3,4，5,6，„，99,100100,(1,2)，(3,4)，(5,6)，„，(99,100),,50.答案:,50n5(已知数列{a}的前n项和为S且a,n?2，则S,________.nnnnn解析:?a,n?2～n123n?S,1?2，2?2，3?2，„，n?2.?n23nn，1?2S,1?2，2?2，„，(n,1)?2，n?2.?n23nn，1?,?得,S,2，2，2，„，2,n?2nn2，1,2，n，1n，1n，1,,n?2,2,2,n?21,2n，1,(1,n)2,2.n，1?S,2(n,1)，2.nn，1答案:(n,1)?2，2分组转化求和[例1](x?x高考)在等差数列{a}中，a，a，a,84，a,73.n3459(1)求数列{a}的通项公式;n*m,2m(2)对任意m?N，将数列{a}中落入区间(99)内的项的个数记为b，求数列{b}的nmm前m项和S.m[自主解答](1)因为{a}是一个等差数列，n所以a，a，a,3a,84，a,28.34544设数列{a}的公差为d，n则5d,a,a,73,28,45，94故d,9.由a,a，3d，得28,a，3×9，即a,1.4111*)(所以a,a，(n,1)d,1，9(n,1),9n,8(n?Nn1*m2m(2)对m?N，若9<a<9，nm2m则9，8<9n<9，8.m,12m,1因此9，1?n?9.2m,1m,1故得b,9,9.m于是S,b，b，b，„，bm123m32m,1m,1,(9，9，„，9),(1，9，„，9)mm9×，1,81，，1,9，,,1,811,92m，1m9,10×9，1,.80———————————————————分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和(11,,1(已知{a}是各项均为正数的等比数列，且a，a,2，，a，a，a,n12345,,aa12111,,64，，.,,aaa345(1)求{a}的通项公式;n12,,(2)设b,a，，求数列{b}的前n项和T.nnnn,,ann,1解:(1)设公比为q～则a,aq～且q>0～a>0.n1111,,a，aq,2，～11,,,qaa11由已知有,111234,,aq，aq，aq,64，，～111234,,,aqaqaq1112,aq,2～1,,化简得>0～故q,2～a,1.又a1126aq,64.,,1n,1所以a,2.n11122n,1,,(2)由(1)知～b,a，,a，，2,4，，2.nnn2n,1,,aa4nn11n,1,,1，，„，因此T,(1，4，„，4)，，2nn,1n,,4411,nn4,141n1,n,，,4)，2n，1.，2n,(44,1131,4裂项相消法求和[例2]设数列{a}的前n项和为S，已知a,1，S,na,n(n,1)(n,1,2,3，„)(nn1nn(1)求证:数列{a}为等差数列，并写出a关于n的表达式;nn,,1100,,(2)若数列的前n项和为T，问满足T>的最小正整数n是多少,nn,aa,，209nn1[自主解答](1)当n?2时～a,S,S,na,(n,1)a,2(n,1)～得a,a,,,,nnn1nn1nn12(n,2,3,4～„)(所以数列{a}是以1为首项～2为公差的等差数列(n所以a,2n,1.n1111(2)T,，，„，，naaaaaaaa,，1223n1nnn1111,，，„，1×33×5，2n,1，，2n，1，1111111，,,，,,,,,,,，,，„，，,,,,,,，2n,12n，12133511n,,1,,,～,,2n，122n，1n100100100由T,>～得n>～所以满足T>的最小正整数n为x.nn2n，12099209———————————————————用裂项相消法求和应注意的问题利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下x项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等(22(等比数列{a}的各项均为正数，且2a，3a,1，a,9aa.n12326(1)求数列{a}的通项公式;n1,,,,(2)设b,loga，loga，„，loga，求数列的前n项和(n31323n,,bn解:(1)设数列{a}的公比为q.n12222由a,9aa得a,9a～所以q,.3263491由条件可知q>0～故q,.31,1得2a，3aq,1～所以a,.由2a，3a2111131故数列{a}的通项公式为a,.nnn3n，n，1，(2)b,loga，loga，„，loga,,(1，2，„，n),,.n31323n21112,,,故,,,,2.,,nn，1bn，n，1，n111，，„，bbb12n11111，,,，,,,,,,,2,，„，1,，，,,,,,,，nn，12322n,,.n，112n,,,,所以数列的前n项和为,.,,bn，1n错位相减法求和[例3](x?天津高考)已知{a}是等差数列，其前n项和为S，{b}是等比数列，且a,nnn1b,2，a，b,27，S,b,10.14444(1)求数列{a}与{b}的通项公式;nn**(2)记T,ab，ab，„，ab，n?N，证明T,8,ab(n?N，n?2)(,，n1122nnnn1n1[自主解答](1)设等差数列{a}的公差为d～等比数列{b}的公比为q.由a,b,2～nn113得a,2，3d～b,2q～S,8，6d.4443,,2，3d，2q,27～d,3～,,,,由条件～得方程组解得3,8，6d,2q,10～q,2.,,,n*所以a,3n,1～b,2～n?N.nn(2)证明:由(1)得23nT,2×2，5×2，8×2，„，(3n,1)×2～?n23nn，12T,2×2，5×2，„，(3n,4)×2，(3n,1)×2.?n由?,?～得23nn，1,T,2×2，3×2，3×2，„，3×2,(3n,1)×2nn6×，1,2，n，1,,(3n,1)×2,21,2n，1,,(3n,4)×2,8～n，1即T,8,(3n,4)×2.nn，1而当n?2时～ab,(3n,4)×2～,，n1n1*所以T,8,ab～n?N～n?2.,，nn1n1**若本例(2)中T,ab，ab，„，ab，n?N，求证:T，x,,2a，10b(n?N)(,nn1n121nnnn证明:由(1)得23nT,2a，2a，2a，„，2a～?,,nnn1n2123nn，12T,2a，2a，„，2a，2a.?,nnn121?,?～得n,112，1,2，23nn，2n，2nT,,2(3n,1)，3×2，3×2，„，3×2，2,，2,6n，2,10×2n1,2,6n,10.nn而,2a，10b,x,,2(3n,1)，10×2,x,10×2,6n,10～故T，x,,2a，10b～nnnnn*n?N.———————————————————用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出nn“S,qS”的表达式;nn(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解(3(已知等差数列{a}的前3项和为6，前8项和为,4.n(1)求数列{a}的通项公式;nn,1*(2)设b,(4,a)q(q?0，n?N)，求数列{b}的前n项和S.nnnn解:(1)设{a}的公差为d.n,3a，3d,6～1,,由已知得8a，28d,,4～,,1解得a,3～d,,1.1故a,3，(n,1)?(,1),4,n.nn,1(2)由(1)得～b,n?q～于是n012n,1S,1?q，2?q，3?q，„，n?q.n12n,1n若q?1～将上式两边同乘以q有qS,1?q，2?q，„，(n,1)?q，n?q.nn12n,1两式相减得到(q,1)S,nq,1,q,q,„,qnn,1qn,nq,q,1n，1n，1nq,，n，1，q.,q,1n，1n,，n，1，q，1nq于是～S,.n2，q,1，n，n，1，若q,1～则S,1，2，3，„，n,.n2n，n，1，，q,1，～,2所以S,nn，1n,nq,，n，1，q，1，q?1，.2,，q,1，1种思想——转化与化归思想数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的(2个注意——“裂项相消法求和”与“错位相减法求和”应注意的问题(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点((2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解(4个公式——常见的拆项公式1111,,,(1),;,,nn，kn，n，k，k1111,,,(2),;,,2n,12n，1，2n,1，，2n，1，21111，，,(3),;，，n，n，n，1，，1，，n，2，n，n，1，，n，2，211(4),(n，k,n).kn，n，k答题模板——利用错位相减法解决数列求和12[典例](x?x高考)(本小题满分x分)已知数列{a}的前n项和S,,，nkn(其中k?Nnn2)，且S的最大值为8.，n,,9,2an,,的前n项和T.(1)确定常数k，求a;(2)求数列nnn,,2[快速规范审题]第(1)问1(审条件，挖解题信息S是关于n的二次函数1n2观察条件:S,,n，kn及S的最大值为8――――――――――――?当n,k时，Snnn2取得最大值(2(审结论，明确解题方向应建立关于k的方程观察所求结论:求k的值及a――――――――――――?S的最大值为8，即S,8，knnk可求S的表达式1n2,4.――――――――――――?S,,n，4n.n23(建联系，找解题突破口根据已知条件，可利用a与S的关系求通项公式:nn注意公式的使用条件97求通项公式――――――――――――?a,S,S,,n(n?2)，a,S,,nnn11122验证n,1时，a是否成立9n――――――――――――?a,,n.n2(2)问第1(审条件，挖解题信息92,a,,n可化简数列,,,,n9,2a9,2a9nnn2,,,,观察条件:a,,n及数列,,,,,,,,.nnnn,1,,22222(审结论，明确解题方向n分析通项的特点,,9,2ann，12,,观察所求结论:求数列的前n项和T可利用错位相减法求,,,,,,,nn,,2和(3(建联系，找解题突破口n,123n等式两边同乘以2条件具备～代入求和:T,1，，，„，，?――――――――?2T,2，2n2n,2n,1n2222n,13错位相减n11n，，„，，?――――――??,?:2T,T,2，1，，„，,,4,n,3n,2nnn,2n,1222222n，21n,,4,.n,2n,1n,1222[准确规范答题]1112222(1)当n,k?N时～S,,n，kn取得最大值～即8,S,,k，k,k～?(2分)，nk2222故k,16～因此k,4～?(3分)利用a,S,Snnn9从而a,S,S,,n(n?2)(?(4分),nnn1时，易忽视条,21件n?2.7又a,S,，?(5分)1129所以a,,n.?(6分)n29,2ann(2)因为,，n,n122n,123n所以T,1，，，„，，，??(7分)n2n,2n,1错位相减2222时～易漏项.n,13n所以2T,2，2，，„，，，??(8分)nn,3n,2222n，211n1n?,?:2T,T,2，1，，„，,,4,,,4,.?(11分)nnn,2n,1n,2n,1n,1222222n，2所以T,4,.?(12分)nn,12[答题模板速成]用错位相减法解决数列求和的步骤:第二步乘公第三步错位第四步求第一步判断结构比相减和若数列{a?b}是由乘以公比qnn等差数列{a}与等后，向后错开n将作差后的???设{a?b}的前nnn比数列(公比q)的一位，使含有结果求和，项和为T，然nk*对应项之积构成q(k?N)的项从而表示出后两边同乘以q的，则可用此法求对应，然后两Tn和边同时作差一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分),1,,,(已知{a1}是首项为1的等比数列，S是{a}的前n项和，且9S,S，则数列的nnn36,,an前5项和为()1531A.或5B.或58163115C.D.168369，1,q，1,q解析:选C设数列{a}的公比为q.由题意可知q?1～且,～解得q,2～n1,q1,q1,,131,,所以数列是以1为首项～为公比的等比数列～由求和公式可得S,.5,,a216n111112(数列1，3，5，7，„，(2n,1)，，„的前n项和S的值等于(