2022年高考数学真题试卷（新高考卷Ⅰ）答案解析版

2022年高考数学真题试卷（新高考卷I）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若集合M=N石<4},那={蜘>1},则=（）

A.{x|0Sx<2}B.{xl；4x<2}

C.{x|3Sx<16}D.尾4xvl6}

【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得，4={x[0Mx<16）,,则腹广河=

故选：D

【分析1先由不等式的解法求得集合A,B,再根据交集的运算求得答案.

2.若=L则Z4-2=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得，z=l-i=l-^-=l+i,则z=l-f,贝ijz+z=2,

故选：D

【分析】先由复数的四则运算，求得z,z,再求z+i•即可.

3.在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m^D=n,则丽=（）

A.3m-2nB.-2m+3»C.3扁+2日D.2就+3日

【答案】B

【解析】【解答】解：由题意得，

CB=CA+AB=CA+3AD^ai+3（W-CAj=-2CA+3CA=-2m+3n,

故选：B

【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为

海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0E'；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为

180.0AM2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到

157.5m时，增加的水量约为()(6包2.65)

A.LOxlO9。B.12x1小。C.1.4x10s。D.LlO9。

【答案】C

22

【解析】【解答】解：由题意知，Si=140km,S2=180km,h=(l57.5-1解.5)km=9km,

代入棱台的体积公式，得了=朱$+$2+根£)入=：(140+180十收而前卜9«44401川，

JD

故选：c

【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有@=21个不

同的结果，其中不是互质的有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7

72

个结果，则这2个数互质的概率为尸=1-三=：.

213

故选：D

【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.

<<,

6.记函数/(工)=向(“+3)+即》>0)的最小正周期为T,若TTX则㈤

的图像关于点(手，2)中心对称，则/[^1=()

D.3

【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得，a»=ye(23),

又/=/(*)的图像关于点侍2)中心对称,

则b=2,且/停)

所以sin(今2=2,

则如◎+?=%,keZ,

24

解得。=三&t」-l，

6

又0w(X3),

则k=2,a=—,

2

故闸，血(翡用+2=1，

故选：A

【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b,a,再求得/即可.

7.设a=O,le”.b=[,c=-ln0.9»贝ij()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

jr

【解析】【解答】解：令a=xex,b=------,c=-ln(l-x),

1-r

则lna-lnb=x+lnx-[lnx-In(1-x)]=x+ln(1-x),

令y=x+ln(l・x),xe(O,0.1],

贝W=l一」一=7"土<0,

1-x1-x

所以y<0,

所以lna<lnb,

所以b>a,

a-c=xex+ln(l-x),x£(0,0.1],

令y=xex+ln(l-x),x£(0,0.1],

l-x1-JC

令k(x)=(l+x)(l_*)/-1,

所以k'(x)=(l-2x-x2)ex>0,

所以k(x)>k(0)>0,

所以y'>0,

所以a-c>0,

所以a>c,

综上可得，c<a<b,

故选：C

【分析】分别构造函数y=x+ln(l-x),xG(0,0.1],y=xex+ln(l-x),x£(0,0.1],根据导数判断函数

的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.

8.已知正四棱锥的侧棱长为J,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36a,且

则该正四棱锥体积的取值范围是()

27812764

A.吟B.C.D.[18,27]

4443

【答案】C

【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为。，高为h,底面中心到各顶点的距离为m,

3、尸于I

则cos9=2x3x7=66H]

m6如，88。

则l=6cos0,m=l-sin6=6sin0cosO,“一=6co826g=—

由@gin®

88夕

则正四棱锥的体积y底方=猛xA=144(smdcoB3。丫，

令y=sin0cos20=sin0(1-sin20)=x(1-x2)=-x3+x,x=sin0€

则y'=-3x2+l,故当XW,y'<0,当XW，y'>0,

64

贝i忆=[44H=]44X

T

27

v=144»=144x

y了

27M

故该正四棱锥体积的取值范围是y.y

故选：C

【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得=,进而求得正四棱锥的

0

体积V,令*=$皿8,构造函数产sin9cos20=-x3+x,利用导数研究函数的单调性与

最值，求得y的最值，从而求得V的最值.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知正方体ABCD—AB1G口,贝ij()

A.直线3cl与以所成的角为90"

B.直线£0与CR所成的角为90,

C.直线BC,与平面BB1nlD所成的角为45,

D.直线BC,与平面ABCD所成的角为45,

【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：在正方体ABCD-AiBiCiDi中,因为BCi_LBiC,BG_LA|B”所以BGJ_平面

AiBiCD,

所以BG_LDA”BC.lCAi,故选项A,B均正确;

设AiCCBQ产O,因为AICI，平面BBiDQ,所以直线BG与平面BBQQ所成的角为NCBO,

££1

在直角△中,sinZCiBO==故NGBO=30。，故选项C错误;

GBOg2

直线BCi与平面ABCD所成的角为/GBC=45。，故选项D正确.

故选：ABD

【分析】由直线与平面垂直的判定可得BG，平面A由CD,进而再由直线与平面垂直的性质，从而

可判断AB,根据直线与平面所成角的定义可判断CD.

10.已知函数/(X)=£-x+L则()

A.f(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线/=/(*)的对称中心

D.直线y=2x是曲线了=/5)的切线

【答案】A.C

【解析】【解答】解：令f(x)=3x2-l=0,得＞=-迫或＞=走，

33

当XV-坦或X＞立时，f(x)＞0,当一正＜芹＜3时，f(x)＜0,

3333

所以f(x)在卜邛聘T

上单调递增，在-当，耳

I33J上单调递减,

所以f(x)有两个极值点为x=-正或＞=由，故A正确;

33

=1-竽＞0所以f(x)只有一个零点，故B错误;

又/便）

3

由f(x)+f(-x)=2可知，点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确;

曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为k=f(l)=2,则切线方程为y=2x-l,故D错误.

故选：AC

【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，

逐项判断即可.

11.已知o为坐标原点，点A(l,1)在抛物线C：/=2划»0)上，过点5(a-l)的直线交C

于P,Q两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

C.研|初阴D.|BPW闻＞|皿『

【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：由题意可知：l=2p,所以抛物线C：x2=y,故C的准线为;/=-1,故A错

4

误；

由y，=2x得曲线C在点A(l,1)处的切线斜率为2,所以切线方程为y=2x-l,又直线AB为：

，即y=2x-l，故直线AB与C相切，故B正确；

过点B(0,-1)的直线设为y=kx-l,交C于P,Q两点的坐标分别设为P(xi,y,),Q(x2,y2),

联立直线与c方程可得，,nx2-kx+i=o,

则X|+X2=k,X]X2=1,且A=*2一4>。，

即k?>4,贝yi+y2=k2-2,yiy2=l,

此时|。尸|'\0Q\=+■）（*+页）=J（M+昭）（%+及）

=+/+/+1）=/>4，又|0AF=2,则"F故c正确;

阚・忸。|=丽•丽=（孙弘+1）•（知力+1）=/当+%力+必+为+1=工+1>5，

又|BAF=5,则|训胡卜，故D正确.

故选：BCD

【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A,根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判

断B,根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C,根据向量的数量积运算可判断D.

12.已知函数/(x)及其导函数，㈤的定义域均为R,记g(x)=r(x)•若

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0

C/(-1)=〃4)D.g(-l)=g⑵

【答案】B,C

【解析】【解答】解：由2x)为偶函数可知函数f(x)关于直线*=号对称,

由g(2+x)为偶函数可知：：g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x尸f(x),根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2,t)对称，

根据f(x)关于直线*3对称可知：：g(x)关于点(^3，0)对称，

综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，

所以有f(0)=f(2)=t,所以A不正确；

f(-l)=f(l),f(4)=f(2),f(l)=f(2),故f(-l)=f(4),所以C正确，

又g（l）+g（2）=0,所以g（-l）+g⑵=0,故D错误.

故选：BC

【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的

值，逐项判断即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.的展开式中的系数为(用数字作答).

【答案】-28

【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为乙=....8),

①当8-『2,即尸6时，展开式中,7G项为以小丹/二的2/，

②当8--3,即厂5时，展开式中项为［?>第//=一5数：/,

则展开式中^y6项为-Z&r2y，

故答案为：-28

【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.

14.写出与圆^+>2=1和。-3『+(^-4『=16都相切的一条直线的方

程.

【答案】x=-l或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0

【解析】【解答】解：记圆，+/=1的圆心为0(0,0),半径为口=1,

圆(x-3『+(>-4)2=16的圆心为A(3,4),半径为n=4,

则10Al=5=门+「2,

则两圆外切，作出图象，如图所示,

易得直线h：x=-l为两圆的切线，

易得直线0A为：7=；x,

3

可得直线li与直线OA为尸口一)，

4，4

易知两圆的另一公切线L必过点P,可设除y+^=t(x+l),即依一尹上一卜。，

则有■i，解得上=3"，即b：y=-^X-，即7x-24y-25=0,

忠二1242424

Y+V=1

另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线13,由I、2,、2，解得切线13：6x+8y-

(x-3)+(^-4)=16

10=0.

故答案为：x=-l或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0

【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-l,再由直线垂直的斜率关系求得

切线3最后联立两圆的方程组可得切线13,得解.

15.若曲线1y=(x+a附有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

【答案】a>0或a<-4

【解析】【解答］解:易得曲线不过原点，设切点为(xo,(xo+a)exO),则切线斜率为

f(xo)=(xo+a+l)exo，

xx

可得切线方程为y-(xo+a)eo=(xo+a+1)eo(x-xo),又切线过原点，

可得-(xo+a)eXo=-xo(xo+a+l)ex(),化简得*+%-a=Q(X),

又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0,得a<-4或a>0.

故答案为：a<4或a>0.

【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程鼻-4=0有两不

等实根，由△>()求解即可.

2C的上顶点为A,两个焦点为耳，耳，离心率为1,过

16.已知椭圆C：=1（而>0%

4且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|闻=&则AADE的周长是

【答案】13

【解析】【解答】解：椭圆离心率为!,则a=2c,b=^3c,可设C：+=1,

2

则|AB|=|AF2|=|FE|=2C,

则4ABF2为正三角形，则直线DE的斜率£=走,

3

由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|,|AD|=|DF2|,由

椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a,

设D(Xi,yi),E(x2,y2),直线DE为>=浮(*+。),

与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0,

111.18c32c1

则丑+通=-百'W.=-丁'

则\DE\=日不■4巧+巧FT汹哈。=6'

解得c=?,4o=8c=13,

8

即小ADE的周长=4a=13

故答案为：13

【分析】由椭圆的离心率，得a=2c,占=底，并可判断△ABF?为正三角形，从而可得直线DE

的方程为7=率(x+c)，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得

3

△ADE的周长.

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17.记S.为数列｛.｝的前n项和，已知=L|—|是公差为,的等差数列.

(1)求｛■｝的通项公式；

(2)证明：—+w,,+—<2

【答案】(1)因为是公差为7的等差数列，而'=1,

所以~=-^-+(»—l)rf=l+^(/»-l)=?Sr,=①

%q3133)

原之2时,，£i=($+g)&4②

―£LB+I

①-②有：-a-=--•

VJ*1

“，4364a.»+1

所以工=：.二=；.…，二■-=--,

,1.2%B-1

以上式子相乘，得%=西等，界之2

2

经检验，解=1时，q=l,符合.

所以a=吗工.

⑵由⑴知4=鲍日)

2

所以—=---=2(~---]

4痴+D3n+1)

2

因为ifeJV*，所以—T>0

兀+1

2

所以2-2<2，

«+1

【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式可得，=(%+§%

，由利用Sn与an的关系，得

4="1,再利用累积法，可得an；

V]

⑵由⑴得「仁-高,利用裂项相消求和求得"+?.弓=2-3

,再解

不等式即可.

co&d!血23

18.记tuiBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

1+血3l+tx»2B*

2If

(1)若C=W・求B；

3

（2）求名建的最小值.

CMAaa2B2siiiH8sBsinB

【答案】（1）因为

l+sin2ll+(x»2B2(x»'3cusB

所以cosdcosB=Bin3+Bind8inB

所以88（4+砌=曲丹，

又因为cos(/l+5)=rinfl=>sm5=cos(<-C)=co8y=-

C=,所以，故B

3226

(2)因为sin5=cos(jr-C)=sin^C—

所以B^C~

2

所以sin4=8in(6+C)=siii(2C-^)=-COT2c

由余弦定理d=a*+fta-2abcosCJ2+A1=c2+2abcosC

/+/c、2而coaC2abcosC

所以=1+

2电i4sin4cosC

=1+

Bin2c

2血4sin#cosC

=1+

Bin'C

32呼温C

ain2C

2(l-2sinJC)(l-8mlC)

=1+

sin2

=l+2|2sinaC+—1-3|

Ism2C)

^1+2(2j2-3)=4>/2-5

当且仅当2面2。==二，即8mJC=—时取得等号，

smC2

综上，乌Q的最小值为4^-5-

【解析】【分析】(1)先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得C09(^+B)=wnB,再由诱导

公式，结合三角形的内角和性质，得而占=：，可得B；

2

fr

(2)由诱导公式求得B=C-,sm^=-c(H2C，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得

y=1+2(2向七+为T’并利用基本不等式求最值即可.

19.如图，直三棱柱ABC-Afi^的体积为4,A46c'的面积为20.

(1)求A到平面46c的距离；

(2)设D为Afi的中点，平面A^Ck平面34，求二面角A-BD-C

的正弦值.

【答案】(1)因为%CTF=3〃_皿=4,

所以匕,设A到平面4BC的距离为h；

贝IJ匕­=335.“告=>”6

(2)设D为4c的中点，且

平面4»c±平面34

由于平面48cl平面遇4}=BC，平面ABB1A

平面/45CC平叫6。=BC

因为平面ABB&，所以BC1AB,

在直角^ABC中，ZABC=90*，连接4B，过A作AHLAfi，则AH1.平面

A.BC,而BC1平面ABB&,故BCl^B.

由“=必AH=>/2，

所以阳=4S=*4B=20，

由A&HC=2a=3坐xBC=8C=2,

以B为原点，向量而，瓦j,丽分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(2>(X0>,@20%4(a2>2>Q&1J)，S((M)>0)

所以45=(020),而=(Lbl)^C=(X(W)

设平面ABD的一个法向量元=Qy,z)

n-BA=O(y=O

尹.丽=0，，［x+y+z=Q令x=l,则有方=(W,-1).

设平面BCD的一个法向量m=[xff%.ze)

n'B_C=Q=.X)=0

尹•丽=o''■+儿+&=。

令y=i,则有H=（aL-i）

所以8啦翔=崩=康=称

sin（H>丽）=申

所以二面角A-BD-C的正弦值为亘.

2

【解析】【分析】（1）由题意易得匕MTg=三匕入1rc，再结合棱锥的体积公式求得h；

（2）根据平面与平面垂直的性质可得BCL平面ABB1A1,再由直线与平面垂直的性质可得

BC±AB,BC1A1B,再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD,平面BCD的法向量,

n,m>再求得cow（福扁），即可得答案.

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好

两类）的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中

随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

n(ad-bcf

[a+b)(c+d)(a+c)(A+rf)

P(K2>k)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的

产3N）与需

人患有该疾病”,尸（闻/）的比值是卫生习惯不够良好对患该

疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

⑴证明：人舒|,帘空

m）利用该调查数据，给出P（/IB）,尸（a。）的估计值，并利用⑴的结果给出R的估计值.

【答案】⑴200x（40x90-10x60/=24>6,625

100x100x50x150

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）用局部估计总体

P（题岂理）

P（，⑷./到号―玳时4"（国段一产0）'下运

P（B\A}'P（B\A）P（闻⑷，尸（属©尸（励P（频

7^7^

f(幽p(瓦I)

P(AB)-P(BA)_丽'丽_玳闻B)P(A|万)

P(期以说)-P(四P(跖-小2丹药

嗝'P(B)

P(AB)n(AB)捻取和需二嗡嘿

(ii)P(AB)=P(S)=~^

如=需=嗯喘

40x90

=60x10=6

故R的估计值为6

【解析】【分析】（1）代入数据，求得K?,再对出表格，即可得结论;

（2）（i）根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；

5）由条件概率的计算公式分别求得尸（4S%尸（刁亘），尸（43）,P{AS}，再代入R,求解即

可.

21.已知点A（2,1）在双曲线C：上，直线J交C于P,Q两点，直线

a«-1

AP,AQ的斜率之和为0.

（1）求7的斜率;

（2）若tenNP40=2历求PAQ的面积.

41

【答案】（1）因为点A（2,1）在双曲线=l(a>1)上，所以有了一~~=1

解得a2=2，所以双曲线C：y-/=1

设直线hy=kx+nt,P（&x）,Q（〜，力），

金_/=[

联立，万寸消去y得至ij（l-2iJ）j?-4imi-2m2-2=0

y=kx+m

显然1-Zk,W。，否则不可能有两个交点,

而A=（46）2-4（1一常）（_2«，-2）=8（＞+1_常）＞0

M2—2

由韦达定理得玉—2

一01-2*1-2*2

因为直线AP,AQ的斜率之和为0,

乂一1।%T（»-1）（j-2）+（必-1）（玉-2）

所以。=

A-2JCj-2-（x,-2）（^-2）

所以玉一4一2所以(^-1)(^-2)+(72-1)(^-2)=0

即(乜+用一1)(为一2)+(小+用-1)(R-2)=Q,

所以有收丙+5-1-%(石+天)-4(/-1)=0,

将韦达定理代入化简得(*+lXU+w-l)=0

而当2*+州-1=0，此时直线I为y=kx+l-2k,易知恒过定点4(21),故舍去,

所以*=一1，此时满足A＞0.

(2)又由(1)易知％+.=44jqXj=2m2+2,

且|不一马|=J(而+马)2-4芍马=2石，标一8

依题可设AP斜率为用,AQ斜率为-&,

MT

则由夹角公式知(后面补充证明)2近=tanZPAQ=

l+*i-K）

由对称性易知，只需考虑与＞0的情况就行，

所以有0片+品-&=0，解得々=0或%=-红(舍).

2

而&=资三=＞必-1=4(巧—2)，同理必-1=-4(芯-2),

**1一/

而不=(两—2,yl-i)^4Q=(xi-Z乃-1)，

%阕=：|(再-2)(%T)-(玉-2)(乂-1)|

=||A(%-2)(--2)-1(与-2)("-2)卜孝|(玉-2g-2)|

二孚，马-2(为+/)+4|=应"-4m+3]

另一方面，联立＜从一1-£(*一2).=＞幽=晶(玉一2),+工+西,(1)

弘=_$+/«

同理用=+(七-2)+1+电,(2)

将以上两式相加，得2m=A(五一修)+2+(石+电),

解得m=y,

所以S3&=&*-4朋+3|=与2

【解析】【分析】(1)先根据题意列式求得双曲线C的方程—-/=1，再结合直线与双曲线的位

置关系，以及直线的斜率公式，列式得(t+lX»+w-l)=O,