2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-全书综合测评

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

全书综合测评

(全卷满分150分，考试用时120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

[已知集合A={x[0<log4X<2},B={x|ex-341}JJI!]AnCRB)=()

A.(3,16)B.(3,8)C.(l,3]D.(l,+oo)

2.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其

频率分布表如下：

质量指标分组[10,30)[30,50)[50,70]

频率0.10.60.3

则可估计这批产品的质量指标的众数(以中点值代替)，中位数分别为()

A.30,43|B.40,43C.40,43|D.30,43

3.下列命题是真命题的是()

A.若x>y>乙则|xy|>|yz|

B.若工<卜0厕ab>b2

C若a>b,c>d,则ac>bd

D.若a2x>a2y,则x>y

4.已知正数x,y满足§+W=3,则x+y的最小值为()

A.|B.2C.；D.6

33

5.函数g(x)=|loga(x+l)|(a>0且awl)的图象大致为()

6.北京时间2021年10月16日0时23分才苔载神舟十三号载人飞船的长征二

号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列

火箭的频频发射成功，显示出我国强大的科技实力.在不考虑空气动力和地球引力

的理想情况下，可以用公式v=vo-ln(l+?计算火箭的最大速度v(m/s),其中

vo(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火

箭质量的总和，”称为总质比，当总质比较大时,公式真数中的1可忽略不计.若将

m

M型火箭的总质比从500提升到1000,则其最大速度v大约增加了()

(参考数据:1g2«0.301,1g3-0.477)

A.5%B.ll%C.20%D30%

7.已知f(X)是定义在(-8,+8)上的偶函数，且在(-8,0]上是增函数.若

a=f(log47),b=f(log工3),c=f(0.2°6),贝]a,b,c的大小关系是()

2

A.c<b<aB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

X>1

8.若函数f(x)=('A；工？v々1且满足对任意的实数X1WX2,都有皿也2>0

((4一7X+2,xV1,万户2

成立,则实数a的取值范围是()

A.[4,8)B.(4,8)C.(l,8]D.(l,8)

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分)

9.设全集为U,下列选项中是BCA的充要条件的为()

A.AUB=BB.([uA)nB=0

C.(CuA)c([uB)D.AU(CuB)=U

10.下列计算正确的是()

A.i〃-3)4=g

2111Z15\

B.(a赤)・(-3成㈣1呵=-9a(a>0,b>0)

C.2log32-log336+log25xlog54=0

D.已知x2+x-2=2,151]x+x-1=2

11.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图是一把算盘的

初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、干位……,上面一粒珠子(简称上

珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表L即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠

的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算

盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A="表示

的四位数能被3整除"，B="表示的四位数能被5整除"，则()

档

39o083090早

00000一上珠

--r7---7

--1-T--!一

梁一00000

000O0&006d

000o0&00o

0000001o

框/00Ri0000od>5珠

A.P(A)=1O3B.P(B)=1

C.P(AUB)七D.P(AB)=1

12.对于实数x,符号冈表示不超过x的最大整数，例如[川=3,[-1.08]=-2,定义函

数f(x)=x-冈，则下列命题是真命题的是()

A.f(-3.9)=f(4.1)

B.函数f(x)的最大值为1

C.函数f(x)的最小值为0

D.方程f(x)—二O有无数个根

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填

在题中横线上)

13.已知幕函数y=f(x)的图象过点(2,夜)厕f(4)=.

14.为了解中学生对"双减"政策落实的满意度，某部门欲从A,B两校共4000

名中学生中,用分层随机抽样的方法抽取240名中学生进行问卷调查，已知A校

有1800名中学生,则应在B校抽取的中学生人数是.

15.若函数取)=1*为奇函数则实数a的值为，当x>4时,f(x)的最

大值为.(第一空2分,第二空3分)

16.在实数集R中定义一种运算"*"，具有下列性质：

(1)对任意a,b£R,a*b=b*a;

(2)对任意aGR,3*0=3；

⑶对任意a,b,cGR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.

则函数f(x)=x*?x>0)的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(10分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-D(x-m-7)>0}.

(1)若m=-2,求集合AU[RB;

(2)请在①"X£A"是"x£B”的充分不必要条件;②若X£A,则X4B;③ACCRB

这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.

若，求实数m的取值范围.

注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

18.(12分)环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓

度不得超过35微克/立方米,PM”的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.

某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监

测数据如下：

PM2.5的24小时平均浓度

组别频数庆)频率

(微克/立方米)

第一组(0,25]30.15

第二组(25,50]120.6

第三组(50,75]30.15

第四组(75,100]20.1

⑴从样本中PM”的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取

2天，求恰好有1天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

(2)求样本平均数，并利用样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断

该居民区的环境是否需要改进，并说明理由.(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表)

19.(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|.

Q)求当X40时f(x)的解析式;

(2)求证:f(x)在[L+8)上为增函数;

⑶解关于x的不等式f(2x+6)>f(4x+3x2x+3).

20.(12分)随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位:cm),并按照区间

[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组，得到样本身高的频率

分布直方图(如图).

(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；

⑵用分层随机抽样的方法从身高在区间[170,175),[175,180),[180,185]内的学

生中共抽取6人,求从这三个区间中分别抽取的学生人数；

(3)在(2)的条件下，要从6名学生中抽取2人，求至少有1人的身高在[175,180)内

的概率.

21.(12分)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗

油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40wvW120)的部分数据关系如下表：

V406090100120

Q5.2683251015.6

W139.25

为描述Q与v的关系，现有以下三种模型可供选

择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.

(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函

数解析式；

(2)已知某高速公路共有三条车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范

围分别是[60,90),[90,U0),[110,120](单位:km/h),问该型号汽车在哪条车道以

什么速度行驶时W最小？

22.(12分)已知函数f(x)=x4对任意实数t,gt(x)=-tx+1.

⑴若函数h(x)=看-gt(x)在(0,2］上是单调递减的,求实数t的取值范围;

⑵若f(x)<mg2(x)对任意x《0身恒成立,求正数m的取值范围.

答案与解析

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1.A集合A={x|0<log4X<2}={x|l<x<16},B={x|ex3<1}={X|X<3},所以

CRB=(3,+8),所以An([RB)=(3,16).故选A.

2.C根据题中频率分布表可知，频率最高的分组为[30,50)〃••众数为40.设中位数

为x厕0.1+熹x0.6=0.5,解得x=43抑中位数为43提故选C.

3.PA中,不妨取x=l,y=-2,z=-3,此时|lx(-2)k|(-2)x(-3)|,所以A是假命题;B

中，若状<°，则b<a<0厕b2>ab,所以B是假命题;C中，不妨取a=-l,b=-2,c=-

3,d=-4,则-lx(-3)<-2x(-4),所以C是假命题;D中若a2x>a2y,则a2(x-y)>0厕

x-y>0,即x>y,所以D是真命题.故选D.

4.B由题彳导x+y=x+(y+l)-lWx[x+(y+l)]x3-lWx[x+(y+l)]xG+木)-

1三啡+彳+言声号X(5+2/F^)-l=2,

当且仅当x=y=l时取等号，所以x+y的最小值为2.

5.C函数g(x)的定义域为仅|x>-l}排除D;由g(x)=|loga(x+l)|2排除B;当

x=0时,g(x)=0排除A.故选C.一

6.8当白500Htv-voln500当=1000Htv-voln1000,

因为武二愣二1二是所以将总质比从500提升至I」1000,其最

大速度v大约增加了11%.故选B.

7.C」印)在(-8,+8)上是偶函数.山=可它3)=耳-

2

Iog23)=f(log23)/.,log47>log44=l,log23=log49>log47,0<0.206<l,.,.log23>lo

g47>0.20.6>0.〈f(x)是偶函数且在(-8,0]上是增函数」.f(x)在(0,+8)上是减函

数,••.f(log23)<f(log47)<f(0.206),即b<a<c.故选C.

a>1,

4-5>。，解得4wa<8,

{a>4-^+2,

所以实数a的取值范围为[4,8).故选A.

9.BCD如图而Venn图可知,B、C、D都是BuA的充要条件.故选BCD.

2111/1-

10.BC选项A,钦可二।铮=%，故错误;选项BG词(3a痂)+&*=-

211115._..一

9a"赤+春=-9a,故正确;选项C,原式二log34-log336+log24=log32+2=-2+2=0,

故正确;选项D,因为x2+x，=(x+x；)2-2=2,所以(x+x-i)2=4,则x+x-i=±2,故错误.

故选BC.

U.ACD将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，所

得四位数共16个,分别为1111,1115,1151,1155,1511,1515,1551,1

555,5111,5115,5151,5155,5511,5515,5551,5555.

事件A包含的样本点有1155,1515,1551,5115,5151,55U,共6个，因此

P(A)=2=|;事件B包含的样本点有1115,1155,1515,1555,5115,5155,5

515,5555,共8个，因此P(B)4W；事件AUB包含的样本点有1n5,1155,1

515,1551,1555,5115,5151,5155,5511,5515,5555,共U个因此

P(AUB)二？事件AB包含的样本点有1155,1515,5U5,共3个，因此P(AB)=2

故选ACD.

12.ACD由题意得f(-3.9)=(-3.9H-3.9]=-3.9-(-4)=0.Lf(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-

4=0.1,A是真命题油题意可画出f(x)的部分图象，如图：

由图可得,f(x)的最小值为0,无最大值，图象与直线y=；有无数个交点，即方程f(x)-

|=0有无数个根，故B错误,C正确,D正确.故选ACD.

13.答案2

解析设幕函数y=f(x)=xa,a£R/.•其图象过点(2,⑸

11

「•2a=四解得a=，」.f(x)=n「.f(4)=45=2.

14.答案132

解析-.A,B两校共4000名中学生，且A校有1800名中学生〃:B校有2200

名中学生，从A,B两校中用分层随机抽样的方法抽取240名中学生，每个学生被

抽到的概率为篇看/应在B校抽取的中学生人数是2200x^=132.

15.答案2;1

解析因为函数f(x)为奇函数所以f(-x)+f(x)=0,即行小+再金『0,即

-=0,^4-2a=0,gpa=2,所以f(x)二册当x>4时,f(x)=±,注意到

(%十zJ(Xizj(%十ajyX~ctjx-q%_一

x

y=xq在[4,+8)上单调递墙故x-拉4-户3,所以0<*,故当x>4时,f(x)的最大值

XXx%__J

X

16.答案3

解析在(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c中，令c=0,得

(a*b)*0=0*(ab)+(a*0)+(b*0),由性质(l)a*b=b*a,可得

(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+(b*0),由性质(2)a*0=a,可得(a*b)*0=a*b=ab+a+b,所

以f(x)=x*3=l+x+(.因为x>0,所以f(x)=l+x+拉3,当且仅当x4即x=l时，等号

成立，所以f(x)的最小值为3.

17.解析(l)A={xx2<4}=(-2,2),(1分)

当m=-2时,B={X[(X+1)(X-5)>0}=(-8,-1)U(5,+8),(2分)

・•・[RB=[-1,5],(3分)

••.AUCRB=(-2,5].(5分)

⑵易得A=(-2,2),B={x|(x-m-l)(x-m-7)>0}=(-8,m+l)U(m+7,+8).(6分)

若选①厕A郭,(7分)

所以m+122或m+7,2,(8分)

解得m>l或m<-9,

所以实数m的取值范围为(-*-9]U[l,+oo).(10分)

若选②厕AAB=0,(7分)

所以m+14-2且m+7N2,(8分)

解得-5wmV-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(10分)

易得[RB=[m+l,m+7],(7分)

若选③厕m+l<-2且m+7>2,(8分)

解得-54mw-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(10分)

18.解析(1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天分别记为

AI,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100]内的两天分别记为BiE,所以从5

天中随机抽取2天的情况有

A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10种,（2分）

其中符合条件的有A1中,A1B2,A2BLA2B2,A3BLA3B2,共6种,（4分）

所以所求的概率P=A=|.（6分）

（2）随机抽取的该居民区去年20天PM2.5的平均浓度为

12.5x0.15+37.5x0.6+62.5x0.：L5+87.5x0.1=42.5（微克/立方米）.（8分）

该居民区的环境需要改进.（10分）

理由:利用样本估计总体的思想，估计该居民区去年PM2.5的年平均浓度为42.5

微克/立方米.因为42.5>35,所以去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合《环

境空气质量标准》的规定，所以该居民区的环境需要改进。2分）

19.解析⑴由f（x）是定义域为R的奇函数知f（0）=0.（l分）

当x<0时,-x>0厕f（-x）=x2-|,f（x）=-f（-x）=-x2+|.（2分）

综上所述，当x<0时,f（x）=<0（3分）

IX

（2）证明:任取X1,X2曰L+8）,且X1<X2,（4分）

则f（X2）-f（Xl）=若+*或=（今看）+

=（X2-X1）（X2+-靖）（6分）

••・14X1<X2/.X2-X1>O,X2+X1>2高<2〃.X2+X1-套>0,

」.（X2-X1）卜2+xr品>0，（7分）

・••f（X2）-f（Xi）>0,即f（X2）>f（xi）〃・.f（x）在［L+8）上为增函数（8分）

⑶2x+6>6,4x+3x2x+3>3,设2x=t（t>0）,根据⑵及3+6）>野+3立+3）,可得

t+6>t2+3t+3,即修；02t-3<0,.0<卜1,（9分）

即0<2x<L（10分）

解得x<0.（U分）

由衽不等式的籥集为{x|x<0}.（12分）

20.解析⑴由频率分布直方图可知,5x=l-5x（0.07+0.04+0.02+0.01）,（l分）

所以x=0.06.（2分）

因此身高在170cm及以上的学生人数为

100x（0.06x5+0.04x5+0.02x5）=60.（4分）

（2）身高在［170,175）,［175,180）,［180,185］内的学生人数分另U为

0.06x5x100=30,0.04x5x100=20,0.02x5x100=10,（6分）

因此应该从身高在［170,175）,［175,180）,［180,185］内的学生中分别抽取

6x黑3（人）,6x黑2（人）,6x黑1（人）.（8分）

⑶在（2）的条件下，设身高在［170,175）内的3名学生分别为ALA2,A3,身高在

［175,180）内的2名学生分别为8遇2,身高在［180,：185］内的1名学生为Co厕从

6名学生中抽取2人的样本点共15个,分别为

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,CO),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,CO),(A3,B1),(A3,

B2),(A3,CO),(BI,B2),(BI,CO),(B2,CO),(1O

至少有1人的身高在［175,180)内包含的样本点有9个,分别为

(4力1)«1力2)①2上1)以2力2)①3臼)/3力2),但1力2),(81,(：0),包工0),所以至少有1

人的身高在［175,180)内的概率为蒋=|.(12分)

21.解析⑴填表如下：

V406090100120

Q5.2683251015.6

W13109.251013

(2分)

由题意可得符合的函数模型需满足在40<v<120时有意义，且在［40,120］上为增

函数.

Q(v)=0.5v+a在［40,120］上是减