高中数学新教材必修第一册知识点总结

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第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.

2.集合的三个特性：

(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念

一样，都只是描述性地说明.

(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了

集合，这个集合就是这些对象的总体.

(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.

3.集合中元素的三个特性：

(1)确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准(不能是模棱两可的)

判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.

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(2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.

(3)无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.

4.集合的符号表示

通常用大写的字母Z,B,C,…表示集合，用小写的字母a,b,c表示集合中的元素.

5.集合的相等

当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合力与集合6相等记作/=庆

6.元素与集合之间的关系

(1)属于：如果a是集合Z中的元素，就说a属于集合记作ae/,读作a属于

(2)不属于：如果a不是集合力中的元素，就说a不属于集合Z,记作睡/,读作a不属于4

7.集合的分类

(1)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程必=1的实数根组成的集合.

(2)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式x-l>0的解组成的集合.

8.常用数集及其记法

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(1)正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作N*或N+.

(2)自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N.

(3)整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z.

(4)有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.

(5)实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R.

9.集合表示的方法

(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.

例如，三角形的集合.

(2)列举法：把集合的元素——列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素——列

举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧”地球上的四大洋”组成的集合表

示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝,把“方程(x-l)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为

｛1,-2｝-

(3)描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为｛布(初，其

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中x是集合中的元素代表，Mx）则表示集合中的元素所具有的共同特征.

例如，不等式尸7<3的解集可以表示为

{xe7?|x-7<3}={xe7?|x<10}.

1.2集合间的基本关系

1.子集

一般地，对于两个集合4,5,如果集合/中任意一个元素都是集合5中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合/为集合5的子集，记为

4fB或（5®/）

读作集合/包含于集合8（或集合8包含集合4）.

集合力是集合5的子集可用"〃〃图表示如下：

[B（A、\'/⑻

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或

关于子集有下面的两个性质：

（1）反身性：A^A；

（2）传递性：如果/口5,JL^ScC,那么/口。.

2.真子集

如果集合4口5,但存在元素xeB,且xez,我们称集合/

是集合5的真子集，记为（夕

A^B（或53/）,

读作集合/真包含于集合5（或集合5真包含集合4）

集合/是集合5的真子集可用乙〃〃图表示如右.

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3.集合的相等

如果集合/口5,且5口，，此时集合力与集合5的元素是

一样的，我们就称集合/与集合5相等，记为

A=B.

集合力与集合8相等可用Venn图表示如右.

4.空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一

个非空集合的真子集，即

(1)。口/(/是任意一^集合)；

(2)0^A(4W0).

1.3集合的运算

1.并集

自然语言：一般地，由所有属于集合/或属于集合8的元素组成的集合，称为集合/与5的并集，记作

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A<JB（侯作/开5）.

符号语言：AuB=-{x\x€4,或XGB}.

图形语言：

iB・•

R公共元It.相互小包去没""公共元X

4，••

（3）A\GR(4)/964⑸4

理解：xe/或xeB包括三种情况：x（EA^LXB；xe5-ILXA；xGA^LXEB.

并集的性质：

（1）AuB=Bu4；

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（2）A<JA=A；

（3）Au0=A；

（4）（ZD8）UC=/U（5DC）；

（5）AjAuB,B口AuB;

（6）AuB=B=A7B.

2.交集

自然语言：一般地，由属于集合/且属于集合8的所有元素组成的集合，称为4与5的交集，记作ZcB

（读作“4交5”）.

符号语言：Ar\B={x\x^A,且％€B}.

图形语言：

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(S)AB.AnBAB

理解：当/与5没有公共元素时，不能说/与8没有交集，只能说/与5的交集是。.

交集的性质：

（1）AcB=Bc4；

（2）Ac\A=A；

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（3）Ar>0=0；

（4）（/cB）cC=/c（8cC）;

（5）AcBNA,AcBNB;

（6）Ar\B=A^B.

3.补集

(1)全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集

合为全集，通常记作u.

(2)补集的概念

自然语言：对于一个集合/,由属于全集。且不属于集合/的所有元素组成的集合称为集合/相对于全

集。的补集，记为加z.

符号语言：MA={x\x&U,且x年A}

图形语言：

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补集的性质

（1）Zc&Z）=0；

（2）zu（3）=。；

⑶彩）5a）=u（ZcB）；

（4）（领）c（a）=/QB）.

1.4充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，“若夕，则/'为真命题，是指由夕通过推理可以得出心这时，我们就说，由夕可推出q,记

作

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pnq，

并且说夕是q的充分条件，q是夕的必要条件.

在生活中，q是夕成立的必要条件也可以说成是：->q（->［表示q不成立），其实，这与夕=>q是等

价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.

如果“若夕，则q"为假命题，那么由夕推不出q,记作0分q.此时，我们就说夕不是q的充分条件，q不

是夕的必要条件.

2.充要条件

如果“若夕，则q”和它的逆命题“若q则0”均是真命题，即既有夕nq,又有qn夕就记作

pQq.

此时，我们就说夕是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果夕是q的充要条件，那么q也是夕

的充要条件.概括地说，如果夕Oq,那么0与q互为充要条件.

“夕是4的充要条件”，也说成“夕等价于或当且仅当夕”等.

1.5全称量词与存在量词

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1.全称量词与存在量词

(1)全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号”表示.常见的全称量词还

有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

全称量词命题“对/中的任意一个X,有0(X)成立"可用符号简记为

〃xlMjp(x),

读作“对任意X属于有P(X)成立”.

(2)存在量词

短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号'飞”表示.常见的存在量

词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

存在量词命题“存在M中的元素X,使夕⑴成立"可用符号简记为

3xEM9p(x),

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读作“存在/中的元素X,使夕(X)成立”.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

(1)全称量词命题的否定

全称量词命题：

“xtM.夕⑴,

它的否定：

「夕(X)•

全称量词命题的否定是存在量词命题.

(2)存在量词命题的否定

存在量词命题：

3x€M,

它的否定：

”xlM,

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存在量词命题的否定是全称量词命题.

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较原理

a>b=a-b>4

a=b=a-b=2

a<ba-b<Q.

2.等式的基本性质

性质1如果a=6,那么6=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c

性质3如果a=b,那么a+c=b+c；

性质4如果a=6,那么ac=be；

性质5如果a=6,"0,那么q=2

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3.不等式的基本性质

性质1如果a〉6,那么b<a；如果Z?<a,那么a〉b.即

a>b=b<a

性质2如果a〉b,b>c,那么a>c.即

a>b,b>cna>c.

性质3如果a〉b,那么a+c=b+c.

由性质3可得，

a+b>a+b+(-Z7)>c+(-/7)=^>a>c-b.

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

性质4如果c>0,那么ac>Z?c；如果a>Z>,c<0,那么ac</?c.

性质5如果a>b,c>d,那么a+c〉b+d.

性质6如果a〉b〉O,c>d>0,那么ac〉bd.

性质7如果a〉b〉O,那么能>"(〃eN,«>2).

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2.2基本不等式

1.重要不等式

\/a,beR,有

a2+b~>2ab,

当且仅当a=b时，等号成立.

2.基本不等式

如果。〉0,b>0,则

I―-a+6

yjab<-------,

2

当且仅当a=b时,等号成立.

号叫做正数a,b的算术平均数，必叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算

术平均数不小于它们的几何平均数.

3.与基本不等式相关的不等式

（1）当a,Z?e及时，有

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当且仅当a=b时，等号成立.

（2）当a〉o,z?〉o时，有

2

,1<4ab,

a+b

当且仅当a=b时，等号成立.

（3）当a,be火时，有

（a+b^a2+b2

E-丁，

当且仅当a=b时，等号成立.

4.利用基本不等式求最值

已知x>0,>>0,那么

（1）如果积9等于定值P,那么当x=y时，和x+.v有最小值2户；

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(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值;$2.

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

（Q>0）A>0A=0A<0

二次函数

1•

I

y=ax2+bx+cI/.1f\j

kf

（Q〉0）的图■

-♦

“QIJI

象

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一元二次方

有两相异实有两相等实

程根根无实根

ax2+/?x+c=0b

x,x(x<x)X1=X2=~~

(a>0用根12122a

2

ax++c>0|x|x</或r>x}fb1

2〈XXw----->R

(a>0)的解集[2aJ

ax2+bx+c<Q

[x\x1<x<x2]00

(a>0)的解集

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念

设Z,8是非空的实数集，如果对于集合Z中的任意一个数X,按照某种确定的对应关系/,在集合8中

都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称8为从集合2到集合8的一个函数，记作

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y—/(x)9xE：A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围Z叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值

的集合｛/(x)|xe/｝叫做函数的值域，显然，值域是集合8的子集.

2.区间：

设a,6是两个实数，而且"6,我们规定：

(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为也切；

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为伍⑼；

(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[a,b),(a,b].

这里的实数a,b都叫做相应区间的端点.

这些区间的几何表示如下表所示.

大火工

定义名称付万数轴表示

{x\a<x<b}闭区间[a,b]1一.

abx

{x\a<x<b}(a,b)

开区间abx

半开半闭区

{x\a<x<b}[a,b)___1__

ab

间

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半开半闭区

{x\a<x<b}(a,b]1.

间abx

(4)实数集R可以表示为S,+00),“8”读作“无穷大”，“-8”读作“负无穷大”，“+00”

读作“正无穷大”.

满足x>a,x<b,x<b的实数x的集合，用区间分别表TF为［a,+co),(a,+℃)

(一叫句，(一8,5).

这些区间的几何表示如下表所示.

片片口

定义付万数轴表示

{x|-00<X<+oo}

(-00,+oo)0

{x\x>a}[。,+℃)1A

a

{x\x>a}3+8)----------6———►

{x\x<b}(―00,加

b*

{x|x<b](—00,6)

bx

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注意：

(1)“oo”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.

(2)以“-00”或“+00”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.

3.函数的三要素

(D定义域；

(2)对应关系；

(3)值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.

4.函数的相等

如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.

5.函数的表示方法

(1)解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

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解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数

量关系.

(2)图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.

说明：将自变量的一个值与作为横坐标，相应的函数值/(%)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点

(x0,/(x0)).当自变量取遍函数的定义域/中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的

图形就是函数y=/(x)的图象.函数y=/(x)的图象在x轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y轴

上的射影构成的集合就是函数的值域.

函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.

(3)列表法

通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都

是表示函数关系的.

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6.分段函数

(1)分段函数的概念

有些函数在其定义域内，对于自变量X的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段

函数.如

-x,x<0,x<0,

/(%)=|«|=<⑵/(x)=,

x,x>0,x>0

说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪

个区间，从而选取相应的对应关系.

②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的

取值范围.

③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不

能分开写成几个集合的形式.

④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.

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(2)分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次

画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分

段函数的图象.

3.2函数的基本性质

函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.

1.单调性与最大(小)值

(1)增函数

设函数/(x)的定义域为/,区间Pc/.如果VX],x2eD,当X]</时，都有/(xj</(/),那么就称函数/(x)在

区间。上单调递增.

特别地，当函数/(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

26

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(2)减函数

设函数/(x)的定义域为/,区间D匚/.如果VX],x2GD,当X]</时，都有/(xj〉/(%),那么就称函数/(x)在

区间。上单调递增.

特别地，当函数/(X)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

(3)单调性、单调区间、单调函数

如果函数尸/⑴在区间。上单调递增或单调递减，那么就说函数歹=/(x)在区间。上具有(严格的)单

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数学数学数学

调性，区间。叫做y=/(x)的单调区间.

如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.

(4)证明函数/⑴在区间。上单调递增或单调递减，基本步骤如下：

①设值：设药,”。，且Xj<X2；

②作差：/&)-/(%);

③变形：对/(*)-/(%)变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底;

④判断符号，得出函数的单调性.

(5)函数的最大值与最小值

①最大值：设函数歹=/(幻的定义域为/,如果存在实数眼满足：

(1)对于任意的xe/,都有/(x)<M；

(2)存在使得/(%)=".

那么我们称"是函数%/(x)的最大值.

②最小值：设函数歹=/(幻的定义域为/,如果存在实数勿满足：

数学数学数学28

数学数学数学

(1)对于任意的xe/,都有/(x)之加；

(2)存在与©/,使得

那么我们称加是函数＞=/(x)的最4、值.

2.奇偶性

(1)偶函数

设函数/(x)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(-x)=/(x),那么函数/(x)就叫做偶函数.

关于偶函数有下面的结论：

①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件;

②偶函数的图象关于y轴对称.反之也成立；

③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.

(2)奇函数

设函数/(x)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(-x)=-/(x),那么函数/(x)就叫做奇函数.

关于奇函数有下面的结论：

数学数学数学29

数学数学数学

①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件;

②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；

③如果奇函数当x=0时有意义，那么/(0)=0.即当x=0有意义时，奇函数的图象过坐标原点；

④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.

3.3幕函数

1.瓶函数的概念

一般地，形如昨X。(aeR,C为常数)的函数称为第函数.

对于纂函数，我们只研究a=l,2,3,1,-1时的图象与性质.

2.五个暴函数的图象和性质

斗।打广.

,1y=xy=X

数学数年/，学30

数学数学数学

y=xy=x2y=x3y=y=x~[

定义域RRR[0,+co)(-GO,0)U(0,+co)

值域R[0,+co)R[0,+co)(-GO,0)U(0,+co)

奇函非奇非

奇偶性奇函数偶函数奇函数

数偶

(X，0]

递减增函(-00,0),(0,+oo)

单调性增函数增函数

(0.1X.)一匕数上递减

递增

定点(1,1)

数学数学数学31

数学数学数学

3.4函数的应用(一)

略.

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

1."次方根与分数指数暴

(1)方根

如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中〃〉1,且〃eN*.

①当〃是奇数时，正数的“次方根是正数，负数的“方根是负数.这时，a的“方根用符号后表示.

②当〃是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的〃次方根用符号标

表示，负的“次方根用符号-标表示.正的〃次方根与负的“次方根可以合并写成土标(«>0).

负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0,记作市=0.

式子桁叫做根式，这里〃叫做根指数，a叫做被开方数.

关于根式有下面两个等式：

=a

n/—^fa,〃为奇数

""=加,〃为偶数

2.分数指数第

数学数学数学32

数学数学数学

(1)正分数指数赛

an=(o>0,m,neN*,〃〉1).

0的正分数指数幕等于0.

(2)负分数指数赛

_™1i/\

an=—^=—j=ka>0,m,neN*,n>\J.

a"Vam

。的负分数指数幕没有意义.

(3)有理数指数第的运算性质

①a'as=ar+s(a〉0,r,se°)；

②⑷)(a>0,r,se°)；

(3)(aby=a'b'(a>0,b>0,re。).

3.无理数指数赛及其运算性质

(1)无理数指数暴的概念

当X是无理数时，优是无理数指数赛.我们可以通过有理数指数幕来认识无理数指数第.当X的不足近

似值加和过剩近似值〃逐渐逼近x时，优'和a"都趋向于同一个数，这个数就是优.所以无理数指数第a，

(«>0,x是无理数)是一个确定的数.

(2)实数指数赛的运算性质

整数指数幕的运算性质也适用于实数指数第，即对于任意实数r,S,均有下面的运算性质.

①a'as=ar+s(a>0,r,seR)；

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②（"）s=a”（«>0,r,seR）；

（3）（aby=a'b'（a>0,b>0,reR）.

4.2指数函数

1.指数函数的概念

函数尸虐（«>0,且"I）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

2.指数函数的图象和性质

一般地，指数函数尸罐（«>0,且"I）的图象和性质如下表所示：

0<6Z<1a>l

数学数学数学34

数学数学数学

y1

图

/y•<i,

他“尸.1

象N=1

oI