高中数学总复习教学案01：第一单元 集合与逻辑 推理与证明

高中数学总复习题组法教学案01

第一单元集合与逻辑推理与证明

本章知识结构

‘确定性

概念-＞元素性质f＜互异性

无序性

*列举法

表示方法一＞描述法

图示法

集合f［属于关系

关系一'［包含关系

命题及其关系'

交集f且］充要条件

运算一＞并集＞或f逻辑联结词一常用逻辑用语

补集f非，存在量词与

全称量词，

、1

归纳推理

合情推理一

推理-＞4类比推理

演绎推理

推理与证明-

综合法

直接证明一

证明-分析法

间接证明一反证法

本章重点难点聚焦

重点：(1)与集合有关的基本概念和集合的“并”、“交”、“补”运算。

(2)全称量词、全称命题、存在量词、特称命题等概念及应用。

(3)充分、必要、充要条件的意义，两个命题充要条件的判断。

(4)合情推理与演绎推理的概念和应用。

(5)直接证明与间接证明的基本方法。

难点：(1)有关集合的各个概念的含义以及这些概念之间的联系。

(2)含有一个量词的命题的否定。

(3)判断充要条件时，区分命题条件和结论。

(4)运用合情推理与演绎推理解决问题。

(5)反证法的证明。

本章学习中注意的问题：

(1)在解答有关集合问题时，首先弄清代表元素，明确元素特点；当集合

元素含有参数时，注意元素互异性；在集合运算中注意边界点、临界点及空集

可能性。

(2)注意全称命题，特称命题的否定。

(3)研究充分条件，必要条件，充要条件时注意联系命题，注意原命题与

逆否命题的等价性。

(4)注意数形结合，分类讨论，等价转化等思想方法的运用。

本章高考分析及预测

(1)近儿年来，每年都有考查集合的题目，总体来说这部分试题有如下

特点：一是基本题，难度不大;二是大都以选择题、填空题形式出现，有时是解

答题的一个步骤。对于集合的考查：一是考查对基本概念的认识和理解，二是

对集合知识的应用。无论哪一种形式，都以其他基础知识为载体，如方程(组)、

不等式(组)的解集等。

(2)对于逻辑的考查主要考查四种形式的命题和充要条件，特别是充要

条件，已经在许多省市的试卷中单独出现，命题形式：一是原命题与逆否命题

的等价性(含最简单的反证法)；二是充要条件的判定。在考查基础知识的同时,

还考查命题转换、推理能力和分析问题的能力以及一些数学思想方法的考查。

(3)推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不

在，从近儿年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理

能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反

证法分析问题、进行证题思路的判断经常用到，有独到之处。

(4)预计在2009年的高考中，集合部分的试题还将以选择题或填空题

的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，考查以集合为背景的应用

性、开放性问题，命题将构思巧妙、独特新颖、解法灵活；而对于命题的考查

与其它知识相结合，因此基本概念和技能一定要落实好。

§1.1集合集合间的基本关系

新课标要求

1、了解集合的含义，元素与集合的“属于关系”。

2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具

体问题。

3、理解集合之间的包含和相等的含义，能识别给定集合的子集。

4、在具体情景下，了解全集与空集的含义。

重点难点聚焦

重点：(1)集合的概念与表示。

(2)集合之间的基本关系。

难点：(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合、集合与集合之间的关系以及符号q、e的应用。

(3)空集的特殊性。

高考分析及预测

集合是数学中最基本的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言，因此

集合的概念以及集合之间的关系是历年高考的必考内容之一，本部分的考查一

般有两种形式：一是考查集合的相关概念，集合之间的关系，题型以选择题、

填空题为主；二是考查集合语言、集合思想的理解与应用，这多与其他知识融

为一体，题型也是一般以选择填空为主，单纯的集合问题以解答题形式出出现

的儿率较小，多是与函数、不等式等联系。在复习中还要特别注意，新课标的

中特别强调表达与描述同一问题的三种语言“自然语言、图形语言、集合语言”

之间的关系，因此要注意利用韦恩图数轴函数图象相结合的作用，另外集合新

定义信息题在近几年的命题中时有出现，注意研究。2009年是新课标命题第三

年，预测在高考中部分会继续保持稳定难度不会太大，命题形式会更加灵活新

颖。

提组设计

再现型题组

1、填空

(I)下列说法中①全中国的大胖子，②小于100的所有质数，③幸福中学

高三1班同学，④2008年北京奥运会的所有比赛项目，

以上四个说法不能组成集合的是

(2)集合人=竹一女,2%},则实数k的取值范围是

2、选择

(1)设全集U=R,集合M={x[x<-l},N={x|k|〉l}则下列关系中正确的是

()

A、M=NB、NuMC、MuND、NcgM=0

(2)给出如下关系式①au{a,b},②ae[a,b]，③0e{a}④0u{a}⑤{a}c{a,b}

⑥{a}q{a},其中正确的是()

A、①②④⑤B、②③④⑤C、②④⑤D、②④⑤⑥

巩固型题组

3.2008年第29届奥运会在北京召开，现在三个实数的集合，既可以表示为

也可以表示为{K。+80},则。2g+/。。8=。

a

4.已知集合4={x|x=a+_L,aeZ},8={x|x/_!,beZ},C={x|x，+LceZ},则A,B,C之间的关

62326

系是。

A.A=BczCB.AuB=CC.AuBuCD.AuBuC

5.设P,Q为两个非空集合，定义集合P+Q={a+"aeP为w。},若

P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+。中元素的个数是o

A.9B.8C.7D.6

6.记函数=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-x)](a<1)的定义域为

B.

(1)求A.

(2)若AUB=A,求实数a的取值范围.

提高型题组

7.已知fe{i,o,%},求实数x.

8.已知集合4={尤|——3x—lv0}。

(1)若8q右8={尤|加+14》42»1+1},求实数111的取值范围.

(2).若A=5,5={x|m-6342吁1},求实数ID的取值范围.

(3)若AuB,8={x|〃?-64x«21},求实数m的取值范围.

反馈型题组

9.(08年江西)定义集合运算4*8=亿|2=研》",-3},硼={1,2},8={0,2}，则集合A*8的

所有元素之和为()。

A.0B.2C.3D.6

10.设集合M={x|xJ+Lk€Z},N={x|x」+4eZ},则正确的是（）

2442

A.M=N

B.McN

C.M3N

D.MAN=0

11.（08福建）设集合A={x|-^y<o},B={x[O<x<3},那么“加eA"是"mGB"

的_________

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知集合人=,|江+4》+4=0,4€/?}只有一个元素，则a=

13.已知集合A={x|0<ax+145},集合8="|<xW2卜

(1)若A=B,求实数a的取值范围；

(2)若B=A,求实数a的取值范围；

(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由。

14.设A为实数集，满足ae4=＞」一eA,1任A,

1-a

⑴若2eA,求A；

(2)A能否为单元素集？若能把它求出来，若不能，说明理由；

(3)求证：若aeA,则

15.已知集合A=卜|卜一期]，集合8=(y|y=--^-cos2x-2asinj;+-1,xGA>,

其中工《〃K》，设全集I=R，欲使%A,求实数a的取值范围。

6

§1.2集合的运算

新课标要求

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义。会求给定子集的补集。

(3)能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

重点难点聚焦

并集、交集、补集的含义，以及两个集合之间并、交、补的运算

高考分析及对策

(1)以考查集合的并、交、补等运算为主，同时注重韦恩，数轴应用，求并、

交、补等数形结合的思想的考查。

(2)本节在高考中常以选择、填空题型考查，属容易题。

题组设计

再现型题组

1.已知集合M={x|x2-3x-2840},N={x|x2-x-6>0}则MAN为

A{x[x<-2或3<x<7}B{x|-4<xW-2或34x<7}

C卜|》《一2或》>3}D{x|x<-2或xN3}

2已知集合4={划％—1<0},8={尤|3年一2—乂2<0},1<是全集。

①AUB=8②A^B=A③(5)UB=R④(")U(C*)=R

其中成立的是()

A①②B③④C①②③D①②③④

巩固形题组

3.设函数/(x)=log2(2x-3)的定义域M,函数g(x)=J(x—3)(x7)的定义域为N,求

(1)集合M,N

(2)集合MAN,"UN

4.(08湛江模拟)已知集合〃={x|y=lg(4-N为自然数集合，求MAN

5.(07北京)已知集合4=卜山-〃|41},B={X|X2-5X+4>0},若an8=0

,求a的取值范围

提高型题租

6.(08广东清远)记函数/(x)=/2-皆|的定义域为A,g(x)=lg(x-"l)(2a-x),

(a<l)的定义域为B

⑴求A

(2)若AUB=A,求实数a的取值范围

7.已知A={y|y=x?+2〃zx+4,xe/?},B=<x|log；x+log]xW0,且AD8。0求实数m的

、3-

取值范围

22

8.设全集是实数集R,A={X|2X-7X+3<0},B={x|x+a<0}o

(i)当a=-4时，求An8和AnB

(2)若(C;A)n8=5,求实数a的取值范围

反馈型题组

9.设全集U是实数集R,M={x|f>4},N={x[l<x<3},则图中阴影部分所表示的

集合是()

A.1%|-2<x<1)B.|-2<x<2}C.11<x<2)D.{x|x<2}

10.(08广东兴宁模拟)设数集〃=卜|mw团+：1,N=卜|<尤w/?1,M、N都

是集合的0341}的子集,如果把b-a叫做集合{x|aW。}的“长度”，那么集合

MAN的“长度”的最小值是

A.-17B.-C.—1D5.—

331212

11.定义集合A*B={Z|Z=xy(x+y),x&A,yeB},l^A={1,2},B={3,4}则集合A*B所

有元素之和为

12.高三某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得

优20人，则两门都得优的人数

13.已知集合A=|y2-(a2+a+l)y+a(a2+1)>0|,5=jy|y=-^-x2-x+^,0<x<31

(1)若An6=0,求实数a的取值范围

(2)当a取使不等式r+12ax恒成立的最小值时，求(。储)「8

§1.3命题、基本逻辑连接词与量词

新课标要求：

1.了解命题及逆命题、否命题与逆否命题

2.了解逻辑连结词“或”“且”“非”的含义。

3.理解全程量词与存在量词的意义。

4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

5.学会运用等价转化思想进行推理。

重点难点聚焦：

本节内容的重点是有关命题的概念及四种命题间的相互关系；逻辑联结词的含

义及命题真假的判定；全称量词与存在量词的有关概念。

本节内容的难点：是对含有一个量词的命题的否定，含有逻辑联结词的命题的

真假的判断，以上是重点突破的内容。

高考分析及预测：

1.考查命题转化，逻辑推理能力和分析问题，解决问题的能力。多以选择题、填

空题的形式出现。

2.全称量词与存在量词作为新增内容，很有可能在选择题，填空中出现。

题组设计

再现型题组：

1.分别指出由下列命题构成的“pvg”，“形式的命题的真假。

(1)p：4G{2},q：2e{2,3}

(2)p：l是奇数，q：l是质数

(3)p：0e0q：|x|x2-3x-5<01c

(4)p：5<5q:27不是质数

(5)p：不等式x?+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2}

q：不等式x?+2x-8<0的解集是{x|x<-4或x>2}

2.写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属于全称

命题还是特称命题:

(1)所有的有理数是实数。

(2)有的三角形是直角三角形

(3)每个二次函数的图像都与Y轴相交

(4)Vxe/?,x2-2x>0

巩固型题组

3.如果命题"pvg"是真命题，命题"p/\q"是假命题，那么()

(A)命题p和命题q都是假命题

(B)命题p和命题q都是真命题

(C)命题p和命题非q真值不同

(D)命题p和命题非q真值相同

4.已知a>0,设命题p:函数尸/在R上单调递增；命题q:不等式分-公+1>0对

TxeR恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。

提高型题组

5设P：关于X的不等式标>1的解集是｛x|x<O｝,Q：函数y=lg(ax2_x+a)的定义域为

R,如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.

6(2007年江苏统考)下列命题中不正确的是()

A.X/a,beR,an=+b,有｛"“｝是等差数列

2

B.3a,beR,an=an+bn,使｛”“｝是等差数列

2

C.\fa,beR,Sn-an+bn+c,有｛%｝是等差数列

D.3a,b,ceR,S„-an2+bn+c,使｛a“｝是等差数列

反馈型题组：

7.已知命题p：YXGR,sinxNl则()

A.「p：Bxe/?,sinx>1B./?,sinx>l

C.」p:BxG/?,sinx>1D."/?:VxeR,sinx>1

8.命题“存在XEZ,使/+2x+mK0”的否命题是（）

A.存在XEZ,使—+2尤+加>0

B.不存在xcZ,使+2x+加>0

C.对于任意xcZ都有x2+2x+m<0

D.对于任意xGZ都有—+2无+m>0

9.命题“若ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是（）

A.才：w0,则Qw0或/?w0

B.若aw0或。w0,则加0

C.若贝UQWO且bwO

D.若awO且bwO,则obwO

10.命题p:不等式-^―I>—^的解集为{x[0<x<l},命题q:"A=B"是"sinA=sinB”

X—1X—1

成立的必要非充分条件，则（）

A.p真q假B.“p且q”为真

C."p或q”为假D.p假q真

11.与命题“若aeM,贝必eM”等价的命题是（）

A.若awM,则be何B.若。M,贝I」aeM

C若则beMD.若beM则a任〃

12.如果命题“XP或公”为假命题，贝lj（）

A.p、q.均为真命题

B.p、q.均为假题

C..p、q.中至少有一个为真命题

D.p、q.中至多有一个为真命题

13.已知命题p：——您6,q:xeZ,且“p且q”与“非p”同时为假命题，求

x的值。

§1.4充分条件，必要条件与四种命题

新课标要求

1.本节涉及到的主要基础知识

(1)了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题

(2)理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系

2.常用的数学思想方法

演绎法，特例法，转化思想法

3.主要能力

运算能力和逻辑思维能力

重点难点聚焦

本节重点难点是四种命题的等价转化和充分条件，必要条件，充要条件的判

断

高考分析和预测

近儿年的高考命题中，命题成立的充分，必要及充要条件的求解和判断问

题；四种命题的关系已成为高考命题的首选素材。一方面这类问题具有很深广

的开放性，另一方面命题的空间广阔，可与多个知识点进行交汇，命题素材随

处可见。

题组设计

再现型题组

1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

(1)若”1,则方程—+2工+4=0有实根；

(2)若ab=0,则a=0或b=0;

(3)若炉+丁=0,则全为零

2.在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由

(1)A：同22,peR;8:方程x2+px+p+3=0有实根；

(2)A：圆/+/=/与直线ax+by+c=O相切，B：

巩固型题组

3.已知p:1--~-<2,q:x2-2x+l-m2<0(m>0)»且/是的必要而不充分条件,

求实数m的取值范围。

4.下列命题：(1)“若xy=O则x,y中至少有一个为零”的否命题(2)

面积不相等的三角形不全等，(3)“若加41,则2x+〃?=0有实根”的逆否命题,

(4)左70是方程y=Ax+b表示直线的充分不必要条件，其中真命题有__

提高型题组

5.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，命题的否定，并判断它们的

真假：

(1)若“41,则方程炉+23+4=0有实根;

(2)若x,y都是奇数，则x+y是偶数；

(3)若盯=0,则x=0或y=0；

(4)若/+/=(),则尤,y全为0.

6.已知抛物线C:y=-/+旧1和点A(3,0),B(0,3).求证：抛物线C与线段

AB有两个不同的交点的充要条件是3〈〃区3

3

反馈型题组

7(2007重庆)命题“若f<l,贝的逆否命题是()

A.若—21,贝iJxNl,或xW-lB.若-1cx<1,则》2<1

C.若x>l,或x<-l,则了2>1D.若xNl或xW-l,则-21

8.(2007北京)平面a/力的一个充分条件是()

A.存在一条直线a,a//a,a//j3

B.存在一■条直线a,aua,a!I/3

C.存在两条平行直线ua,bu/3,a110,b"a

D.存在两条异面直线ua,bJ3,a///3,b//a

9.(2007天津)“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

10.(2007湖北)已知p是/"的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是「的必要条

件，4是s的必要条件，现有下列命题：()

(1)s是q的充要条件(2)p是q的充分不必要条件(3)r是q的必要不充分条

件(4)是F的必要不充分条件(5)r是s的充分不必要条件

A.(1)(4)(5)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(5)D.(2)(4)(5)

2

11.已知条件p：A.xBaWxAY+i}条件，q-B=^x\x-3(a+l)x+2(3a+1)<o}

若条件p是条件4的充分条件，求实数。的取值范围

§1.5合情推理与演绎推理

新课标要求

1、了解合情推理的含义，利用归纳与类比等进行简单的推理。

2、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能进行简单的推理。

重难点聚焦

重点：归纳推理与类比推理的一般步骤，演绎推理的“三段论”模式。

难点：合情推理的猜想与演绎推理的证明。

高考分析及预测：

推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考

题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，

考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解

答题中出现。

题组设计

再现型题组

1.根据右边给出的数塔猜测123456义9+7=（）

A.1111110lx9+2=11

B.111111112x9+3=111

C.1111112123x9+4=1111

D.11111131234x9+5=11111

2.下列那个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适。（）

A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形

3.演绎推理是以（）为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。

A.一般性的原理B.特定的命题

C.一般性的真命题D.定理、公式

巩固型题组

4.设出｝是集合｛2，+2'|0«s<f,且s、fwZ｝中的所有数从小到大排成的数列，

即q=3,4=5,%=6,4=9,%=1。,。6=12…，将各项按照上小下大，左小右大的原则

写成如下三角形数列表：

3

56

91012

(1)写出这个三角形数表的第四、第五行各数;

(2)求。侬

5.请用类比推理完成下表:

平面空间

三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之

和大于第四个面的面积

三角形的面积等于任意一边三棱锥的体积等于任意一个

的长度与这边上高的乘积的一半底面的面积与该底面上的高的乘

积的三分之一

三角形的面积等于其内切圆

半径与三角形周长的乘积的一半

6.已知函数f(x)=x2+x-l,a4是方程f(x)=0的两个根(a>尸)，f，(x)是f(x)

的导数。设ai=l,an+i=an-粤4(〃=1,2,…).

(1)求夕的值。

(2)对任意的正整数n有an>a,记=ln*N(〃=1,2,…)，求仍“｝的前n

项和s“O

7.证明：/(x)=-/+2x在(-8,1］上是增函数。

8.由图(1)有面积关系隆迎=坐些邑。则由图(2)有体积关系：立3

S'APABPA・PBVp_"c

等于多少?

反馈型题组

9.已知扇形的弧长为/,半径为r,类比三角形的面积公式：S=/直，可知扇形

2

面积公式()

入二B.~c.~D.不可类比

222

10.在数列｛%)中,4=0,。向=29+2,则勺是()

A.2"-2+-B.2"-2C.2"-'+1D.2"+'-4

2

11.若点E、F、G、H顺次是空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中

点，EG=3,FG=4,贝IJAC2+802的值是()

A.25B.50C.100D.200

12.等差数列｛a,J中，4>0，公差d>0,则有>%x%,类比上述性质，在等比

数列也J中，若b“>0,q>0,写出为也也的一个不等关系0

13.在数列｛%｝中,%=I,%+I=2J,〃WN*,猜想这一数列的通项公式。

2+a.

14.若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积是多少？

（只需写出一个可能的值）

§1.6直接证明与间接证明

新课标要求：

1.了解直接证明的两种基本方法一分析法与综合法，了解两种方法的思考过程与

特点。

2.了解间接证明的一种基本方法一反证法，了解他的思考过程与特点。

重点难点聚焦：

理解综合法证明与分析法证明的概念及它们的区别，综合证题是由因索

果，分析法证题是知果索因，这是两种思路截然不同的方法，在解决问题时可

以综合应用。反证法适用于不易直接证明的问题，关键应把握证题的步骤，且

证明中必须用到假设。

高考分析及预测

历年高考中都要考察证明，以考察综合法为主，有时也考察到分析法与反

证法，2009年预计仍会考到之一部分的内容，很可能涉及立体几何，解析几何,

不等式，方程等知识，因此把握好三中证明方法的思考过程和步骤是关键。

题组设计

再现型题组

1.证明分为与,直接证明包括、等；间接证明主要

是。

2.综合法：（1）一般的，利用,经过

最后。这种证明方法叫做综合法。

（2）.综合法的模式;若用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表

示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

|Pn闵t12n|Q=闵—…fQ”nQ

3.分析法：一般的，从出发，逐步寻找使___________直至最

后，把要证明的结论归结为（已知条件、定义、定理、

公理等）。这种证明方法叫做分析法。分析法可用框图表示为：

Oilf刃T

4.反证法：一般的，假设（即在原命题的条件下，结论不成

立），经过

，最后，因此说明,从

而，这样的证明方法叫做反证法。

巩固型题组

5.设a+b>O,n为偶数，证明：^―+-->-+-o

a'b"ab

6.已知非零向量。求证：用当14行。

\a-b\

7.已知，a,0,ce(O,l),

求证：(1-4)4(l-O)c,(l-c)a不能同时大于工。

4

提高型题组

8.已知a,b,c为正实数，a+b+c=l

求证：a2+b2+c2>-o

3

9,已知ac>2(〃+d)

求证：方程/+〃x+/?=0与方程/+cx+d=0中至少有一个方程由实数根。

反馈型题组

10.下列四个命题，其中属于假命题的是()

A.不存在无穷多个角。和夕，使得sin(a+2)=sinacos13-cosasin,。

B.存在这样的角a和夕，使得cos(a+(3)=cosacos尸+sinasin0。

C.对任意的角二和夕，都有cos(a+〃)=cosacosQ-sinasinf3。

D.不存在这样的角二和夕，使得sin(a+力)wsinacos夕+cosasin尸。

11.下列各式对OR都成立的式子是()

A.Ig(x2+l)>lg2xB.(x2+l)>2xC.<1D.x+->2

X+1X

12.已知x,y是正变数，a,b是正常数，且@+2=1,则x+y的最小值为

13.设〃也c£R+,a+Z?+c=1,则7^+扬+〃的最大值是o

14.已知数列｛log(a“-1)｝(〃GN*)为等差数列,且％=3,%=9,

(1).求数列｛4｝的通项公式。

(2).证明」+—J—<1.

々一％a3-a2an+i-an

15.已知函数/(x)=a'+—(«>1)

X+1

(1).证明：函数/(X)在(-1,+00)上为增函数。

(2).用反证法证明"x)=0没有负数根。

16.已知函数y=3(x/),证明：

-2x-l2

(1).经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴。

(2).这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。

第一章.集合与简易逻辑、推理与证明单元综合检测题

一.选择题

1.设全集。=/?,集合M={x|x<l},N={x||x|>l},则下列关系中正确的是()

A.M=NB.N-uMC.M-uND.NcCllM=0

2.已知全集U=Z,A={-1,0,1.2},8={X|X2=X},则为()

A.{-1,2}B.{-l,0}C.{0,l}D.{1,2}

3.若命题“PvQ”与“PAQ”中一真一假，则可能是()

A.P真Q假B.P真Q真C.子真Q假D.P假？真

4.命题“对任意的Xe-工2+1W0”的否定是()

A.不存在了€/?,》3_》2+]<0B.存在xe/?,x3—f+iwo

C.存在xeR4—f+i>。D.对任意xe/?,/—/+1>()

5.设是例,N两个集合，贝I」“MUNW0”是"A/nNH0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.推理：(1)矩形是平行四边形;(2)三角形不是平行四边形；(3)所有三角形不

是矩形。

其中的小前提是()

A.(l)B.(2)C.(3)D.(l)和(2)

二.填空题

7.集合A={-1,3,2〃1},集合8={3,/},若8qA,贝lj实数机=。

8.已知集合A={x||x-"区1},8=*|/_5》+420},若4口8=0，则实数a的取值范

围是。

9.设p,q为两个命题，p:log］（忖-3）〉0,q:Y-!■+，>（）,则p是q的_______条件。

266

10.由图（1）有面积关系•空空=型里。则由图（2）有体积关系：Vf'B'c'等

SAPABPA・PB*P-ABC

于多少？

B

(1)

三.解答题

11.已知〃>0力>0且a+〃>2,求证:匕士士■中有一个小于2.

ab

12.已知命题p:方程/+用》+1=0有两个不等的负实根；命题

q:方程4x?+4（机-2）x+l=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求实数机的取值范

围。

参考答案部分

§1.1集合间的基本关系

再现型题组

1.填空

(1)答案：(1)

提示：因为没有规定大胖子的标准，所以(1)不是集合。由于(2)(3)(4)

中的对象具备确定性因此可以组成集合。

(2)答案：伙I女#0且kw3}

提示：利用集合的元素的互异性可得k?-kw24解得"0月j"3

基础知识聚焦：一般地，某些被考察的对象集在一起，就构成了一个集合(简

称集)集合中两个对象称为这个集合的元素，又具有三个特性：确定性,

无序性，互异性。

确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合中的元素

或者不是它的元素。

互异性：相同对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素。

无序性：在一个集合中，通常不考虑元素之间的顺序，例如{a,b}={a,b}

变式拓展：(1)下列各组对象中不能形成集合的是()

A.高一1班全体学生B.高一1班全体女学生

C.张良的所有初中老师，D.李佳的所有好同学

(2)由实数-x,xjxi,aL-VF,所组成的集合中最多含有()个元素

A2B3C4D5

(3)设P,Q为两个非空实数集合，定义P・Q={zlz=ab,aeP,beQ},若

「={-1,0,1}々={22}则集合15©中元素的个数是()

A3B4C5D6

答案：(1)D(2)A(3)A

2.选择题

(1)答案：C

提示：因为N={xlx>l或x<-l}所以MuN选C

(2)答案:D

提示：(1)不正确，应为ae{a,b}(3)不正确，集合间的关系应表示为

(2)(4)(5)(6)都正确，选D

基础知识聚焦：元素与集合之间用属于e或不属于任表示。

集合与集合之间的关系用符号。品表示

子集：对于两个集合与如果对于集合的每一个元素，它也是集合的元素，那么

集合叫做集合的子集，记作AqB或B卫A

真子集：如果集合是集合的子集，并且集合中至少有一个元素不属于集合那么

集合叫做集合的真子集，记作AuB或BuA

拓展变式：

（2006年江苏）若A,B,C为三个集合，AUB=BnC,则一定有（）

AAcCBCcACAYCDAN。

答案：A

提示：由AUB=BnC知AUBqB且AUB@C,所以AqC且B±C,故选A.

巩固型题组：

3.答案：1

解析：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样

需要列方程组分类谈论，显然复杂又繁琐。这时若能发现。这个元素，和2中a

a

不为0的隐含信息，就能得到如下解法。

由已知得2=0,及a=0,所以b=0,于是/=1,即a=l或a=-l,又根据集合

a

中的互异性a=l应舍去，因而a=-l故/颂+/皿=（-1）2颂=i

方法点拨：1.利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得

结果是否符合集合元素的互异性的特征。

2.此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解,

但仍然要检验。

拓展变式：含有三个实数的集合｛x,上,1｝也可以表示为｛区冰+乂0｝则/-丁3=

X

答案：-1

4.解法1：分析：用列举法表示各集合中的元素，再判断

解：简单列举集合中的元素：

_[71319।

A={...

_L1111

B={…,-针6，3,6，，，，)

j_275।

C={..„6'3%'针…'

AuB,B=C,即AuB=C

答案：B

点拨：这儿个集合都是无限集，列举时列举元素个数不能太少，太少了不便于

发现规律，会导致判断错误。

解法2：用各集合中元素所具备的特征入手

解：在A中，x=史」,aeZ;在B中,x=亚二2,beZ;在C中,x=tD,ceZ

666

显然B=C,且AuC

答案：B

点拨：(1)形式统一化

(2)熟悉数的整除性，3b-2(beZ),3c+l(ceZ)都表示被3除余1的整数，

而6a+l(aeZ)表示被6除余1的整数。

5.分析：写出元素与Q中元素相加和分别为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个。

答案：B

方法点拨：在处理集合问题时首先看集合的代表元素，由代表元素确定集合的

性质。

拓展变式：已知非空集合Mq{1,2,3,4,5}那么集合M的个数为()

A5B6C7D8

答案：D

6.分析：由函数定义域可求得集合A、B对B中含参数的二次不等式要考虑两根

大小，再由BoA转化为区间的端点值大小关系的不等式，2a21,或

a+1<-1求出a的范围。

解：(1)由2----=.”<一1或xNl。即A=(—8,-1)+8)

X+1X+1

(2)由-1)(2〃-x)〉0,得(X-Q-1)(X-2Q)<0,<1〃+1>2Q

故8=(2。,。+1).AuB=A,「.8屋A.二2。21或a+1«—1,即a2；或。工一2,而。<1,

.彳。<1或“4—2。故当AUB=A时，实数a的取值范围是(—8,—2]U

点评：(1)利用集合间的关系求参数范围，一般根据集合的有关概念，借助于

数轴，建立不等关系，注意端点是否取到。

(2)本例中AUB=A=B=A=AnB=B注意等价性。

拓展变式：如果将6中的a>l条件去掉，请写出集合B°

解析：由题意得(x-a-1)(2a-x)>0

所以，[x-(a+l)](x-2a)<0

a=l时，不等式(x-2)2<0

无实数解，此时B="

a>l时，2a>a+l不等式为a+l<x<2a

止匕时B={Xla+l<x<2a}

a<1时2a<a+1

不等式为2a<x<a+l

此时B={xl2a<x<a+1}

提高型题组：

7.分析：由元素确定性可知炉=0』或x.

由互异性知炉工0,1确定x值

解：若f=o,则x=0,此时集合为{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去。

若了2=1,贝l]X=l,-1.

当X=1时-，集合为{1,0,1},舍去；当x=-l时，集合为{1,-1,0),符合。

若/=x,则x=0或x=l,不符合互异性，都舍去。

综上所述知：x=-l.

点拨：由于集合元素的互异性，因而对求集合中参数的值的问题，必须有检验

的意识。

拓展变式：

已知A={a-2,2/+5a,10}且-3eA,求a

解；：-3eA

a-2=-3,或2/+5a=-3

a=-1,或a=--

2

但a=-l时，a-2=-3且2/+5a=-3,与集合中元素的互异性矛盾。

a=——3

2

8.分析：集合间的包含、相等关系，关键搞清A、B两集合谁是谁的子集，BqA

说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是”的

情况，同样AqB,说明A是B的子集，此时注意B是不是。oA=B

说明两集合元素完全相同。

解：(1)由A={xlX2-3X-10<0}

得A={xl-2<x<10}

因为BcA,

所以，⑴若B=。

贝m+l>2m-l

即m<2,

止匕时满足BeA

m+\<2m-\

(ii)若Bw“则<m+1>-2

2m-1<5

-2m+1o2m-1

解得24m43

由⑴(ii)得，m的取值范围是(-oo,3]

⑵若A=B则必有｛忆二解得…

即不存在m值使得A=B

2m-1>m-6m>-5

(3)若AgB,则依题意应有m-6<-2,解得<m<4,故3Km04

2m-1>5in>3

所以m的取值为[3,4]

规律技巧总结：

解决两个数集关系问题时，应注意一下儿点：

(1)注意空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，解题时不要漏掉这一

点。

(2)解决此类问题，避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解,

这也是数与形的完美结合之所在。

(3)在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循

“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况要给出问题的解答，分类讨

论的一般步骤是：确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论。

课堂小结：

1.注意集合互异性及空集在解题中的特殊性，如AqB,则有A=。或A。”的可

能性。

2.从集合观点看，若AcB,则A是B的充分条件，B是A的必要条件，若A=B,

则A,B互为充要条件。

3.利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合

思想的运用。

反馈型题组：

9答案:D

解析：由A*B定义写出集合A*B中的所有元素，有0,2,4,所有元素之和是

0+2+4=6,选D

点拨：本题是创新型概念理解题，有的人又称为自定义题型，在这里准确理解

A*B是解决问题关键，并且又考查了集合元素的互异性，因此又要准确

理解集合的含义，明确题目所要解决的问题，从而解决问题。

10.答案：B

解析：可利用特殊值法，令k=-2,-l,0,l,2可得，-}

44444

N={…,0,-,-,1,...)所以MuN

424

解析2：集合M的元素为*=&+工="巴(kwZ)

244

集合N的元素为x=i+l=^(keZ)

424

而2k+l为奇数，k+2为整数，因此MuN

11.答案：A

解析：化简A、B,A={xl0<x<l}B={xl0<x<3)所以，所以对集合中的任意元素

m,有meA时一，一定有meB,即meAnmeB,但meB时一，可能有

meA,例如2eB,但2史A,所以，meA是meB是充分而不必要条件。

选A

12.答案：。或1

解析：由题意可得方程af+4x+4=0只有一个解或二重根。当a=0时方程4x+4=0,

即x=-l,只有一个解，符合题有意；当awO时一，方程a/+4x+4=0只有一

个解需满足△=16-16a=0,即a=l时，次方程有二重实根-2,由互异性知A

中只有一个元素，适合题意，故所求a的值为0或1.

13.解析：A中不等式的解集应分为三种情况讨论：

(1)若a=0,贝ljA=R

(2)若a<0,贝！JA={xl-<x<--}

aa

(3)若a>0,则A={xl--<x<-}

aa

i)当a=0时,若AqB,此种情况不存在。

—4>—1ra<-8。

当a<0时，若A=B,则"21

——4212

Ia

所以a<-8

1<2r

当a>0时一，若AuB,贝IJ。:.\a~2

~_1>_11^2

,a2

所以a>2.

综上知，此时a的取值范围是a<-8或a>2.

ii)当a=0时，显然BqA

41r、。

一«—aN-8

当a<0时，若B=A则"2.-Ji

1ca>——

——>2[2

a

所以--<a<0

2

当a>0时，若BuA则0:.]a~2

-_1<_11^2

.a2

所以0<a<2

综上知，当B=A时，--<a<2o

2

iii）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B,由i）ii）知，a=2.

规律总结：在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段就是合理

运用轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对

参数进行讨论。分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况

要给出问题的解答，分类讨论的一般步骤是：确定标准；恰当分类；逐类讨

论；归纳结论。

14.(1)解：2eA=>—5—=-1GA=>——?——=』eAn-J-=2eAA={2,-1)—}

1-21-(-1)2J2

2

(2)解：设A={a}—_LeA,;.a=」一,即4a+i=o,无实数解，所以A不能为

1-a\-a

单元素集合。

(3)证明：vaeA=>—^―GA,=>—―wA,即1--GA

l-a]1a