线性代数重点难点

自考《线性代数》重难点解析

2011-02-1711:09:49|作者：min|来源：考试大|杏看:

第一章行列式

一、重点

1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点

行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的

应用。

三、重要公式

1、若A为n阶方阵，则|kA|=kn|A|

2、若A、B均为n阶方阵，则|AB|=|A|。|B|

3、若A为n阶方阵，则|A*|=|A|n-1

若A为n阶可逆阵，贝ij|A-1|=|A|-1

4、若A为n阶方阵，Ai(i=1,2,n)是A的特征值，|A|=TT入i

四、题型及解题思路

1、有关行列式概念与性质的命题

2、行列式的计算(方法)

1）利用定义

2）按某行（列）展开使行列式降阶

3）利用行列式的性质

①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（歹U）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式

5）数学归纳法，多用于证明

3、运用克莱姆法则求解线性方程组

若D=|A|丰0,贝ijAx=b有唯一解，即

x1=D1/D,x2=D2/D,xn=Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式|A|判别方程组解的问题

1）当|A|=0时，齐次方程组Ax=0有非零解；非齐次方程组Ax=b不是唯一解

（可能无解，也可能有无穷多解）

2）当|A|*0时-，齐次方程组Ax=0仅有零解；非齐次方程组Ax=b有唯一解，

此解可由克莱姆法

一、重点

1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵(零矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩

阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵)

2、掌握：

1)矩阵的各种运算及运算规律

2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

3)矩阵的初等变换方法

二、难点

1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

2、初等变换与初等矩阵的关系

三、重要公式及难点解析

1、线性运算

1)交换律一般不成立，即AB丰BA

2)一些代数恒等式不能直接套用，如设A,B,C均为n阶矩阵

(A+B)2=A2+AB+BA+B2*A2+2AB+B2

(AB)2=(AB)(AB)*A2B2

(AB)k*AkBk

(A+B)(A-B)丰A2-B2

以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

3）由AB=O不能得出A=0或B=0

4)由AB=AC不能得出B=C

5)由人2=人不能得出A=I或A=0

6)由A2=0不能得出A=0

7)数乘矩阵与数乘行列式的区别

2、逆矩阵

1)(A-1)-1=A

2)(kA)-1=(1/k)A-1,(k#：0)

3)(AB)-1=B-1A-1

4)(A-1)T=(AT)-1

5)|A-1|=|A|-1

3、矩阵转置

1)(AT)T=A

2)(kA)T=kAT,(k为任意实数)

3)(AB)T=BTAT

4)(A+B)T=AT+BT

4、伴随矩阵

1)A*A=AA*=|A|I(AB)*=B*A*

2)(A*)*=|A|n-2|A*|=|A|n-1,(n>2)

3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*

4)若r(A)=n,贝r(A*)=n

若r(A)=n-1,则r(A*)=1

若r(A)<n-1,贝Ur(A*)=0

5)若A可逆，则(A*)-1=(1/|A|)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=|A|A-1

5、初等变换(三种)

1)对调二行(列)

2)用k(k*0)乘以某行(列)中所有元素

3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素

注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用

②求逆阵，只能用行或列变换

③求线性方程组的解，只能用行变换

6、初等矩阵

1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变

3)初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)

7、矩阵方程

1）含有未知矩阵的等式

2）矩阵方程有解的充要条件

AX=B有解v==>B的每列可由A的列向量线性表示

<==>r（A）=r（A;B）

四、题型及解题思路

1、有关矩阵的概念及性质的命题

2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）

3、矩阵可逆的判定

n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=BA=I

<==>|A|#0

<==>r（A）=n

<==>A的列（行）向量组线性无关

<==>Ax=0只有零解

<==>任意b,使得Ax=b总有唯一解

<==>A的特征值全不为零

4、矩阵求逆

1）定义法：找出B使AB=I或BA=I

2)伴随阵法：A-1=(1/|A|)A*

注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）

i+j,当n>3时，通常用初等变换法。

3）初等变换法：对（A，I）只用行变换化为（I：A-1）

4）分块矩阵法

5、解矩阵方程AX=B

1）若A可逆，则X=A-1B,可先求出A-1,再作乘法A-1B求出X

2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X

（A;B）初等行变换（I：X）

3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列

常数项分别求解。

一、重点

1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，

线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程

组的解法。

二、难点

线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表

示及秩之间的联系。

三、重点难点解析

1、n维向量的概念与运算

1)概念

2)运算

若a=(a1,a2,an)T,B=(b1,b2......bn)T

①加法：a+B=(a1+b1,a2+b2,an+bn)T

②数乘：ka=(ka1,ka2,kan)T

③内积：(a。p)=a1b1+a2b2+,…，+anbn=aTP=PTa

2、线性组合与线性表出

3、线性相关与线性无关

1)概念

2)线性相关与线性无关的充要条件

①线性相关

al,a2,as线性相关

<==>齐次方程组(al,a2,as)(x1,x2,xs)T=0有非零解

<==：，向量组的秩r(al,a2....as)<s(向量的个数)

<==>存在某ai(i=1,2,…，s)可由其余s-1个向量线性表出

特别的：n个n维向量线性相关<==>|ala2...an|=0

n+1个n维向量一定线性相关

②线性无关

al,a2......as线性无关

<==>齐次方程组(al,a2,as)(x1,x2,...»xs)T=O只有零解

<==>向量组的秩r(al,a2,as)=s(向量的个数)

<==>每一个向量aiG=1,2,s)都不能用其余s-1个向量线性表出

③重要结论

A、阶梯形向量组一定线性无关

B、若al,a2，…，as线性无关，则它的任一个部分组ail,ai2,…，ait必线性无

关，它的任一延伸组必线性无关。

C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩。矩阵的秩

1)极大线性无关组的概念

2)向量组的秩

3)矩阵的秩

①r(A)=r(AT)

②r(A+B)<r(A)+r(B)

③r(kA)=r(A),k*0

④r(AB)<min(r(A),r(B))

⑤如AuJ.逆，则r(AB)=r(B)；如B可逆，贝Ur(AB)=r(A)

⑥人是111*11阵，B是n“p阵，如AB=O,则r(A)+r(B)<n

4)向量组的秩与矩阵的秩的关系

①r（A）=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

③若向量组（I）可由（II）线性表出，则r（I）4r（II）。特别的，等价的向量

组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法

1）概念

2）求法

对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数

是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n-r（A）个），

对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定

1）设A是mxn矩阵，Ax=0有非零解的充要条件是r（A）<n,亦即A的列向量

线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax=0有非零解的充要条件是IA|=0

3）Ax=0有非零解的充分条件是mvn,即方程个数〈未知数个数

7、非齐次线性方程组有解的判定

1）设A是mxn矩阵，Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A

增）的秩，即r（A）=r（A增）

2）设A是mxn矩阵，方程组Ax=b

①有唯一解v==>r（A）=r（A增）=n

②有无穷多解v==>r(A)=r(A增)vn

③无解v==>r(A)+1=r(A增)

8、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax=b有解，设，r|2,…，单是相应齐次方程组Ax=0的基础解

系，W是Ax=b的一个解，则