1.4生活中的优化问题举例三课时市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

1.4.生活中优化问题举例（1）张家界市第一中学高二数学组（导数在实际生活中应用）1/41知识回顾一、怎样判断函数单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数

设函数y=f(x)在

某个区间内可导二、怎样求函数极值与最值？求函数极值普通步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上最值步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数最值。2/41知识背景：

生活中经常碰到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.经过前面学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值有力工具，本节我们利用导数，处理一些生活中优化问题.3/41新课引入:

导数在实际生活中有着广泛应用,利用导数求最值方法,能够求出实际生活中一些最值问题.生活中优化问题本质即为解相关函数最大值最小值实际问题。解相关函数最大值最小值实际问题，需要分析问题中各个变量之间关系，建立适当函数关系式，并确定函数定义域，所求得结果要符合问题实际意义。4/41处理优化问题基本思绪：1.将优化问题转化为用函数表示数学问题。2.用导数处理数学问题。3.将用导数处理问题转化为优化问题作答。常见优化问题（最值问题）有：1.几何方面应用2.物理方面应用.3.经济学方面应用(面积和体积等最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)5/41例1：海报版面尺寸设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所表示竖向张贴海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，怎样设计海报尺寸，才能使四面空白面积最小？图3.4-1

分析：已知版心面积，你能否设计出版心高，求出版心宽，从而列出海报四面面积来？题型一：几何问题中最值6/41

你还有其它解法吗？比如用基本不等式行不？所以，x=16是函数S(x)极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四面空白面积最小。7/41解法二：由解法(一)得8/412、在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间也适合用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题实际意义。9/41练习1：将一段长为12cm铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积最大值为多少？解：结论：周长为定值矩形中，正方形面积最大。10/41变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成矩形场地.假如铁丝网长40m,问靠墙一面多长时,围成场地面积最大?y′=-x+20令y′=0得,x=20当0<x<20时,y′>0,当20<x<40时,y′<0.∴x=20时,y最大=20×10=200.答:靠墙一面长20m时,围成场地面积最大,为200m2.11/41练习2:在边长为60cm正方形铁皮四角切去边长相等正方形,再把它边缘虚线折起(如图),做成一个无盖方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xh12/41xh解：设箱底边长为x,箱子容积为由解得x1=0(舍),x2=40.当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.∴函数V

(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V

(x)最大值.答当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,

最大值为16000cm313/41

要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为（）

B.100C.20D.A.练习3A14/41

由上述例子，我们不难发觉，处理优化问题基本思绪是：优化问题用函数表示数学问题用导数处理数学问题优化问题答案上述处理优化问题过程是一个经典数学建模过程。15/41处理生活中优化问题基本步骤：1、建立实际问题数学模型，写出函数关系式；2、求函数导数，求出极值点;3、确定最大（小）值；4、作答。作业：书本P37习题1.4A组1、2、316/41书本P371、一条长为l铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形面积和最小，两段铁丝长度分别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝长度分别为x,l-x,其中0<x<l由问题实际意义可知：17/41书本P373：某种圆柱形饮料罐容积一定时,怎样确定它高与底半径,使得所用材料最省?Rh解:设圆柱高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.答:罐高与底直径相等时,所用材料最省.18/411.4.生活中优化问题举例（2）张家界市第一中学高二数学组（导数在实际生活中应用）19/41问题2:

饮料瓶大小对饮料企业利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量小包装物品普通比大包装要贵些?你想从数学上知道它道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料企业利润越大?第二课时20/41规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：饮料瓶大小对饮料企业利润影响下面是某品牌饮料三种规格不一样产品，若它们价格以下表所表示，则（1）对消费者而言，选择哪一个更合算呢？（2）对制造商而言，哪一个利润更大？21/41

某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子半径，单位是厘米，已知每出售1ml饮料，制造商可赢利0.2分，且制造商能制造瓶子最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料利润最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料利润：背景知识解：因为瓶子半径为r，所以每瓶饮料利润是22/41当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，

即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料利润还不够瓶子成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大23/4124/41练习1:已知某工厂生产x件产品成本为c=2500+200x+

x2(元).(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.25/41练习2.

某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,假如降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出商品件数与商品单价降低值x(单位:元,0≤x≤30)平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件.(1)将一个星期商品销售利润表示成x函数;(2)怎样定价才能使一个星期商品销售利润最大?26/41

[解](1)设商品降价x元,则多卖出商品件数为kx2,若记商品一个星期赢利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知条件,24=k×22,于是有k=6.∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].27/41(2)依据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).当x改变时,f′(x),f(x)改变情况以下表:x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘故x=12时,f(x)到达极大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664,∴定价为30-12=18(元)能使一个星期商品销售利润最大.28/41

练习3.

某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋最少10层,每层平方米楼房,经测算,假如将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用29/41答:为了楼房每平方米综合费用最少,该楼房应建为15层.30/41

作业：书本P37习题1.4A组6B组131/411.4.生活中优化问题举例（3）张家界市第一中学高二数学组（导数在实际生活中应用）32/41问题3、磁盘最大存放量问题(1)你知道计算机是怎样存放、检索信息吗？(2)你知道磁盘结构吗？(3)怎样使一个圆环状磁盘存放尽可能多信息？第三课时33/41Rr例3：现有一张半径为R磁盘，它存放区是半径介于r与R环行区域。是不是r越小，磁盘存储量越大？(2)r为多少时，磁盘含有最大存放量（最外面磁道不存放任何信息）？34/41解：存放量=磁道数×每磁道比特数

设存放区半径介于r与R之间，因为磁道之间宽度必须大于m，每比特所占用磁道长度不得小于n，且最外面磁道不存放任何信息，所以磁道最多可达又因为每条磁道上比特数相同，为取得最大存放量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上比特数可到达所以，磁道总存放量（1）它是一个关于r二次函数，从函数解析式上能够判断，不是r越小，磁盘存放量越大.35/41(2)为求最大值，计算令解得所以，当时，磁道含有最大存放量，最大存放量为36/41练习1:某种圆柱形饮料罐容积一定时,怎样确定它高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.能够判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底直径相等时,所用材料最省.37/41xy练习2：如图,在二次函数f(x)=4x-x2图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则

A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,所以当点B为时,