一-曲线的参数方程课件

第二讲参数方程一曲线的参数方程1最新版整理ppt1、参数方程的概念：

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点2最新版整理ppt1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？3最新版整理pptxy500o1、参数方程的概念：

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？4最新版整理ppt一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。5最新版整理ppt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：

参数是联系变数x,y的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数6最新版整理ppt例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。

一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）变式:7最新版整理ppt2、方程所表示的曲线上一点的坐标是（

）练习1A、（2，7）；B、C、D、（1，0）1、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、B8最新版整理ppt

已知曲线C的参数方程是

点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;

（2）求曲线C的普通方程.解:(1)由题意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:x=1+2ty=t2由第一个方程得:代入第二个方程得:训练2：9最新版整理ppt思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,

建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程10最新版整理ppt小结：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

（2）并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，

那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。11最新版整理ppt2、圆的参数方程12最新版整理pptyxorM(x,y)13最新版整理ppt14最新版整理ppt15最新版整理ppt圆的参数方程的一般形式16最新版整理ppt由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。17最新版整理ppt例、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)18最新版整理ppt例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ19最新版整理ppt20最新版整理ppt21最新版整理ppt（2，1）22最新版整理ppt参数方程和普通方程的互化

23最新版整理ppt例3：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1.将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。2.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x、y的取值范围保持一致。代入(消参数)法恒等式(消参数)法24最新版整理ppt曲线C的普通方程和参数方程是曲线C的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。曲线的参数方程曲线的普通方程.消去参数引入参数25最新版整理ppt说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:(1)代入(消参数)法(2)加减(消参数)法(3)借用代数或三角恒等式(消参数)法常见的代数恒等式:在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。26最新版整理ppt如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么这就是曲线的参数方程。二、普通方程参数方程例4

27最新版整理ppt例4

还有其它方法吗？28最新版整理ppt例4

法二：29最新版整理ppt思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。30最新版整理ppt（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系（2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若t≥0，化为普通方程，并作图.补例1．已知曲线C的参数方程为（t为参数）分析与解答:（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x,y，即可以求出相应t值.所以，令∴t无解，∴点P1不在曲线C上.同理，令∴点P2在曲线C上.31最新版整理ppt（2）∵Q在曲线C上，（3）将代入y=3t2+1,如图.（4）∵t≥0,∴x=2t≥0,y=3t2+1≥1,

消去t，得：∴t≥0时，曲线C的普通方程为(x≥0,y≥1).32最新版整理ppt点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x≥0,但不能写成y≥1，这是因为是以x为自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.33最新版整理ppt（1）互化时，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.

如曲线y=x2的一种参数方程是（）分析:在y=x2中，x∈R,y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.（2）在求x,y的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。注意:34最新版整理ppt解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2∴应选C.补例2方程所表示的曲线一个点的坐标是()(θ为参数)补例3.参数方程（θ为参数）化成普通方程为

.35最新版整理ppt补例4：下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中=ctg2t=即x2y=1，故排除C.∴应选D.补例5.直线：3x-4y-9=0与圆：的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心36最新版整理pptA．线段 B．双曲线一支C．圆弧 D．射线答案：A。分析由，将其代入，整理得：故该曲线是直线上的一条线段，故选A。补例6：曲线的参数方程为，则曲线是：37最新版整理ppt补例7：参数方程表示：B．抛物线一部分，这部分过点C．双曲线一支，这支过点D．抛物线一部分，这部分过点分析因为

因此，参数方程表示抛物线的一部分，这部分过点，故选B。A．双曲线一支，这支过点38最新版整理ppt补例8．已知直线l1:x-ky+k=0,l2:kx-y-1=0.其中k为参数，求l1,l2交点的轨迹方程.解法1:求出两直线的交点坐标，即解方程组:

当k2≠1时，得到这就是所求轨迹的参数方程，但如果要求轨迹的普通方程，需消去参数k.（k为参数）39最新版整理ppt解法2：由kx-y-1=0，当x≠0时，可得代入方程x-ky+k=0得:点评:①解法2中，方程两边同除以x，会丢x=0的解；方程两边同乘以x，会增x=0的根，所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形.②两种方法得到轨迹的不同形式的方程，只要把参数方程中的参数消去，便可得到同样的普通方程.（不妨试试，可利用加减消元法消去k，但应关注y≠1的限制条件。）去分母，化简得:x2-y2+1=0(x≠0)

当x=0时，存在k=0，使得y=-1.

所以，所求轨迹的普通方程为:x2-y2+1=0(y≠1).40最新版整理ppt补例9:在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：（θ为参数）则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线之距离故当cos(θ-φ)=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(θ-φ)=-1,即θ-φ＝π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).41最新版整理ppt例10：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，∠A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）分析设点C的坐标为(x,y)，不易直接建立x,y之间的关系，所以可考虑建立x,y之间的间接关系式.∠CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是∠CAX的函数，所以可选∠CAX为参数解：如图所示，设，则

C点的参数方程为： 消去参数，得普通方程为：小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。42最新版整理ppt补例11：已知线段BB′=4，直线l垂直平分BB`=于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP.OP′＝9。求直线BP与直线B′P′，的交点M的轨迹方程。分析以O为原点，l为x轴，BB′为y轴建立一直角坐标系xoy，如右图所示，则B(0,2),B′(0,-2).如图可知，当P点的位置一定时，P′点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。43最新版整理ppt解：设，则由，得直线BP的方程为：直线的方程为：两直线方程化简为：解①和②组成的方程组。可得直线BP与的交点坐标为：消去参数a，得：44最新版整理ppt本题也可将直线BP和的方程变形为： ⑤、⑥两式相乘，得

小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和45最新版整理ppt参数方程与普通方程互化46最新版整理ppt例1、将下列参数方程化为普通方程解：由①式变形得：

将两式相加得：由②式变形得：47最新版整理ppt例2、将下列参数方程化为普通方程解：由①得：代入②，消去参数t，得普通方程48最新版整理ppt例3、将直线的点斜式方程y-y0=tgα(x-x0)

化为参数方程解:将直线的点斜式方程变形为即49最新版整理ppt例4、将下面参数方程化为普通方程解：将参数方程变形