辽宁省鞍山市第六十一高级中学高三数学理联考试卷含解析

辽宁省鞍山市第六十一高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且它的一条渐近线方程为，则这双曲线的方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：Ｄ2.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为（） A．1－log20132012

B．－1

C．-log20132012

D．1参考答案：B略3.某同学在研究函数＝＋的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为＝＋，则表示（如左图），则①的图像是中心对称图形；②的图像是轴对称图形；③函数的值域为；④函数在区间上单调递减；⑤方程有两个解．上述关于函数的描述正确的个数为（

）A．1

B．.2

C．3

D．4参考答案：B略4.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：C由.试题立意：本小题考查同角三角函数关系，二倍角公式等基础知识；考查运算求解能力.5.已知数列的前n项和为，且,则等于

（

）A．4

B．2

C．1

D．

参考答案：A6.在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则（

）A．

B．

C．－1

D．1参考答案：D如图所示，以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由数量积的坐标运算法则可得：.本题选择D选项.

7.已知，是不共线的向量，，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为

(

)A．λ＋μ＝2

B．λ－μ＝1C．λμ＝－1

D．λμ＝1参考答案：D略8.设集合，，则(

)A． B．

C．

D．参考答案：A【知识点】集合及其运算A1集合M={x|-＜x＜}，N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，【思路点拨】解一元二次不等式求得N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．9.已知椭圆满足条件：成等差数列，则椭圆离心率为A、

B、

C、

D、参考答案：答案：B10.在△ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据三角函数的性质结合充分必要条件判断即可．【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，由“A=”?“cosA=”，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题的否定是（

）A.

B.

C.

D.不存在参考答案：A略12.若变量x，y满足，则z=的取值范围是．参考答案：[0，1]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到点（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小为0，AD的斜率最大，由得．即A（0，1），此时z===1，即0≤z≤1，故答案为：[0，1]【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．13.（5分）（2015?哈尔滨校级二模）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．参考答案：【考点】：余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】：综合题；解三角形．【分析】：利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b?=3??c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以bc，得﹣3×﹣1=0，③，解③得=或=（舍），所以=．故答案为．【点评】：本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．14.如图：梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4，则梯形ABCD的面积等于____________。参考答案：___4+12____略15.在钝角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则△ABC的面积等于___________．参考答案：16.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.参考答案：；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.17.已知tanα=﹣2，则sin2α+cos2α=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】方法1：利用“弦化切”及其平方关系即可解决．方法2：利用“切化弦”的转化思想，找到sinα与cosα的关系，利用sin2α+cos2α=1的平方关系，即可得到答案．【解答】解法1：解：∵sin2α+cos2α=1，tanα=﹣2，∴sin2α+cos2α====解法2：解：∵tanα=﹣2，∴sinα=﹣2cosα?sin2α=4cos2α又∵sin2α+cos2α=1∴4cos2α+cos2α=1解得：cos2α=，sin2α=∴sin2α+cos2α=三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设为实数，函数，(1）讨论的奇偶性；(2）求的最小值。参考答案：（1）当时，为偶函数，

当时，为非奇非偶函数；(2）当时，

当时，，

当时，不存在；当时，

当时，，

当时，19.（本小题满分12分）已知f（x）＝x2－x＋k，且log2f（a）＝2，f（log2a）＝k（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求a，k的值；（Ⅱ）当x为何值时，f（logax）有最小值？并求出该最小值．参考答案：解：（Ⅰ）由题得由（2）得log2a＝0或log2a＝1

……4分解得a＝1（舍去）或a＝2由a＝2得k＝2

……6分（Ⅱ）f（logax）＝f（log2x）＝（log2x）2－log2x＋2当log2x＝即x＝时，f（logax）有最小值，最小值为．……12分略20.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A8124032]8元件B71840296 （Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率； （Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下； （i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率； （ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。…2分（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为，则有次品5件，由题意知得到，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件，则。……………6分（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，-30，则，，，，所以的分布列为：1509030-30…10分 …………12分

略21.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（1）打满4局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E（ξ）．令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式能求出打满4局比赛还未停止的概率．（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为：P（A1C2B3A4）+P（B1C2A3B4）==．（2）ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=+=，P（ξ=3）=P（A1C2C3）+P（B1C2C3）==，P（ξ=4）=P（A1C2B3B4）+P（B1C2A3A4）==，P（ξ=5）=P（A1C2B3A4A5）+P（B1C2A3B4B5）==，P（ξ=6）=P（A1C2B3A4C5）+P（B1C2A3B4C5）==，∴ξ的分布列为：ξ23456P∴E（ξ）==．22.设b>0，数列}满足a1=b,（1）求数列的通项公式；