湖北省荆门市京山县育才中学高三数学文联考试卷含解析

湖北省荆门市京山县育才中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=xex﹣x﹣2的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．【解答】解：f′（x）=（x+1）ex﹣1，f″（x）=（x+2）ex，令f″（x）＞0，解得：x＞﹣2，令f″（x）＜0，解得：x＜﹣2，故f′（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，故f′（x）min=f′（﹣2）=﹣﹣1＜0，而f′（0）=0，x→﹣∞时，f′（x）→﹣∞，故x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的最小值是f（0）=﹣2，故函数f（x）的零点个数是2个，故选：C．2.下面四个条件中，使成立的必要而不充分条件是A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知函数（且），若，且，则的值

（

）A．恒小于2

B．恒大于2

C．恒等于2

D．与相关参考答案：B略4.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A5.已知函数f（x）=log2x，x∈[1，8]，则不等式1≤f（x）≤2成立的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．【解答】解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x）≤2即不等式1≤log2x≤2，解答2≤x≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x）≤2成立的概率是，故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是明确结合测度，本题利用区间长度的比求几何概型的概率．6.已知函数，下面四个结论中正确的是

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于直线对称C．函数是奇函数

D．函数的图象是由的图象向左平移个单位得到参考答案：C略7.已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，若点A是抛物线与双曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． B．+1 C．+1 D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|=p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴=1，∵p=2c，b2=c2﹣a2，∴=1，化简得：c4﹣6c2a2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0，∵e2＞1，∴e2=3+2∴e=+1，故选：B8.设是定义在R上的函数，则下列叙述一定正确的是

（

）

A.是奇函数

B.是奇函数

C.是偶函数

D.是偶函数参考答案：【知识点】函数奇偶性的判定.

B4【答案解析】D

解析：对于选项A：设，则，所以是偶函数，所以选项A不正确；同理可判断：奇偶性不确定，是奇函数，是偶函数，所以选D.【思路点拨】依次设各选项中的函数为，再利用与关系确定结论.9.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B.C. D.参考答案：A略10.设集合,集合是函数的定义域;则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?兰山区校级二模）下列说法正确的是（填上你认为正确选项的序号）①函数y=﹣sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函数；②函数y=﹣2sin（2x+）在区间（0，）上是增函数；③函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π；④函数y=2tan（+）的一个对称中心是（，0）．参考答案：①③④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：①，利用诱导公式可知函数y=﹣sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函数，可判断①；②，x∈（0，）（2x+）∈（，），利用正弦函数的单调性质可知函数y=2sin（2x+）在区间（0，）上是增函数，从而可判断②；③，利用余弦函数的周期性可知函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为π，可判断③；④，利用正切函数的对称性，由+=（k∈Z）得：x=kπ﹣（k∈Z），再对k赋值，可判断④．解：对于①，函数y=﹣sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函数，故①正确；对于②，当x∈（0，）时，（2x+）∈（，），故函数y=2sin（2x+）在区间（0，）上是增函数，函数y=﹣2sin（2x+）在区间（0，）上是减函数，故②错误；对于③，函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为T==π，故③正确；对于④，由+=（k∈Z）得：x=kπ﹣（k∈Z），所以函数y=2tan（+）的对称中心是（kπ﹣，0），当k=1时，（，0）为函数y=2tan（+）的一个对称中心，故④正确．综上所述，以上说法正确的是①③④，故答案为：①③④．【点评】：本题考查正弦函数与余弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，熟练掌握正弦、余弦函数的图象与性质是关键，属于中档题．12.设函数，则________.参考答案：12∵，∴，由于，∴．故答案为12．

13.已知函数满足=1且，则=___________．参考答案：102314.设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是

.参考答案：略15.某校高三文科班150名男生在“学生体质健康50米跑”单项测试中，成绩全部介于6秒与11秒之间．现将测试结果分成五组：第一组[6，7]；第二组（7，8]，…，第五组（10，11]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．按国家标准，高三男生50米跑成绩小于或等于7秒认定为优秀，若已知第四组共48人，则该校文科班男生在这次测试中成绩优秀的人数是．参考答案：9【考点】频率分布直方图．【分析】求出第四组的频率，再计算这次测试中成绩小于或等于7秒的频率和频数即可．【解答】解：由频率分布直方图得，第四组的频率为=0.32，在这次测试中成绩小于或等于7秒（优秀）的频率是1﹣0.16﹣0.38﹣0.32﹣0.08=0.06所以优秀人数是150×0.06=9人．故答案为：9．【点评】本题主要考查了频率分布直方图和频率、频数的计算问题，是基础题．16.的展开式中，常数项的值为

．（用数字作答）参考答案：15,,常数项为.17.已知为上增函数，且对任意，都有，则____________．参考答案：【知识点】求函数值；函数单调性.B1B3

【答案解析】10

解析：依题意，为常数。设，则，。∴

，。易知方程有唯一解。∴

，。【思路点拨】根据函数的单调性可判断为常数，则有，解出m即可求出结果。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.参考答案：（1）曲线的参数方程为得曲线的普通方程：所以曲线的极坐标方程为：（2）设两点的极坐标方程分别为,又在曲线上，则是的两根∴19.（10分）如图，已知正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小.参考答案：解析：取中点，连，∵为正三角形，∴，∵在正三棱柱中，平面平面,∴平面………2分取中点为,以为原点，,,的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，……………4分∴,∵,，∴，,∴平面.…………6分（2）设平面的法向量为,.，∴，∴，解得，令，得为平面的一个法向量，………………8分由（1）知平面，∴为平面的法向量，，∴二面角的余弦值大小为.

………………10分20.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数203644504010将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

课外体育不达标课外体育达标合计男

女

20110合计

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（I）根据所给的数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与临界值比较即可得出结论；（II）由题意，用频率代替概率可得出抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，由于X～B（3，），由公式计算出期望与方差即可．【解答】解：列出列联表，

课外体育不达标课外体育达标合计男

603090女9020110合计15050200（Ⅰ），所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，∴X～B（3，），∴．

21.（14分）已知数列满足

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：参考答案：解析：（I）

是以为首项，2为公比的等比数列。

即

（II）证法一：

①

②

②－①，得

即

③－④，得

即

是等差数列。

证法二：同证法一，得

令得

设下面用数学归纳法证明

（1）当时，等式成立。

（2）假设当时，那么

这就是说，当时，等式也成立。

根据（1）和（2），可知对任何都成立。

是等差数列。

（III）证明：

22.某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，营业员小孙随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y（单元：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x258911y1210887（1）求y关于x的回归直线方程=x+；（2）若天气预报明天的最低气温为10℃，用所求回归方程预测该店明天的营业额；（3）设该地3月份的日最低气温X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，求P（0.6＜X＜3.8）．附：（1）回归方程=x+中，=，=﹣，22+52+82+92+112=295，2×12+5×10+8×8+9×8+11×7=287，（2）；若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据题意，计算平均数、和回归系数、，写出回归直线方程；（2）计算x=10时的值即可预测结果；（3）由X～N（7，10），计算P（3.8＜x＜7）值，得出P（0.6＜x＜