湖南省长沙市江背中学高三数学理联考试卷含解析

湖南省长沙市江背中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列满足则的前10项和等于

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略2.已知函数在上满足，则曲线在点）处切线的斜率是

（

）A．2

B．1

C．3

．D．参考答案：A3.函数的定义域为(

)A． B．（﹣1，0）∪（0，2] C． D．（﹣1，2]参考答案：B【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．4.若,则满足等式的实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，

那么输出的a值为

A.4

B.16

C256

D.65536参考答案：C6.执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）2

（B）（C）

（D）参考答案：C7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里 B．48里 C．12里 D．6里参考答案：D【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．8.设全集U＝,则集合M满足＝，则集合M为

（

）A.

B.或

C.

D.参考答案：A9.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角参考答案：D【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．10.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=．参考答案：2015【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造bn=an+1﹣an，可判数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得an=n（n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，故bn=an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=，解得an=n（n+1），故++…+=2016（++…+）=2016（1﹣+﹣+…+﹣）=2016﹣，∴[++…+]=2015，故答案为：2015．12.如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为________．

参考答案：13.已知函数，则_______

参考答案：3略14.椭圆x2+4y2=1的离心率为

．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，可得a2，b2．再利用即可得出．解答： 解：椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，∴a2=1，，∴=．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．15.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2， 直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为

和

.

参考答案：16.定义运算法则如下：则M＋N＝

。参考答案：5略17.如图，在ABC中，点E在AB边上，点F在AC边上，且，BF与CE交于点M，设，则的值为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知分别是的三个内角的对边，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的值域.参考答案：解：（I）由正弦定理，得：

即

故

所以

（II）

所以所求函数值域为

略19.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若=?cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据⊥，结合正弦定理和余弦定理求出B的值即可，（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥，∴（sinB﹣sinC）?（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）?sinA=0，∴b2=a2+c2﹣ac，∴2cosB=1，∴B=；（2）∵⊥，∴△ABC是RT△，而B=，故C=，由==2R，得：==2，解得：a=1，b=，故S△ABC=??1=．【点评】本题考察了向量数量积的运算，考察三角恒等变换，是一道中档题．20.(本小题满分10分)等差数列中，，公差且成等比数列，前项的和为.（1）

求及.（2）

设，，求参考答案：（1）有题意可得又因为……2分

…4分（2）………6分

…………10分21.已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，…x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有10种，∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．22.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点．（1）求证：A1C∥平面BED；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求得相关点的坐标，从而得到=（3，3，﹣4），=（，，﹣2），然后由共线向量定理证明即可．（2）分别求得二个半平面的一个法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，则=（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一个法向量为，用向量的夹角公式求解．【解答】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，连接EO．A1（0，0，4），C（3，3，0），E（0，0，2），O（，，0）（2分）=（3，3，﹣4），=（，