上海虹口区教育学院附属中学高三数学文下学期摸底试题含解析

上海虹口区教育学院附属中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，.则（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略2.若，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D3.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数参考答案：D全称命题的否定式特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.4.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，8，则输出的a等于（）A．4 B．0 C．14 D．2参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算2，8的最大公约数，由2，8的最大公约数为2，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．5.命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．6.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：C解析：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，选C.7.如下程序框图输出的结果是，则判断框内应填入的条件是

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为A. B.C. D.参考答案：B【分析】先求出正方形DEFC的面积，再根据几何概型概率求结果.【详解】设正方形DEFC的边长为，则，因此所求概率为，选B.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．9.已知锐角满足：，，则的大小关系是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略10.函数的一个零点落在下列哪个区间 （

）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数f（x）=tex﹣x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是

．参考答案：（0，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：转化tex≤x，为t的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到t的取值范围．解答： 解：tex≤x（e是自然对数的底数），转化为t≤，令y=，则y′=，令y′=0，可得x=1，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．则当x=1时函数y取得最大值，由于存在实数a、b，使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则由右边函数y=的图象可得t的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．点评：本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．属于中档题．12.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.参考答案：1略13.已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为

．参考答案：36【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab≥36．故答案为：36．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．参考答案：12【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．15.已知向量与的夹角是，且，若，则实数=-----______.参考答案：16.己知函数，则=．参考答案：【考点】3T：函数的值．【分析】先求出f（）==﹣2，从而=f（﹣2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=﹣=．故答案为：．17.已知，，

。参考答案：，所以,.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，数列{}的前n项和为Tn，试证明：Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的项和和之间的关系，即可求数列{an}的通项公式；（2）bn==，=，累加即可求数列{}的前n项和为Tn【解答】解：（1）由题意得an+1=2Sn+2，an=2Sn﹣1+2，（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，则an+1=3an，n≥2，所以当n≥2时，{an}是以3为公比的等比数列．因为a2=2S1+2=4+2=6，满足对任意正整数成立{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴数列{an}的通项公式；an=2×3n﹣1（2）证明：bn==，=，Tn=×[+…+]=＜．19.已知函数f（x）=，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a＜0时，且f（x）为奇函数，求f（x）的表达式；（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，求b﹣a的值．参考答案：【考点】3E：函数单调性的判断与证明；5B：分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）运用奇函数的性质f（0）=0，可得a，再求x＜0的解析式，进而得到b=1，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则有，运用不等式的性质，即可得到a=1，b=﹣1，进而得到b﹣a．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）为奇函数，则f（0）=a2﹣1=0，由a＜0，则a=﹣1，x≥0时，f（x）=（x+1）2﹣1，则x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x+1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+1=﹣（x﹣b）2+1，即有b=1，故f（x）=；（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则，则有a2≥1，b2≥1，a2+b2≥2，又a2+b2≤2，即有a2+b2=2，即a=1，b=﹣1，则有b﹣a=﹣2．20.已知函数（为实数）.（I）若在处有极值，求的值；（II）若在上是增函数，求的取值范围.参考答案：（I）解：由已知得的定义域为

又

……3分

由题意得

……5分（II）解：依题意得

对恒成立，

……7分

……9分

的最大值为

的最小值为

……11分

又因时符合题意为所求

……13分

21.如图，四边形与均为菱形，,且．（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值．参考答案：（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.又FA=FC，所以.

因为，所以.

（2）证明：因为四边形与均为菱形，所以因为所以又，所以平面又所以.

（3）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形．因为为中点，所以由（Ⅰ）知

，故

.

法一：由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，.则

所以.

设平面BFC的法向量为则有

所以取，得.

易知平面的法向量为.

由二面角A-FC-B是锐角，得.

所以二面角A-FC-B的余弦值为法二：取的中点，连接，，∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，,且∴，设为∵为、中点，∴，∴∴，

∴是二面角的平面角

∵∴，，又∴∴二面角A-FC-B的余弦值为略22.（本小题满分15分）已知椭圆：，设该椭圆上的点到左焦点的最大距离为，到右顶点的最大距离为.(Ⅰ)