30680248 微专题：析错正解集合问题中的易错点 -2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

微专题：析错正解集合问题中的易错点【主题】集合作为表述数学对象的一种数学语言，是贯穿整个高中数学学习的始终。在解不等式（组）中集合被用于表示解集；在讨论函数定义及函数基本性质、基本初等函数时，集合表示函数的定义域和值域；在解析几何中用来表示具有某种性质的点的集合；而《课程标准》对此的要求是：知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；…会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质。会求几个集合的交集、并集，会求已知集合的补集，但不要求会解决有关集合的证明问题。在使用集合语言表示有关数学对象的过程中，应注意规范与完整的表述。【典例】1、把握集合元素形式例1、设集合A＝｛平面上的直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则AB中的元素最多有个。【错解】由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２；【错因分析】上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了；【解析】例2、设集合，，求：。【错解】显然，，所以；【错因分析】错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为,是表示函数的定义域；【解析】2、检验集合中元素的互异性例3、已知集合，,且，求：的值。【错解】经过分析知，若，则，即或，若，则，即，从而，，。【错因分析】忽视集合元素的互异性；【解析】例4、设，求：中所有元素之和。【错解】错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为：；错解２：由，得，（１）当时，，此时中的元素之和为：；（２）当时，；【错因分析】述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”；【解析】3、牢记空集的特殊性例5、设集合，，且，求：实数的值。【错解】由，，又，故，所以或；【错因分析】忽视了的情形；【解析】例6、已知，，当，求：实数m的取值范围。【错解】要使，应有解得：；【错因分析】错解忽略了时的情况，因为当时，亦成立；【解析】4、挖掘隐含条件例7、设全集，，，求：实数的值。【错解】∵，∴且，从而，，解得，或；【错因分析】导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足；【解析】5、注意等价转换例8、设集合，且，求：实数。【错解】集合表示直线上的点的集合，集合表示直线上的点的集合。又（即两直线平行时），故，即；【错因分析】将集合转化为直线上的点的集合是不等价的，它应除去点；【解析】6、理解符号的含义例9、如图所示，、是两个非空集合，定义，则是下图中的（）A．I B．II C．III D．IIIIII【错解】因表示属于而不属于，应选C；【错因分析】上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使在迁移运用时出现错误；【解析】【即时练习】1、已知集合，，则= （）A．B．C． D．2、已知集合，；若，则的取值范围是 （）A． B． C． D．3、设集合，，则集合且＝________（用列举法表示）4、若集合满足，且，则集合的个数是________．5、设集合，，记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②、若，则；③、若∁，则∁。（1）、求；（2）、求的解析式（用表示）。【教师版】微专题：析错正解集合问题中的易错点【主题】集合作为表述数学对象的一种数学语言，是贯穿整个高中数学学习的始终。在解不等式（组）中集合被用于表示解集；在讨论函数定义及函数基本性质、基本初等函数时，集合表示函数的定义域和值域；在解析几何中用来表示具有某种性质的点的集合；而《课程标准》对此的要求是：知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；…会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质。会求几个集合的交集、并集，会求已知集合的补集，但不要求会解决有关集合的证明问题。在使用集合语言表示有关数学对象的过程中，应注意规范与完整的表述。【典例】1、把握集合元素形式例1、设集合A＝｛平面上的直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则AB中的元素最多有个。【错解】由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２；【错因分析】上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了；【解析】集合Ａ中的元素形式是直线，集合Ｂ中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故填０个；【说明】注意审题明确集合的元素是什么。例2、设集合，，求：。【错解】显然，，所以；【错因分析】错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为,是表示函数的定义域；【解析】；，所以故；【说明】要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。解题时应认真领会，以防出错；2、检验集合中元素的互异性例3、已知集合，,且，求：的值。【错解】经过分析知，若，则，即或，若，则，即，从而，，。【错因分析】忽视集合元素的互异性；【解析】经过分析知，若，则，即或，若，则，即．从而，，。而当时，Ｂ中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故，。例4、设，求：中所有元素之和。【错解】错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为：；错解２：由，得，（１）当时，，此时中的元素之和为：；（２）当时，；【错因分析】述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”；【解析】集合中的元素是方程的根，由于，故当时，方程有二重根－，由集合中元素的互异性，集合，所以元素之和为；当时，；【说明】集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．要注意分类，注意求得结果后再代入检验。3、牢记空集的特殊性例5、设集合，，且，求：实数的值。【错解】由，，又，故，所以或；【错因分析】忽视了的情形；【解析】由，集合是方程的根，当时，方程无根，此时集合为空集，满足题意。当不为０时，，所以或，综合可得或或０；例6、已知，，当，求：实数m的取值范围。【错解】要使，应有解得：；【错因分析】错解忽略了时的情况，因为当时，亦成立；【解析】正解：（1）当时，由错解可得：。（2）当时，，解得：，所以m的取值范围为：；【说明】涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。4、挖掘隐含条件例7、设全集，，，求：实数的值。【错解】∵，∴且，从而，，解得，或；【错因分析】导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足；【解析】当时，，符合题意；当时，，不符合题意；故；【说明】在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，养成细心、规范解题的好习惯。5、注意等价转换例8、设集合，且，求：实数。【错解】集合表示直线上的点的集合，集合表示直线上的点的集合。又（即两直线平行时），故，即；【错因分析】将集合转化为直线上的点的集合是不等价的，它应除去点；【解析】集合表示直线上的不包括点的点的集合，集合表示直线上的点的集合。又（即两直线平行时），故，即。或当集合表示的直线过这个点时，也符合，所以把点代入直线，解得。故或。【说明】对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语言的相互转化。6、理解符号的含义例9、如图所示，、是两个非空集合，定义，则是下图中的（）A．I B．II C．III D．IIIIII【错解】因表示属于而不属于，应选C；【错因分析】上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使在迁移运用时出现错误；【解析】的正确理解应是属于而不属于集合，而为图中的区域I，故应为图中的区域II，应选B。【说明】集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义的集合问题，需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，“以旧带新”实现问题的转化。【归纳】以上就是学习集合必须注意的六个细节，把握住这些细节，就能跳出陷阱。【即时练习】1、已知集合，，则= （）A．B．C． D．1、【答案】D；【解析】，，所以，选 D．2、已知集合，；若，则的取值范围是 （）A． B． C． D．2、【答案】C【解析】集合,要使,须使,所以选C．3、设集合，，则集合且＝________（用列举法表示）3、解析因为3,4∉Q，所以A＝{3,4}．答案{3,4}4、若集合满足，且，则集合的个数是________．4、解析由题意，求集合M的个数，即求集合{3,4}的子集个数，共有22＝4个．答案45、设集合，，记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②、若，则；③、若∁，则∁。（1）、求；（2）、求的解析式（用表示）。5、【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，∴=4