北京市2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

北京市2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（西城区2018届高三4月统一测试（一模））已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____．2、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是.3、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点若四边形的面积为4，则点的坐标为_______,的离心率为__．4、（房山区2019届高三第二次模拟）双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于.5、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））双曲线的离心率为____．6、（海淀区2019届高三上学期期末）双曲线的左焦点坐标为A． B． C． D．7、（海淀区2019届高三上学期期末）以抛物线的焦点为圆心，且与其准线相切的圆的方程为.8、（石景山区2019届高三上学期期末）已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为__________．9、（通州区2019届高三上学期期末）已知双曲线QUOTE的右焦点与抛物线的焦点重合，则a等于A.1 B.2 C.3 D.QUOTE10、（昌平区2019届高三上学期期末）已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_________；若双曲线（）的一个焦点与点重合，则该双曲线的渐近线方程是．11、（大兴区2019届高三上学期期末）抛物线的焦点到准线的距离等于．12、（东城区2019届高三一模）已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的长为(A) (B) (C)(D)13、（丰台区2019届高三一模）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为（A） （B） （C） （D）14、（海淀区2019届高三一模）椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为(A)，(B)，(C)，(D)，15、（怀柔区2019届高三一模）已知抛物线的准线方程为，则__________．16、（西城区2019届高三一模）设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．二、解答题1、（西城区2018届高三4月统一测试（一模））已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标；（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．2、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））已知抛物线过点，是抛物线上异于点的不同两点，且以线段为直径的圆恒过点.（I）当点与坐标原点重合时，求直线的方程；（II）求证：直线恒过定点，并求出这个定点的坐标.3、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过轴上的定点.4、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））已知点到抛物线准线的距离为2.（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，直线分别交轴于两点.求的值.5、（房山区2019届高三第二次模拟）已知抛物线过点（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.6、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.7、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为．(Ⅱ)求椭圆的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标．8、（石景山区2019届高三上学期期末）已知抛物线经过点，其焦点为．为抛物线上除了原点外的任一点，过的直线与轴，轴分别交于．（Ⅰ）求抛物线的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若与的面积相等，求证：直线是抛物线的切线．9、（通州区2019届高三上学期期末）已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．10、（西城区2019届高三上学期期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，点M是椭圆C上异于的一点，直线AM与y轴交于点.（Ⅰ）若点在椭圆的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，点在轴上，且，求证：为定值.11、（昌平区2019届高三上学期期末）已知椭圆过点，离心率为.记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.12、（朝阳区2019届高三上学期期末）过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.13、（丰台区2019届高三一模）已知抛物线过点，是抛物线上不同两点，且（其中是坐标原点），直线与交于点，线段的中点为.（Ⅰ）求抛物线的准线方程；（Ⅱ）求证：直线与轴平行.14、（海淀区2019届高三一模）已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且M到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线OA与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.(I)求抛物线的方程和的坐标；(Ⅱ)判断直线与直线的位置关系，并说明理由．15、（怀柔区2019届高三一模）已知椭圆的右焦点为，点满足.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点，若与的面积之比为，求直线的方程.16、（石景山区2019届高三一模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．参考答案：一、选择、填空题1、，2、23、4、5、6、A7、8、9、B10、；11、12、C13、B14、C15、216、3二、解答题1、解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．[1分]所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率．[3分]椭圆的左焦点的坐标为．[4分]（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下：[5分]设，其中，则，[6分]依题意可设，则．[7分]直线的方程为，整理为．[9分]所以圆的圆心到直线的距离．[11分]因为．[13分]所以，即，所以直线与圆相切．[14分]2、解：（I）因为在抛物线上，所以，所以，抛物线.当点与点重合时，易知，因为以线段为直径的圆恒过点，所以.所以.所以,即直线的方程为.….5分（II）显然直线与轴不平行，设直线方程为.，消去得.设，因为直线与抛物线交于两点，所以=1\*GB3①因为以线段为直径的圆恒过点，所以.因为是抛物线上异于的不同两点,所以,.,同理得.所以,即,.将=1\*GB3①代入得，，即.代入直线方程得.所以直线恒过定点.….13分3、（Ⅰ）由题意可得解得所以椭圆的方程为.………….4分（Ⅱ）直线恒过轴上的定点.证明如下当直线斜率不存在时，直线的方程为,不妨设，，.此时，直线的方程为：，所以直线过点.（2）当直线的斜率存在时，设，,.由得.所以.直线，令，得，所以.由于，所以.故直线过点.综上所述，直线恒过轴上的定点.………….14分4、解：（Ⅰ）由已知得，所以所以抛物线的方程为，焦点的坐标为............................4分（=2\*ROMANII）设点,，由已知得，由题意直线斜率存在且不为0.设直线的方程为.由得，则.因为点在抛物线上，所以，，，因为轴，所以.所以的值为2.............................13分5、（Ⅰ）因为抛物线过点，所以所以抛物线方程为，焦点坐标为……………4分（Ⅱ）设直线的方程为,由消整理得，…………6分则，即设则且.……………8分直线……………12分即所以，直线恒过定点.……13分6、解：（Ⅰ）由题知解得…3分所以求椭圆的方程为．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当直线的斜率不存在时，直线的方程为．由解得或得或；均有．猜测存在．…6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．由得．则…8分故…9分…13分所以存在常数使得恒成立．…14分7、解：(Ⅰ)依题意，有所以所以椭圆方程为所以，焦点坐标分别为(Ⅱ)方法1：设，则，且若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△不是等边三角形，不合题意，所以.设线段中点为，所以因为，所以因为直线的斜率所以直线的斜率又直线的方程为令，得到因为所以因为为正三角形，所以，即化简，得到，解得（舍）即点的横坐标为.方法2：设，直线的方程为.当时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△不是等边三角形，不合题意，所以.联立方程消元得所以所以设线段中点为，所以，所以因为，所以所以直线的方程为令，得到因为为正三角形，所以所以化简，得到，解得（舍）所以，即点的横坐标为.方法3：设，当直线的斜率为0时，点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为0.设直线的方程为联立方程消元得，所以设线段中点为所以,，所以因为，所以所以直线的方程为令，得到因为为正三角形，所以所以化简，得到，解得（舍）所以，即点的横坐标为8、解：（Ⅰ）因为抛物线经过点，所以，．所以抛物线的方程为，焦点点坐标为．（Ⅱ）因为与的面积相等，所以，所以为的中点．设，则．所以直线的方程为，与抛物线联立得：，所以直线是抛物线的切线．9、解：（Ⅰ）由题意得…………3分解得．所以椭圆的方程为．…………4分（Ⅱ）设直线的方程为，,………………5分由得.………………7分令，得．………………8分，．…………9分因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴．…………10分过做的垂线，则垂足为线段的中点．设点的坐标为，则．………12分由方程组解得，即．……………13分而，所以直线的方程为．………………14分10、11、解：（Ⅰ）由题意可知解得故椭圆的标准方程为.……5分

（Ⅱ）依题意，直线的方程为.联立方程组消去并整理得.,设、，故，,设的中点为，则.因为线段的垂直平分线与轴交于点，=1\*GB3①当时，那么；=2\*GB3②当时，，即.解得因为所以，，即.综上，的取值范围为.……13分12、解：（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.……………4分（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..…………14分13、解：（Ⅰ）由题意得，解得．所以抛物线C的准线方程为．（Ⅱ）设，由得，则，所以．所以线段中点的为纵坐标．直线AO方程为┅①直线BM方程为┅②联立①②解得，即点的为纵坐标．如果直线BM斜率不存在，结论也显然成立．所以直线与轴平行．14、解：(Ⅰ)抛物线的准线方程为，焦点坐标为所以有，解得所以抛物线方程为，焦点坐标为(Ⅱ)直线方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，所以，显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则①当时，直线的斜率不存在，，可知，直线的斜率不存在，则②当时，，，则综上所述，方法二：直线(1)若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线的方程为，则直线的方程为，即，令，则，则直线的斜率不存在，因此(2)设，，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消元得，，整理得，由韦达定理，可得，，因为，可得.显然，直线的方程为令，则，则因为，所以直线的方程为，令，则，则，则综上所述，15、解（Ⅰ）椭圆的右焦点为，点满足，则，解得.由公式，得所以所以椭圆的方程为--------------------------------------------------5分（Ⅱ）直线l的斜率不存在时，,,不符合题意；设直线l的方程为y=k(x-1),由得，（3+4）设M(=1\*GB3①=2\*GB3②由，得，即.可