七年级数学下册同步讲义（人教版）第12课 平面直角坐标系（教师版）

第12课平面直角坐标系目标导航目标导航课程标准1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.知识精讲知识精讲知识点01有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．注意：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．知识点02平面直角坐标系及点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).注意：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.注意：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．知识点03坐标平面1.象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．注意：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.知识点03点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律点的位置第一象限第二象限第三象限第四象限x轴y轴原点横坐标符号+--+任意x00纵坐标符号++--0任意y值0点的坐标符号（+，+）（-，+）（-，-）（+，-）（x，0）（0，y）（0，0）注意：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.能力拓展能力拓展考法01有序数对表示位置【典例1】如图是小刚的一张笑脸，他对妹妹说：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）【分析】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置，从而可以确定嘴的位置．【答案】A．【解析】解：根据（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，

可得嘴的坐标是（1，0），

故答案为A．【点睛】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．考法02平面直角坐标系与点的坐标的概念【典例2】有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A，B，C，D各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A（0，0），B（5，0），C（5，3），D（0，3）.解法二：以边AB的中点为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，AB的中点和CD的中点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A（﹣2.5，0），B（2.5，0），C（2.5，3），D（-2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5），C（2.5，1.5），D（-2.5，1.5）.【点睛】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x轴和y轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x轴、y轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.【即学即练】如图所示，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-1)，……，则点A2008的坐标为________．【答案】(-502，-502)．【典例3】平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面积．【分析】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A、C分别作平行于y轴的直线与过B点平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ACED为梯形，根据点A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC的面积为：．【点睛】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．考法03坐标平面及点的特征【典例4】已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．【分析】根据点的坐标特征一一求解.【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面．【即学即练】若点C(x,y)满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．【典例5】一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【分析】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，-4)，C点坐标为(0，-4)．【点睛】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．【即学即练】在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A.（0，0） B.（0，2） C.（2，﹣4） D.（﹣4，2）【答案】A．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在平面直角坐标系中，点P（-3，6）所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点M（-3，6）在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的（）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【解析】【分析】结合题意，根据点的坐标的性质，推导得出原点的位置，再根据坐标的性质分析，即可得到答案．【详解】∵点和，∴坐标原点的位置如下图：∵藏宝地点的坐标是∴藏宝处应为图中的：点故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形，解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．3．下列说法错误的是（）A．平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系B．平面直角坐标系中两条数轴是互相垂直的C．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限D．坐标轴上的点不属于任何象限【答案】A【解析】略4．已知点P（a-1，a+2）在x轴上，那么点Q（-a，a-1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可．【详解】解：∵点P（a-1，a+2）在x轴上，∴a+2=0，解得a=-2，∴-a=2，a-1=-3，∴点Q的坐标为（2，-3），∴Q（-a，a-1）在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．5．已知点P的坐标为（﹣2，3），则点P到y轴的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．【答案】A【解析】【分析】若点则到轴的距离为到轴的距离为从而可得答案.【详解】解：点P的坐标为（﹣2，3），则点P到y轴的距离为故选A【点睛】本题考查的是点到坐标轴的距离，掌握“点的坐标与点到轴的距离的联系”是解本题的关键.6．若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解．【详解】解：点M在第二象限，且M到轴的距离为2，到y轴的距离为1，点M的横坐标为，点的纵坐标为，点M的坐标为：．故选：C．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键．7．点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据关于y轴对称，纵不变，横相反的原理确定即可．【详解】∵关于y轴对称，纵不变，横相反，∴点与点Q关于y轴对称，点Q的坐标为（-3，2），故选A．【点睛】本题考查了坐标系中点的对称问题，熟练掌握对称点坐标的变化规律是解题的关键．8．已知点M（2，﹣2）、N（2，5），那么直线MN与x轴（）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．不确定【答案】A【解析】【分析】根据横坐标相同，并结合平面直角坐标系即可判断．【详解】解：∵M（2，﹣2），N（2，5），∴横坐标相同，∴，故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形性质，关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），若AB∥x轴，且AB＝5，当点B在第二象限时，点B的坐标是（）A．（﹣9，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）【答案】A【解析】【分析】根据平行及线段长度、点B在第二象限，可判断点B一定在点A的左侧，且两个点纵坐标相同，再由线段长即可确定点B的坐标．【详解】解：∵轴，且，点B在第二象限，∴点B一定在点A的左侧，且两个点纵坐标相同，∴，即，故选：A．【点睛】题目主要考查坐标系中点的坐标，理解题意，掌握坐标系中点的特征是解题关键．题组B能力提升练10．若，则在平面直角坐标系中点A的坐标为_______．【答案】【解析】【分析】根据非负数和为0求得的值，进而即可求得点的坐标．【详解】解：∵，∴A的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了非负数的性质，有序实数对表示点的坐标，求得的值是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则点M到x轴的距离是_______．【答案】5【解析】【分析】根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．【详解】解：∵点M的坐标是，∴点M到x轴的距离是，故答案为：5．【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．12．已知点A的坐标是A（﹣2，4），线段轴，且AB＝5，则B点的坐标是____．【答案】（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）##（﹣2，9）或（﹣2，﹣1）【解析】【分析】根据A的坐标和轴确定横坐标，根据AB＝5可确定B点的纵坐标．【详解】解：∵线段轴，A的坐标是A（﹣2，4），∴B点的横坐标为﹣2，又∵AB＝5，∴B点的纵坐标为﹣1或9，∴B点的坐标为（﹣2，﹣1）或（﹣2，9），故答案为：（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握与坐标轴平行的点的坐标特点是解题的关键．平行于x轴的直线上的任意两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．13．若点在x轴上，则m的值为______．【答案】【解析】【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，即可求解．【详解】∵点在x轴上，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题考查了x轴上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0．14．如果点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，那么直线与y轴的关系为__________．【答案】平行或重合##重合或平行【解析】【分析】根据点的坐标规律解答，此题根据图形即可求得．【详解】解：点B与点C的横坐标相同，则直线BC//y轴，当点B与点C在y轴上时，则直线BC与y轴重合．故答案为：平行或重合．【点睛】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等．15．若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．【答案】34(3，﹣4)【解析】【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解．【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，∴x=3，y=4，∴A点坐标为(3，4)，∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．故答案为：3；4；(3，-4)．【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解．16．已知点在一、三象限的角平分线上，则的值为______．【答案】1【解析】【分析】直接利用一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等进而得出答案．【详解】解：∵点P（a，2a−1）在一、三象限的角平分线上，∴a＝2a−1，解得：a＝1．故选：C．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握一、三象限的角平分线上点的坐标关系是解题关键．17．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、点B（﹣3，4）、点C（﹣5，0），那么△ABC的面积等于___．【答案】16【解析】【分析】过B、A点分别作y轴的垂线，过A、C点作x轴的垂线，四条垂线分别相交于D、E、F、A点，则四边形DEAF为矩形，△ABF、△DBC、△ACE为直角三角形，则，根据题中坐标即可求解．【详解】如图所示，过B、A点分别作y轴的垂线，过A、C点作x轴的垂线，四条垂线分别相交于D、E、F、A点，则四边形DEAF为矩形，△ABF、△DBC、△ACE为直角三角形，故答案为：16．【点睛】对于坐标系中不规则三角形的面积计算，我们通常将其补成矩形，再减去三个规则的直角三角形．将复杂的不规则图形面积求解转化成简单的规则图形求解．18．已知点A（0，1），B（0，2），点C在x轴上，且，则点C的坐标________.【答案】（4,0）或（﹣4,0）【解析】【详解】试题解析：设C点坐标为（|x|，0）∴解得：x=±4所以，点C的坐标为（4，0）或（-4，0）.题组C培优拔尖练19．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．【答案】4．【解析】【分析】过作轴，过作轴，两直线交于点，根据求解即可.【详解】如图，过作轴，过作轴，两直线交于点，∵，，∴，，，，，∴．【点睛】本题考查了割补法求图形面积，求面积有以下两方法:(1)补形法:计算某个图形的面积,如果它的面积难以直接求出,那么就设法把它补成面积较容易计算的图形;(2)分割法:把应求部分的图形分割成若干份规则的图形,求它们的面积和.20．已知平面直角坐标系中有一点．若点M到x轴的距离为1，请求出点M的坐标．若点，且轴，请求出点M的坐标．【答案】（1）(-2，1)，(-3，-1)；（2）(-3，-1)【解析】【分析】（1）根据题意可知2m+3的绝对值等于1，从而可以得到m的值，进而得到点M的坐标；（2）根据题意可知点M的纵坐标等于点N的纵坐标，从而可以得到m的值，进而得到点M的坐标；【详解】（1）∵点M(m-1，2m+3)，点M到x轴的距离为1，∴，解得，m=-1或m=-2，当m=-1时，点M的坐标为(-2，1)，当m=-2时，点M的坐标为(-3，-1)；（2）∵点M(m-1，2m+3)，点N(5，-1)且MN//x轴，∴2m+3=-1，解得：m=-2，故点M的坐标为(-3，-1)．【点睛】本